CEDERJ - Aula 16.2 - (Módulo 02) - Física Estatística

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Aula 16 - Problemas de revisao MODULO 1 - AULA 16

Aula 16 - Problemas de revisao

Metas da aula Fixar os conceitos aprendidos nas aulas anteriores atraves de aplicacoes.

Objetivos

No final desta aula, voce deve ser capaz de: • Calcular as funcoes de particao e granparticao de diversos sistemas

• Calcular medias termicas e relaciona-las com grandezas termodinamicas.

• Entender os comportamentos de temperatura alta e baixa de diversos sistemas.

Pre-requisitos

Aulas anteriores.

Atividade 1

Um solido e formado por partıculas com momento magnetico m0 e spin 3/2. Isso significa que, na presenca de um campo magnetico B a energia de uma partıcula pode ser escrita como = −m0Bσ, com σ podendo ter os valores ±3/2, ±1/2.

(a) Calcule a funcao de particao para N partıculas. (b) Usando argumentos termodinamicos e estatısticos, esboce os graficos de

1. energia em funcao da temperatura,

2. momento magnetico medio em funcao do campo, para dois valores diferentes de temperatura,

3. calor especıfico em funcao da temperatura e 4. entropia em funcao da energia.

Em cada ıtem explique detalhadamente como obteve os comportamentos assintoticos. Resposta comentada (a) A energia do sistema completo, com N partıculas, pode ser escrita como

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O enunciado diz que as partıculas fazem parte de um solido, entao nao precisamos considerar a correcao de Gibbs ja que as partıculas nao podem trocar de lugar, sendo distinguıveis pela posicao. Temos entao

exp( βm0B

σN ∏ i exp(βm0Bσi)

(b) Para todos os ıtens as seguintes ideias sao importantes:

• O numero de nıveis de energia e finito.

• Em termos da energia total do sistema, 3 valores sao importantes:

E = −3Nm0B/2 quando todos os atomos tiverem seus momentos magneticos alinhados com o campo, com maxima projecao, correspon- dendo a S = 0; E = 0 quando todos os nıveis estiverem igualmente populados, cada um com N/4 partıculas. Esta e a configuracao de maior entropia; E = 3Nm0B/2 quando todos os atomos tiverem seus momentos magneticos alinhados ao contrario do campo, com maxima projecao, que tambem corresponde a S = 0.

• A energia e limitada, ou seja, tem um valor maximo (= 0) quando T → ∞. Isso significa que dE/dT → 0 quando T → ∞.

1. energia em funcao da temperatura: O que minimiza a energia e estar alinhado com o campo, com o maior σ. Assim, em T = 0,

Aula 16 - Problemas de revisao MODULO 1 - AULA 16 quando nao ha influencia de entropia, todos os atomos tem σ = 3/2, e

E = −3NBm0/2. Temos tambem que a derivada nesse ponto deve ser nula, porque dE/dT e a capacidade termica, que e nula em T = 0, (veja o ıtem (d)). Quando T → ∞, a entropia predomina na determinacao do estado de equilıbrio. Assim como na distribuicao binomial, aqui a configuracao de maior multiplicidade e aquela em que os nıveis estao igualmente populados, dando E = 0.

2. momento magnetico medio em funcao do campo, para dois valores diferentes de temperatura: O sinal de B indica em que sentido esta sendo aplicado, para uma dada direcao. De qualquer forma, quando |B| → ∞ todas as partıculas devem estar alinhadas com o campo. Quanto mais baixa for a temperatura, menor o valor de campo capaz de saturar a magnetizacao, isso leva a que ∂M/∂B quando B = 0 deve ser maior para a menor temperatura.

3. calor especıfico em funcao da temperatura: e a curva da derivada da curva (b). Deve ser nulo em T = 0 (terceira lei), e deve → 0 para temperaturas altas, ja que a energia e limitada, logo tem que passar por um maximo (anomalia Schottky).

4. entropia em funcao da energia: basta associar S com os valores de energia do ıtem (b).

Atividade 2 As teorias que descrevem a radiacao de fundo do universo como radiacao termica reminicente do big bang, pressupoem que a expansao do universo se deu de forma isentropica e neste caso, o numero de fotons em cada frequencia teria se mantido constante, enquanto que a frequencia de cada modo teria se alterado pelo aumento do volume (explique!). Queremos mostrar que a entropia do gas de fotons pode ser escrita apenas em funcao das ocupacoes medias 〈η〉 de cada modo. Para isto, mostre que

(d) S/κ = 〈η + 1〉ln〈η + 1〉 − 〈η〉ln〈η〉 Resposta comentada Seguindo o mesmo procedimentopara a obtencao da relacao (??), encontramos

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Como F = −κT lnZ, temos

S = κT lnZ +κT 1Z onde Z = [1 − exp(β~ω)]−1. Usamos a distribuicao de Planck para escrever Z em termos de 〈η〉. Sabmeos que

Podemos entao escrever

ou ~ω κT = ln

Assim, podemos escrever

Finalmente, S

Atividade 3 Mostre que o potencial quımico do gas ideal classico, sem graus de liberdade internos, e dado por

V φq onde φq e a concentracao quantica, T a temperatura e V o volume. Resposta comentada

O potencial quımico pode ser calculado de varias maneiras.

pela energia livre de Helmholtz:F = −κT lnZN, e ZN = (Z1)N/N!. A aproximacao de Stirling (lnN! ≈ N lnN − N) pode ser usada, e finalmente a pelo limite classico das ocupacoes quanticas: As ocupacoes sao dadas por

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No limite classico nao importa se as partıculas sao bosons ou fermions, ou seja, exp( −µ

) . O numero total de partıculas pode

ser calculado somando f( ) para todos os orbitais:

Usando a expressao de Z1 dada, e invertendo encontra-se a expressao para µ.

