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algebra linear 1 - modulo 1, Notas de estudo de Matemática

matrizes, determinante e sistemas lineares

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 01/08/2009

tatiana-nunes-3
tatiana-nunes-3 🇧🇷

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Baixe algebra linear 1 - modulo 1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! §1. Vetores, matrizes e sistemas lineares O que é Álgebra Linear? Por que estudá-la? A Álgebra Linear é a área da Matemática que estuda todos os aspectos relacionados com uma estrutura chamada Espaço Vetorial. Estrutura matemática é um conjunto no qual são defini- das operações. As proprie- dades dessas operações “es- truturam”o conjunto. Tal- vez você já tenha ouvido falar em alguma das principais es- truturas matemáticas, como grupo, anel e corpo. Você estudará essas estruturas nas disciplinas de Álgebra. Devido às suas caracteŕısticas, essa estrutura permite um tratamento algébrico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa- cional. A Álgebra Linear tem aplicações em inúmeras áreas, tanto da mate- mática quanto de outros campos de conhecimento, como Computação Gráfica, Genética, Criptografia, Redes Elétricas etc. Nas primeiras aulas deste módulo estudaremos algumas ferramentas para o estudo dos Espaços Vetoriais: as matrizes, suas operações e proprie- dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equações lineares. Muitos dos principais problemas da f́ısica, engenharia, qúımica e, é claro, da ma- temática, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de equações lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Álgebra Li- near propriamente dita e esperamos que você se aperceba, ao longo do curso, de que se trata de uma das áreas mais lúdicas da Matemática!!. 7 CEDERJ Matrizes MÓDULO 1 - AULA 1 3. matriz quadrada de ordem 2: [ 1 −2 5 7 ] Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas, como ilustra o próximo exemplo. Exemplo 3 Vamos construir a matriz A ∈ M2×4(R), A = (aij), tal que aij = { i2 + j, se i = j i − 2j, se i = j A matriz procurada é do tipo A = [ a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 ] . Seguindo a regra de formação dessa matriz, temos: a11 = 1 2 + 1 = 2 a12 = 1 − 2(2) = −3 a22 = 2 2 + 2 = 6 a13 = 1 − 2(3) = −5 a14 = 1 − 2(4) = −7 a21 = 2 − 2(1) = 0 a23 = 2 − 2(3) = −4 a24 = 2 − 2(4) = −6 . Logo, A = [ 2 −3 −5 −7 0 6 −4 −6 ] . Igualdade de matrizes O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes são ou não iguais. Temos a seguinte definição: Duas matrizes A, B ∈ Mm×n(R), A = (aij), B = (bij), são iguais quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Exemplo 4 Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes [ 2a 3b c + d 6 ] e [ 4 −9 1 2c ] sejam iguais. Pela definição de igualdade de matrizes, podemos escrever: [ 2a 3b c + d 6 ] = [ 4 −9 1 2c ] ⇒   2a = 4 3b = −9 c + d = 1 6 = 2c 11 CEDERJ Álgebra Linear 1 Matrizes Dáı, obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2. Numa matriz quadrada A = (aij), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os se- guintes elementos: • diagonal principal: formada pelos termos aii (isto é, pelos termos com ı́ndices de linha e de coluna iguais). • diagonal secundária: formada pelos termos aij tais que i + j = n. Exemplo 5 Seja A =   3 −2 0 1 5 3 −2 7 1/2 −3 π 14 −5 0 −1 6   . A diagonal principal de A é formada por: 3, 3, π, 6 A diagonal secundária de A é formada por: 1,−2,−3,−5 Matrizes quadradas especiais No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais. Seja A = (aij) ∈ Mn(R). Dizemos que A é uma matriz • triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto é, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos). • triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto é, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos). • diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto é, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo tempo, triangular superior e triangular inferior. • escalar, quando aij = { 0, se i = j k, se i = j , para algum k ∈ R. Isto é, uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal prin- cipal iguais a um certo escalar k. No nosso curso nos referimos aos números reais como escalares. Essa denominação é espećıfica da Álgebra Linear. CEDERJ 12 Matrizes MÓDULO 1 - AULA 1 • identidade, quando aij = { 0, se i = j 1, se i = j . Isto é, a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In. Exemplo 6 matriz classificação   4 1 20 6 3 0 0 9   triangular superior   2 0 00 0 3 0 0 0   triangular superior   1 0 00 4 0 0 0 0   triangular superior, triangular inferior, diagonal [ 0 0 −3 0 ] triangular inferior [ 0 0 0 0 ] triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar [ 5 0 0 5 ] triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar Exemplo 7 São matrizes identidade: I1 = [1]; I2 = [ 1 0 0 1 ] ; I3 =   1 0 00 1 0 0 0 1   ; I4 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1   De modo geral, sendo n um número natural maior que 1, a matriz 13 CEDERJ Álgebra Linear 1 Matrizes Respostas dos exerćıcios 1. (a) [ 4 −3 −5 0 8 −4 ] (b)   0 2 2 2 2 0 4 4 2 4 0 6 2 4 6 0   (c)   3 0 0 3 0 0 0 0   (d)   4 1 27 6 5 10 9 8   2. (a) x = 5; y = 1 (b) x = y = −1 Auto-avaliação Você não deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta primeira aula. São apenas definiões e exemplos. Se achar conveniente, antes de prosseguir, faça uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos. De qualquer maneira, você sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!) entrar em contato com o tutor da disciplina. Até a próxima aula!! CEDERJ 16 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real Objetivos Obter a matriz transposta de uma matriz dada; Identificar matrizes simétricas e anti-simétricas; Obter a matriz soma de duas matrizes; Obter o produto de uma matriz por um número real; Aplicar as propriedades das operações nos cálculos envolvendo matrizes. Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas matrizes são ou não iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das operações com matrizes. É através de operações que podemos obter outras matrizes, a partir de matrizes dadas. A primeira operação com matrizes que estuda- remos - a transposição - é unária, isto é, aplicada a uma única matriz. A seguir, veremos a adição, que é uma operação binária, ou seja, é aplicada a duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um número real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes, essa operação é dita ser externa. Transposição Dada uma matriz A ∈ Mm×n(R), A = (aij), a transposta de A é a matriz B ∈ Mn×m(R), B = (bji) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT . Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente, escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.) Exemplo 10 1. Seja A = [ 3 −2 5 1 7 0 ] . A transposta de A é a matriz AT =   3 1−2 7 5 0  . 17 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real 2. Se M = [ −3 4 4 9 ] , então MT = [ −3 4 4 9 ] = M . Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes simétricas e anti-simétricas, como segue: Definição Uma matriz A é: • simétrica, se AT = A • anti-simétrica, se AT = −A Segue da definição acima, que matrizes simétricas ou anti-simétricas são, necessariamente, quadradas. Exemplo 11 1. As matrizes   3 −2 √ 3 −2 5 1√ 3 1 8   , ( 19 3/2 3/2 −7 ) , e   1 −2 1/5 0 −2 7 9 −1 1/5 9 0 8 0 −1 8 4   são simétricas. 2. A matriz M , do exemplo 10, é simétrica. Note que, numa matriz simétrica, os elementos em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais. Exemplo 12 As matrizes ( 0 −1 1 0 ) ,   0 2 −1/2−2 0 5 1/2 −5 0   , e   0 −2 1/5 0 2 0 9 −1 −1/5 −9 0 8 0 1 −8 0   são anti-simétricas. Note que uma matriz anti-simétrica tem, necessariamente, todos os elementos da diagonal principal iguais a zero. CEDERJ 18 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2 Definição Dada A = (aij) ∈ Mm×n(R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α é a matriz C = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que cij = α aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n} Representamos a matriz produto de A por α por α A. Exemplo 14 Dadas A = [ −5 2 1 4 ] , B = [ 0 6 −3 8 ] e C = [ 6 −1 3 5 ] , temos: 1. 2A = [ −10 4 2 8 ] 2. 1 3 B = [ 0 2 −1 8/3 ] 3. A+2B−3C = [ −5 2 1 4 ] + [ 0 12 −6 16 ] + [ −18 3 −9 −15 ] = [ −23 17 −14 5 ] Propriedades das operações com matrizes Você talvez já tenha se questionado quanto à necessidade ou utilidade de se listar e provar as propriedades de uma dada operação. Comutatividade, associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades sempre válidas... No entanto, são as propriedades que nos permitem esten- der uma operação que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar três ou mais. Ela também flexibilizam e facilitam os cálculos, de modo que quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecânico”temos que desenvol- ver. Veremos agora as propriedades válidas para as operações já estudadas. Propriedade da transposição de matrizes (t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n(R), vale que AT T = A. A validade dessa propriedade é clara, uma vez que escrevemos as linhas de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas, retornando à configuração original. Segue abaixo a demonstração formal dessa propriedade: Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). Então AT = B = (bji) ∈ Mn×m(R) tal que bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. 21 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real Dáı, AT T = BT = C = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = BT = AT T = A. Propriedades da adição de matrizes Para demonstrar as propriedades da adição de matrizes, usaremos as propriedades correspondentes, válidas para a adição de números reais. Sejam A = (aij), B = (bij) e C = (cij) matrizes quaisquer em Mm×n(R). Valem as seguintes propriedades. (a1) Comutativa: A + B = B + A De fato, sabemos que A + B = (sij) é também uma matriz m× n cujo elemento genérico é dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adição de números reais é comutativa, podemos escrever sij = bij +aij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto é, A+B = B+A. Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas não altera a soma de duas matrizes. (a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) De fato, o termo geral sij de (A+B)+C é dado por sij = (a+b)ij+cij = (aij + bij) + cij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adição de números reais é associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij) = aij+(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij é também o termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto é, (A+B)+C = A+(B+C). Em palavras: podemos estender a adição de matrizes para o caso de três parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora somar três ou mais matrizes. (a3) Existência do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n(R) tal que A+O = A. De fato, seja O a matriz nula de Mm×n(R), isto é, O = (oij), onde oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A. Em palavras: na adição de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo papel que o zero desempenha na adição de números reais. (a4) Da existência do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n(R) tal queO elemento oposto é também chamado elemento simétrico ou inverso aditivo. A + (−A) = O. De fato, sabemos que cada elemento de −A é o oposto do elemento correspondente de A. Então, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos CEDERJ 22 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2 sij = aij + (−aij) = 0 = oij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto é, A + (−A) = O. Em palavras: Cada matriz possui, em correspondência, uma matriz de mesma ordem tal que a soma das duas é a matriz nula dessa ordem. (a5) Da soma de transpostas: AT + BT = (A + B)T De fato, seja sij o termo geral de A T +BT . Então, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n, sij = aji+bji = (a+b)ji, que é o termo geral de (A+B) T . Ou seja, AT + BT = (A + B)T . Em palavras: A soma das transpostas é a transposta da soma. Ou, vendo sob outro ângulo: a transposição de matrizes é distributiva em relação à adição. Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar Você verá que, também neste caso, provaremos a validade dessas propri- edades usando as propriedades correspondentes da multiplicação de números reais. Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguin- tes propriedades: (mn1) (αβ)A = α(βA) De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto é, pij = ((αβ)a)ij = (αβ)aij = α(βaij) = (α(βa))ij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij é também o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA). Exemplo 15 Dada A ∈ Mm×n(R), 12A = 3(4A) = 2(6A). (mn2) (α + β)A = αA + βA De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto é, pij = ((α + β)a)ij = (α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij é também o termo geral de αA + βA. Logo, (α + β)A = αA + βA. Exemplo 16 Dada A ∈ Mm×n(R), 12A = 7A + 5A = 8A + 4A. (mn3) α(A + B) = αA + αB De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Então, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij) = 23 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real 7. Dada A = [ 3 −5 −4 2 ] , determine a matriz B tal que A+B é a matriz nula de M2(R). 8. Considere as matrizes A =   5−1 2   , B =   12 3   , e C = [ 0 −2 1 ] . Determine a matriz X em cada caso: (a) X = 2A − 3B (b) X + A = B − CT − 2X (c) X + BT = 3AT + 1 2 C 9. Sendo A = [ 9 4 2 6 12 11 ] e B = [ −8 7 −9 −12 −19 −2 ] , determine as matrizes X e Y tais que { 2X + Y = A X − 2Y = B 10. Sendo A, B ∈ Mm×n(R), use as propriedades vistas nesta aula para simplificar a expressão 3 ( 2AT − B)T + 5 (1 5 BT − AT + 3 5 B )T . Auto-avaliação Você deve se sentir à vontade para operar com matrizes nas formas vis- tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. São operações de realização simples, que seguem a nossa intuição. Além disso, é importante que você reconheça a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobi- lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de operações não são para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pôr a teoria em prática! Se você sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver os exerćıcios propostos, peça aux́ılio ao tutor da teoria. O importante é que caminhemos juntos nesta jornada! Até a próxima aula!! CEDERJ 26 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2 Respostas dos exerćıcios 1.   3 3 −1 5 −2 1 −3 0   2. a = 1; b = 3 4. a = 7 3 ; b = 11 3 ; c = −4; x = 0; y = 0; z = 1 5.   2 27 2 −1 7   6. a = 3; b = −1; c = 2 7. [ −3 5 4 −2 ] 8. (a)   7−8 −5   (b)   −41 0   (c) [ 14 −6 72 ] 9. X = [ 2 3 −1 0 1 4 ] ; Y = [ 5 −2 4 6 10 3 ] 10. A + B 27 CEDERJ Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3 Note que, ao considerarmos a i-ésima linha (da 1a. matriz) e a j-´ésima coluna (da 2a.), geramos o elemento na posição ij da matriz produto. Formalmente, temos a seguinte definição: Multiplicação de matrizes Sejam A = (aik) ∈ Mm×p(R) e B = (bkj) ∈ Mp×n(R). A matriz produto de A por B é a matriz AB = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que cij = p∑ k=1 aik.bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n Exemplo 19 Sejam A = [ 3 2 −1 4 0 7 ] e B =   1 3 10 2−1 5 0 5 2 6 4 −2  . Como A é do tipo 2 × 3 e B é do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e é do tipo 2 × 4: AB = [ 3 2 −1 4 0 7 ] 1 3 10 2−1 5 0 5 2 6 4 −2   = = [ 3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2 4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14 ] = [ −1 13 26 18 18 54 68 −6 ] Observe que, neste caso, não é posśıvel efetuar BA. A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas conclusões interessantes a respeito da multiplicação de matrizes. Exemplo 20 Sejam A = [ 2 4 3 −1 ] e B = [ 3 2 5 6 ] . Então AB = [ 2 4 3 −1 ][ 3 2 5 6 ] = [ 6 + 20 4 + 24 9 − 5 6 − 6 ] = [ 26 28 4 0 ] e BA = [ 3 2 5 6 ][ 2 4 3 −1 ] = [ 6 + 6 12 − 2 10 + 18 20 − 6 ] = [ 12 10 28 14 ] . Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n existe e é também uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplicação pôde ser efetuada nos dois casos, isto é, nas duas ordens posśıveis, mas as matrizes AB e BA são diferentes. 31 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: multiplicação Exemplo 21 Sejam A = ( 1 2 3 4 ) e B = ( 1 4 6 7 ) . Temos que: AB = ( 1 2 3 4 )( 1 4 6 7 ) = ( 1 + 12 4 + 14 3 + 24 12 + 28 ) = ( 13 18 27 40 ) e BA = ( 1 4 6 7 )( 1 2 3 4 ) = ( 1 + 12 2 + 16 6 + 21 12 + 28 ) = ( 13 18 27 40 ) Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A e B comutam. Exemplo 22 Consideremos as matrizes A = [ 3 2 1 −4 6 5 ] e B =   4−19 26  . Efetuando AB, obtemos a matriz [ 0 0 ] . Note que, diferentemente do que ocorre com os números reais, quando multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer dos fatores seja a matriz nula. Exemplo 23 Vamos calcular AB, sendo A = ( 1 2 3 4 ) e B = ( −2 1 3/2 −1/2 ) . Temos que AB = ( −2 + 3 1 − 1 −6 + 6 3 − 2 ) = ( 1 0 0 1 ) = I2. Quando isso ocorre, isto é, quando o produto de duas matrizes A e B quadradas, é a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes), dizemos que A é inverśıvel e que B é a sua inversa. Uma matriz inverśıvel Matrizes inverśıveis também são chamadas de invert́ıveis ou de não-singulares. sempre comuta com sua inversa. Você pode verificar isso, calculando BA. Na próxima aula, estudaremos um método bastante eficiente para determinar, caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada. Propriedades da multiplicação de matrizes i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R). Isto é, a multiplicação de matrizes é associativa. De fato, sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (ckl). O termo de ı́ndices ik da matriz AB é dado pela expressão ∑n j=1 aijbjk. Então o termo CEDERJ 32 Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3 de ı́ndices il da matriz (AB)C é dado por ∑p k=1 (∑n j=1 aijbjk ) ckl =∑n j=1 aij ( ∑p k=1 bjkckl), que é o termo de ı́ndices il da matriz A(BC), pois ∑p k=1 bjkckl é o termo de ı́ndices jl da matriz BC. Logo, (AB)C = A(BC). ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n(R), B, C ∈ Mn×p(R). Isto é, a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição de matrizes. De fato, sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (cjk). O termo de ı́ndices jk de B +C é dado por (bjk + cjk). Então o de ı́ndices ik da matriz A(B + C) é ∑n j=1 aij(bjk + cjk) = ∑n j=1 [(aijbjk) + (aijcjk)] = ∑n j=1(aijbjk) +∑n j=1(aijcjk), que é o termo de ı́ndices ik da matriz dada por AB+AC. Isto é, A(B + C) = AB + AC. De forma análoga, prova-se que (A + B)C = AC + BC. iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R), ∀B ∈ Mn×p(R). De fato, sejam A = (aij) e B = (bjk). O termo de ı́ndices ik de λ(AB) é dado por λ (∑n j=1 aijbjk ) = ∑n j=1 λ(aijbjk) = ∑n j=1(λaij)bjk, que é o termo de ı́ndices ik de (λA)B. Isto é, λ(AB) = (λA)B. De forma análoga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B = A(λB). iv Dada A ∈ Mm×n(R), ImA = AIn = A. De fato, sejam A = (aij) e Im = δij, onde δij = { 1, se i = j 0, se i = j . Então A função δij assim definida échamada delta de Kronecker nos ı́ndices i e j.o termo de ı́ndices ij de ImA é dado por ∑n k=1 δikakj = δi1a1j + δi2a2j + ... + δiiaij + ... + δinanj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que é o termo de ı́ndices ij de A. Logo, ImA = A. Analogamente, prova-se que AIn = A. Isto é, ImA = AIn = A. v Dadas A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R), (AB)T = BT AT . De fato, sejam A = (aij) e B = (bjk). O termo de ı́ndices ik de AB é dado por ∑n j=1 aijbjk, que é, também, o termo de ı́ndices ki da 33 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: multiplicação 2. Determine ABT − 2C, dadas A =   1 22 5 0 −3   , B =   4 22 1 −1 7   , C =   7 9 16 4 2 −8 −10 3  . 3. Verifique, em caso, se B é a matriz inversa de A: a) A = [ 2 3 1 6 ] e B = [ 2/3 −1/3 −1/9 2/9 ] b) A = [ 1 5 −3 2 ] e B = [ 6 −5 −1 1 ] 4. Resolva a equação matricial [ 3 1 2 −5 ][ a b c d ] = [ 5 15 −8 −7 ] . 5. Determine a e b para que as matrizes A = [ 2 3 −9 5 ] e B = [ a −1 3 b ] comutem. 6. Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso: a) A = [ 1 2 4 5 ] b) A = [ 0 1 3 1 ] 7. Dadas as matrizes A = [ 1 −3 2 5 ] e B = [ 1 4 0 2 ] , calcule: a) A2 b) B3 c) A2B3 8. As matrizes A =   0 1 00 0 1 0 0 0   e B = [ 3 −9 1 −3 ] são nihilpotentes. Determine o ı́ndice de cada uma. CEDERJ 36 Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3 Auto-avaliação É muito importante que você se sinta bem à vontade diante de duas ma- trizes a multiplicar. Assimilada a definição, repita os exemplos e os exerćıcios que tenham deixado alguma dúvida. Caso haja alguma pendência, não hesite em contactar o tutor da disciplina. É essencial que caminhemos juntos!! Até a próxima aula. Respostas dos exerćıcios 1. a) AB = [ 30 70 ] b)AB = [ 14 −24 −7 12 ] c)AB =   18 15 −9−6 −5 3 12 10 −6  . 2.   −6 −14 116 1 29 10 17 −27   3. a) sim (pois AB = I2); b) não 4. [ 1 4 2 3 ] 5. a = 1; b = 0 6. a) [ x z/2 z x − z ] , x, z ∈ R b) [ x y 3y x + y ] , x, y ∈ R. 7. a) [ −5 −18 12 19 ] b) [ 1 12 0 4 ] c) [ 1 28 0 8 ] 8. a) 3; b) 2 37 CEDERJ Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4 1. Permutar duas linhas de A. Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li ↔ Lj . 2. Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo. Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo número real λ escre- vendo Li ← λLi. 3. Somamos a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um número real. Indicamos que somamos à linha Li a linha Lj multiplicada pelo número real λ por: Li ← Li + λLj . Exemplo 28 Vamos aplicar algumas operações elementares às linhas da matriz A =   −3 2 50 1 6 8 4 −2  : 1.   −3 2 50 1 6 8 4 −2   L1 ↔ L3 ⇒   8 4 −20 1 6 −3 2 5   2.   −3 2 50 1 6 8 4 −2   L2 ← −3L2 ⇒   −3 2 50 −3 −18 8 4 −2   3.   −3 2 50 1 6 8 4 −2   L2 ← L2 + 2L3 ⇒   −3 2 516 9 2 8 4 −2   Consideremos o conjunto Mm×n(R). Se, ao aplicar uma seqüência de operações elementares a uma matriz A, obtemos a matriz B, dizemos que B é equivalente a A e indicamos por B ∼ A. Fica definida, assim, uma relação no conjunto Mm×n(R), que é: 1. reflexiva: A ∼ A 2. simétrica: se A ∼ B então B ∼ A 3. transitiva: se A ∼ B e B ∼ C então A ∼ C Isto é, a relação ∼ é uma relação de equivalência no conjunto Mm×n(R). Assim, se A ∼ B ou se B ∼ A podemos dizer, simplesmente, que A e B são equivalentes. 41 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão Lembremos que nosso objetivo é determinar um método para encontrar a inversa de uma matriz, caso ela exista, que seja mais rápido e simples do que o uso da definição. Para isso, precisamos do seguinte resultado: Teorema 1 Seja A ∈ Mn(R). Então A é inverśıvel se, e somente se, A ∼ In. Se A é inverśıvel, a mesma sucessão de operações elementares que transformam A em In, transformam In na inversa de A. Você poderá encontrar a demonstração desse teorema no livro Álgebra Linear e Aplicações, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto Costa, da Atual Editora, (Apêndice do Caṕıtulo 1). Este método permite determinar, durante sua aplicação, se a matriz é ou não inverśıvel. A idéia é a seguinte: 1. Escrevemos, lado-a-lado, a matriz que queremos inverter e a matriz identidade de mesma ordem, segundo o esquema: A I 2. Por meio de alguma operação elementar, obtemos o número 1 na posição 11. 3. Usando a linha 1 como linha-pivô, obtemos zeros nas outras posições da coluna 1 (para isso, fazemos uso da terceira operação elementar). 4. Por meio de uma operação elementar, obtemos o número 1 na posição 22. 5. Usando a linha 2 como linha-pivô, obtemos zeros nas outras posições da coluna 2 (para isso, fazemos uso da terceira operação elementar). 6. Passamos para a terceira coluna e assim por diante. 7. Se, em alguma etapa do procedimento, uma linha toda se anula, po- demos concluir que a matriz em questão não é inverśıvel - nesse caso, nenhuma operação elementar igualaria essa linha a uma linha da matriz identidade! 8. Se chegarmos à matriz identidade, então a matriz à direita, no esquema, será a matriz inversa procurada. Veja os dois exemplos a seguir: CEDERJ 42 Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4 Exemplo 29 1. A =   3 1 2−1 0 3 4 2 −5  . Escrevemos na forma esquemática: 3 1 2 | 1 0 0 −1 0 3 | 0 1 0 4 2 −5 | 0 0 1 L2 ← −L2 3 1 2 | 1 0 0 1 0 −3 | 0 −1 0 4 2 −5 | 0 0 1 L1 ↔ L2 1 0 −3 | 0 −1 0 3 1 2 | 1 0 0 4 2 −5 | 0 0 1 L2 ← L2 − 3L1 L3 ← L3 − 4L1 1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 2 7 | 0 4 1 L3 ← L3 − 2L2 1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 −15 | −2 −2 1 L3 ← − 115L3 1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15 L1 ← L1 + 3L3 L2 ← L2 − 11L3 1 0 0 | 6/15 −9/15 −3/15 0 1 0 | −7/15 23/15 11/15 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15 Logo, a matriz A é inverśıvel e A−1 = 1 15   6 −9 −3−7 23 11 2 2 −1  . Você poderá verificar que essa é, realmente, a inversa de A, efetuando a multiplicação dela por A e constatando que o produto é I3. 2. A =   2 4 −10 −3 2 4 11 −4  . Escrevendo na forma esquemática: 2 4 −1 | 1 0 0 0 −3 2 | 0 1 0 4 11 −4 | 0 0 1 L1 ← 12L1 43 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão rápido e eficiente, que resolve tanto o problema de decidir se a inversa existe ou não, como de obtê-la, no caso de existir. Esse é o método implementado pelos “pacotes”computacionais - aqueles programas de computador que nos dão, em questão de segundos, a inversa de uma matriz. Exerćıcios 1. Em cada caso, verifique se a matriz B é a inversa de A. (a) A = [ 3 4 2 3 ] e B = [ 3 −4 −2 3 ] (b) A =   7 −3 −28−2 1 8 0 0 1   e B =   1 3 42 7 0 0 0 1   (c) A = [ 1 −3 1 4 ] e B = [ 4 3 −1 1 ] 2. Dadas A = [ 3 1 5 2 ] e B = [ 4 7 1 2 ] , determine: A−1, B−1 e (AB)−1. 