Atividade 4 Suponha um gas de fotons a uma temperatura T, em equilıbrio termico com uma cavidade d-dimensional de volume V = Ld. Se omitimos a energia contante do ponto zero, podemos escrevera energia de um foton de frequencia ω como = ~ω. (a) Calcule o numero medio de fotons com frequencia ω na cavidade. (b) As frequencias possıveis dentro da cavidade podem ser escritas como

ωn = npicL

++ n2d. Mostre que a energia total da

cavidade e onde A e uma constante. (c) Mostre o que o numero total de fotons e onde A′ e uma constante. (d) Calcule a entropia do gas. Resposta comentada (a) s fotons de frequencia ω tem energia s~ω, assim

O numero medio de fotons com uma dada e frequencia onde y = ~ω/τ. Assim,

0 ~ωn〈sn〉g(n)dn, onde g(n)dn e o numero de microestados de frequencia entre n e n + dn. O fator 2 leva em consideracao as duas polar- izacoes possıveis. Num espaco d-dimensional, o numero de microestados e

Aula 16 - Problemas de revisao MODULO 1 - AULA 16 dado pelo volume da casca esferica de raio n e espessura dn, dividido por 2d, porque n deve ser sempre positivo. Ou seja, onde Cd e uma constante que depende da dimensao (ex: C1 = 1, C2 = 2pi, C3 = 4pi). Assim,

~npicL 1 exp(

ou seja, E = AV τd+1, onde A = 21−d(~pic)−dCdI, e I e o valor da integral em x. (c) O numero total de fotons pode ser obtido somando-se as ocupacoes de todos os microestados,

Seguindo o mesmo procedimento acima temos N = A′V τd, onde A′ =

ex−1 dx. (d) Para um processo a V con- stante, dU = TdS, assim, dS = AV κd−1Td−2, logo

onde usamos que S = 0 quando T = 0.

Atividade 5 Um cilindro de raio R roda em torno de seu eixo com velocidade angular ω e contem um gas ideal classico de atomos de massa M, a temperatura T. Calcule a concentracao de equilıbrio do gas. Resposta comentada No referencial rodando com o gas atua sobre cada molecula a uma distancia r do centro uma forca centrıfuga mω2r. A energia potencial associada a essa forca e U = −mω2r2/2. Assim, numa distancia r do centro o potencial quımico total e

µt = κT ln

No equilıbrio devemos ter µt(0) = µt(r), levando a

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Atividade 6 Um gas de bosons com massa m e spin 1 esta confinado a uma area A = L2, a temperatura T. (a) Mostre que o potencial quımico do gas e dado por

3mκT onde φ e a concentracao. (b) Explique em que condicoes de temperatura e concentracao esse gas apresenta condensacao. Resposta comentada (a) A densidade de orbitais em d = 2 e

Note que ao contrario do caso tridimensional, D(0) 6= 0. O numero total de partıculas no sistema pode ser calculado somando a ocupacao de todos os orbitais:

exp( ε−µ exp( µ−ε

Resolvendo para µ, e definindo a concentracao bidimensional φ ≡ N/A obtemos a resposta desejada. (b) Para que ocorra condensacao devemos ter µ = 0. Pela expressao dada, vemos que isso so e possıvel se φ → ∞ para T 6= 0, ou se T = 0 com concetracao finita.

Atividade 7

A energia de uma partıcula relativıstica e dada por ε = c√ m2 + p2, onde m e a massa da partıcula, p seu momento linear e c a velocidade da luz. No regime relativıstico extremo podemos desprezar a contribuicao da massa de repouso, escrevendo ε ≈ pc. Considere um gas de N eletrons nesse regime, contido num volume V = L3, de forma a que o momento linear assuma os

Aula 16 - Problemas de revisao MODULO 1 - AULA 16 valores quantizados p = npi~L , onde n2 = n2x + n2y + n2z.

Calcule

(a) a energia de Fermi, εF do gas, (b) e a energia interna, E, do gas em T = 0.

(c) Mostre que em T = 0 a pressao do gas e

Resposta comentada (a) A energia de Fermi e a energia do ultimo orbital ocupado quando T = 0. Para calcula-la, impomos que todos os eletrons devem ocupar os orbitais de mais baixa energia, ou seja

ja que em T = 0 f(ε) = 1 para ε < εF e f(ε) = 0 para ε > εF. O numero de orbitais entre n e n + dn e

Para obter a densidade de orbitais usamos que ε = pi~cnL , e dε = pi~cL dn. Com isso,

Finalmente,

V pi

(b) A energia interna em T = 0 pode ser calculada atraves da expressao:

assim,

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