3. Supondo as matrizes A, B e C inverśıveis, determine X em cada equação. (a) AXB = C (b) AB = CX (c) (AX)−1B = BC (d) [(AX)−1B]T = C 4. Determine, caso exista, a inversa da matriz A, em cada caso: (a) A = [ 3 −2 1 4 ] (b) A =   1 −2 310 6 10 4 5 2   (c) A =   2 0 04 −1 0 2 3 −1   CEDERJ 46 Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4 (d) A =   1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1   5. Que condições λ ∈ R deve satisfazer para que a matriz   1 1 12 1 2 1 2 λ   seja inverśıvel? Auto-avaliação Você deverá treinar bastante a aplicação do método estudado. Faça todos os exerćıcios e, se posśıvel, resolva outros mais - você mesmo(a) poderá criar matrizes a inverter e descobrir se são ou não inverśıveis. É fácil, ao final do processo, verificar se a matriz obtida é, de fato, a inversa procurada (isto é, se não houve erros nas contas efetuadas): o produto dela pela matriz dada tem que ser a identidade. Caso haja alguma dúvida, em relação à teoria ou aos exerćıcios, entre em contato com o tutor da disciplina. 47 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão Respostas dos exerćıcios 1. (a) sim (b) sim (c) não 2. A−1 = [ 2 −1 −5 3 ] ; B−1 = [ 2 −7 −1 4 ] ; (AB)−1 = [ 39 −23 −22 13 ] . 3. (a) X = A−1CB−1 (b) X = C−1AB (c) X = A−1BC−1B−1 (d) X = A−1B(CT )−1 4. (a) A−1 = [ 2/7 1/7 −1/14 3/14 ] (b) Não existe a inversa de A (c) A−1 =   1/2 0 02 −1 0 7 −3 −1   (d) A−1 =   1 0 0 0 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −2 1   5. λ = 1 CEDERJ 48 Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5 Exemplo 33 det   2 5 −30 4 5 3 1 −2   = 2(−1)1+1 ∣∣∣∣∣ 4 51 −2 ∣∣∣∣∣+ 5(−1)1+2 ∣∣∣∣∣ 0 53 −2 ∣∣∣∣∣+ (−3)(−1)1+3 ∣∣∣∣∣ 0 43 1 ∣∣∣∣∣ = 2(−8 − 5) − 5(0 − 15) − 3(0 − 12) = 85 . Observação: Existe uma regra prática para o cálculo do determinante de ordem 3, conhecida como Regra de Sarrus. Ela afirma que: Lê-se “Sarŕı”. ∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣∣ = = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33). Desenvolvendo os produtos indicados na definição de determinante de ordem 3, você poderá ver que as expressões coincidem. Exemplo 34 Vamos calcular, novamente, o determinante do exemplo anterior, agora usando a Regra de Sarrus:∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 −3 0 4 5 3 1 −2 ∣∣∣∣∣∣∣ = [2.4.(−2)+(5.5.3)+(−3.0.1)]−[(−3.4.3)+(2.5.1)+(5.0.(−2))] = = (−16 + 75) − (−36 + 10) = 85. n=4 Seja A =   a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44  . Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos: 51 CEDERJ Álgebra Linear 1 Determinantes det A = a11.(−1)1+1. det A−1,−1+ a12.(−1)1+2. det A−1,−2+ a13.(−1)1+3. det A−1,−3+ a14.(−1)1+4. det A−1,−4, onde A−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Observe que recáımos no cálculo de 4 determinantes, cada um de ordem 3. Para n = 5, a definição é análoga: iremos recair no cálculo de 5 de- terminantes, cada um de ordem 4. Logo, teremos que calcular 5 × 4 = 20 determinantes de ordem 3. Como você pode ver, os cálculos envolvidos na Um determinante de ordem 10 exige a realização de 9.234.099 operações! obtenção de determinantes crescem rapidamente, à medida que a ordem do determinante aumenta. Temos, então, que encontar um método alternativo para calcular deter- minantes: a definição não fornece uma sáıda rápida para isso. Antes, porém, de estudarmos um método mais eficiente para aplicar, usando as proprie- dades dos determinantes e, mais uma vez, operações elementares, damos a definição do determinante de ordem n, desenvolvido pela i-ésima linha: det   a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann   = n∑ j=1 aij(−1)i+j. det A−i,−j Propriedades dos determinantes Na medida do posśıvel, daremos uma idéia da demonstração dessas pro- priedades. Para verificar a validade de cada uma delas, precisaŕıamos definir determinantes pelo uso de permutações, o que alongaria demais a nossa aula. Caso você tenha interesse em conhecer essa abordagem, irá encontrá-la em Álgebra Linear e Aplicações, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto Costa. D1 O determinante de uma matriz é único. Isto é, não importa por qual linha ou coluna o determinante seja desenvolvido, o resultado final é sempre o mesmo. CEDERJ 52 Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5 D2 Dada A ∈ Mn(R), det A = det AT Em palavras: o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz. De fato, a expressão do determinante de A, desenvolvido pela i-ésima linha, coincidirá, termo a termo, com a expressão de det AT , desenvolvido pela i-ésima coluna. D3 Se A ∈ Mn(R) possui uma linha (ou uma coluna) nula, então det A = 0. De fato, basta desenvolver det A por essa linha (ou coluna) nula. D4 Se escrevemos cada elemento de uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn(R) como soma de 2 parcelas, então det A é a soma de dois determinantes de ordem n, cada um considerando como elemento daquela linha (ou coluna) uma das parcelas, e repetindo as demais linhas (ou colunas). D5 O determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal. Lembrando: o termo princi- pal de uma matriz quadrada é o produto dos elementos de sua diagonal principal. D6 Se multiplicamos uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn(R) por um número real λ, o determinante de A fica multiplicado por λ. D7 Se permutamos duas linhas (ou colunas) de A ∈ Mn(R), então o deter- minante de A fica multiplicado por −1. D8 Se A ∈ Mn(R) tem duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0. D9 Se A ∈ Mn(R) possui uma linha (ou coluna) que é soma de múltiplos de outras linhas (ou colunas), então det A = 0. D10 Se somamos a uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn(R) um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante de A não se altera. D11 Se A, B ∈ Mn(R), então det(AB) = det A. det B. D12 Se A ∈ Mn(R) é inverśıvel, então det A−1 = (det A)−1. De fato, se A é inverśıvel, existe A−1 tal que A.A−1 = I. Então det(A.A−1) = det I. Pela propriedade D11, det A . det A−1 = det I, e pela propriedade D5, temos que det I = 1. Logo, det A−1 = 1 det A = (det A)−1. Uma conclusão importante pode ser tirada a partir da propriedade D12: uma matriz é inverśıvel se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Destaquemos esse resultado: Seja A ∈ Mn(R). A é inverśıvel ⇔ det A = 0 53 CEDERJ Álgebra Linear 1 Determinantes 2. det A−1 = 1 D , pois o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz dada. 3. det 3A = 32D = 9D, pois A possui 2 linhas e cada linha multiplicada por 3 implica multiplicar o determinante por 3. Exemplo 38 Determine x tal que ∣∣∣∣∣ 2x x + 2−4 x ∣∣∣∣∣ = 14 Temos 2x.x−(−4)(x+2) = 14 ⇒ 2x2+4x−6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = −3. Exemplo 39 Determine x para que a matriz A = [ x 1 20 − x x ] seja inverśıvel. Sabemos que A é inverśıvel se, e somente se, det A = 0. Queremos, então, x2 − (20 − x) = 0 ⇒ x2 + x − 20 = 0 ⇒ x = 4 e x = −5. Resumo Nesta aula recordamos a definição de determinante e vimos que não se trata de um método prático para calcular determinantes de ordens al- tas. Vimos as propriedades dos determinantes e, com o uso de quatro delas, pudemos facilitar o cálculo de determinantes, aplicando operações elementa- res e “transformando”o determinante original num triangular. Tal método, chamado triangularização, permite que determinantes de ordens altas sejam obtidos sem que tenhamos que recair numa seqüência enorme de determinan- tes de ordens menores a serem calculados. Veja que esta aula não apresentou nenhuma grande novidade em termos de teoria: foi uma aula mais prática, que apresentou uma técnica útil de cálculo. Exerćıcios 1. Calcule, por triangularização, os seguintes determinantes: a) ∣∣∣∣∣∣∣ 3 −2 4 −1 0 2 5 6 2 ∣∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 −3 1 7 −2 3 0 4 −1 5 4 −3 2 4 −5 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣∣∣∣ 10 −2 −6 2 1 6 5 4 2 ∣∣∣∣∣∣∣ CEDERJ 56 Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5 2. Dada A ∈ Mn(R), tal que det A = D, determine: a) det AT b) det A−1 c) det 2A 3. Seja det A =   a b cd e f g h i   = 10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes: a) ∣∣∣∣∣∣∣ a b c −d −e −f g h i ∣∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣∣ a b c g h i d e f ∣∣∣∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣∣∣∣ a b c d/2 e/2 f/2 g h i ∣∣∣∣∣∣∣ d) ∣∣∣∣∣∣∣ a d g b e h c f i ∣∣∣∣∣∣∣ e) ∣∣∣∣∣∣∣ 2a 2b 2c g h i d e f ∣∣∣∣∣∣∣ f) ∣∣∣∣∣∣∣ a b c g + d h + e i + f d e f ∣∣∣∣∣∣∣ 4. Calcule x para que ∣∣∣∣∣∣∣ x + 2 2 −x 4 0 5 6 2x x ∣∣∣∣∣∣∣ = 14 5. Sejam A, B ∈ Mn(R) tais que det A = 4 e det B = 5. Determine: a) det AB b) det 3A c) det(AB)−1 d) det(−A) e) det A−1B 6. Determine x para que a matriz A = [ x x + 2 1 x ] seja inverśıvel. 57 CEDERJ Álgebra Linear 1 Determinantes Auto-avaliação Você deve estar bem treinado para calcular determinantes pelo método da triangularização. Veja que se trata de um cálculo “ingrato”: não há como verificar se estamos certos, a não ser refazendo e comparando os resultados. Por isso, embora se trate de uma técnica simples, algoŕıtmica, exige atenção. Caso você tenha sentido dúvidas, procure o tutor da disciplina. Respostas dos exerćıcios 1. a) − 84 b)1.099 c) − 266 2. a)D b)1/D c)2n.D 3. a) − 10 b) − 10 c)5 d)10 e) − 20 f)10 4. x = 1 ou x = −23 9 5. Sejam A, B ∈ Mn(R) tais que det A = 4 e det B = 5. Determine: a) det AB = det A. det B = 4 × 5 = 20 b) det 3A = 34. det A = 3n × 4 = 4.3n c) det(AB)−1 = [det(AB)]−1 = 20−1 = 1/20 d) det(−A) = (−1)n × 4 (será 4, se n for par e -4, se n for ı́mpar) e) det A−1B = det A−1. det B = 1/4 × 5 = 5/4 6. x = −1 e x = 2 CEDERJ 58 Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6 Exemplo 42 São sistemas de equações lineares: { 2x − y = 3 4x + 5y = 0   x + 2y − 3z = 1 −2x + 5y − z = 5 3x − 6y = 10 4x − y + 2z = −1   2a − 3b = 1 a + b = 5 5a − 2b = 8 { x1 − 2x2 + 5x3 = 0 2x1 + x2 = 2 Classificação de um sistema linear quanto à solução Um sistema linear pode ter ou não solução. Se tem solução, pode ter uma só ou mais de uma. Podemos, então, classificar um sistema linear, quanto à existência e quantidade de soluções, em três tipos: • Compat́ıvel (ou posśıvel) e determinado: quando possui uma única solução. • Compat́ıvel e indeterminado: quando possui mais de uma solução. • Incompat́ıvel (ou imposśıvel): quando não possui solução. Podemos pensar num sistema de equações lineares como sendo um con- junto de perguntas a responder (qual o valor de cada incógnita?). Cada equação fornece uma informação, uma “dica”a respeito dessas incógnitas. Se tivermos informações coerentes e em quantidade suficiente, encontraremos uma solução, que será única. Se essas informações forem coerentes entre si, mas em quantidade insuficiente, não conseguiremos determinar, uma-a-uma, cada solução, mas poderemos caracterizar o conjunto delas. Finalmente, se as informações não forem coerentes entre si, ou seja, se forem incompat́ıveis, o sistema não terá solução. Resolver um sistema é um pouco como brincar de dete- tive...Exemplo 43 Sem ter que aplicar regras de resolução, podemos ver que 1. O sistema { x + y = 3 x − y = 1 possui uma única solução: o par (2, 1); 2. O sistema { x + y = 3 2x + 2y = 6 possui mais de uma solução; os pares (1, 2), (0, 3), (3, 0), (2, 1), (3/2, 3/2) são algumas delas; 3. O sistema { x + y = 3 x + y = 4 não possui solução (A soma de dois números reais é única!). 61 CEDERJ Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares Sistemas lineares homogêneos Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando os termos inde- pendentes de todas as equações que o compõem são iguais a zero. Exemplo 44 São sistemas lineares homogêneos: { 2x − 3y = 0 x + 5y = 0 { 3x1 − x2 + 7x3 = 0 x1 − 2x2 + 3x3 = 0   2x − 5y = 0 x + 5y = 0 −x + 4y = 0 Observe que um sistema linear homogêneo em n incógnitas sempre admite a solução (0, 0, ..., 0)︸ ︷︷ ︸ n elementos, chamada solução trivial. Logo, um sistema linear homogêneo é sempre com- A solução trivial também é conhecida como solução nula ou ainda solução imprópria. pat́ıvel. Quando é determinado, possui somente a solução trivial. Quando é indeterminado, possui outras soluções, além da trivial, chamadas (obvia- mente!) soluções não-triviais. Já é hora de resolvermos sistemas lineares. Dissemos, no ińıcio da aula, que faŕıamos isso usando um método eficiente. Esse método lida com matrizes asociadas ao sistema a ser tratado. Vamos, então, caracterizar essas matrizes. Matrizes associadas a um sistema linear Dado um sistema linear com m equações e n incógnitas:   a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm destacamos as seguintes matrizes: CEDERJ 62 Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6 • matriz (m × n) dos coeficientes:  a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn   • matriz (ou vetor) (m × 1) dos termos independentes:  b1 b2 ... bm   • matriz aumentada (ou ampliada) (m × (n + 1)) do sistema:  a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn bm   Exemplo 45 O sistema linear   2x − 3y + 4z = 18 x + y − 2z = −5 −x + 3z = 4 possui matriz de coeficientes: matriz de termos independentes: matriz aumentada:   2 −3 41 1 −2 −1 0 3     18−5 4     2 −3 4 181 1 −2 −5 −1 0 3 4   Resolução de sistemas lineares por escalonamento Observe o sistema linear a seguir:  2x +y −z = 3 +3y +z = −1 2z = 4 Note que, para resolvê-lo, basta: 63 CEDERJ Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares Pronto: a matriz está escalonada. Vamos, agora, escrever o sistema S ′ , associado a ela: S ′ :   x +2y +5z = 28 −y −11z = −57 −43z = −215 Da terceira equação, obtemos z = (−215)/(−43) = 5. Substituindo na segunda, obtemos y = 2. Finalmente, substituindo os valores já obtidos na primeira equação, temos x = −1. Como S ′ e S são sistemas lineares equivalentes, essa também é a solução do sistema S dado. Logo, o conjunto-solução procurado é {(−1, 2, 5)}. Além disso, podemos classificar o sistema S: ele é compat́ıvel e determinado. Exemplo 47 Vamos resolver o sistema linear: S :   2x +y +5z = 1 x +3y +4z = −7 5y −z = −15 −x +2y +3z = −8 Sua matriz aumentada é:  2 1 5 1 1 3 4 −7 0 5 −1 −15 −1 2 3 −8   Você deve ter notado que, quando o elemento na linha pivô, na coluna em que estamos trabalhando, é 1 (ou -1), os cálculos ficam facilitados. Então, vamos aproveitar o fato de ter 1 na primeira posição da segunda linha, e permutar as linhas 1 e 2:  2 1 5 1 1 3 4 −7 0 5 −1 −15 −1 2 3 −8   L1 ↔ L2 ⇒   1 3 4 −7 2 1 5 1 0 5 −1 −15 −1 2 3 −8   Vamos obter zeros na primeira coluna, abaixo da primeira linha, usando a primeira linha como pivô: CEDERJ 66 Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6   1 3 4 −7 2 1 5 1 0 5 −1 −15 −1 2 3 −8   L2 ← L2 − 2L1 ⇒ L4 ← L4 + L1   1 3 4 −7 0 −5 −3 15 0 5 −1 −15 0 5 7 −15   Passemos para a segunda coluna. Para obter 1 na posição pivô, dividi- mos toda a segunda linha por -5:  1 3 4 −7 0 −5 −3 15 0 5 −1 −15 0 5 7 −15   L2 ← −1/5L2 ⇒   1 3 4 −7 0 1 3/5 −3 0 5 −1 −15 0 5 7 −15   Agora, usando a linha 2 como liha pivô, vamos obter zeros na segunda coluna, abaixo da segunda linha:  1 3 4 −7 0 1 3/5 −3 0 5 −1 −15 0 5 7 −15   ⇒L3 ← L3 − 5L2 L4 ← L4 − 5L2   1 3 4 −7 0 1 3/5 −3 0 0 −4 0 0 0 4 0   Para finalizar o escalonamento, precisamos obter três zeros inicias na quarta linha, ou seja, obter um zero na posição i = 4, j = 3. Nas passagens acima, usamos a segunda operação elementar par obter 1 na posição pivô e, com isso, ter os cálculos facilitados na obtenção dos zeros. Devemos, porém, estar atentos à possśıveis vantagens que um sistema em particular pode ofere- cer. Neste exemplo, se simplesmente somarmos a linha 3 à linha 4, já obtere- mos o zero procurado:   1 3 4 −7 0 1 3/5 −3 0 0 −4 0 0 0 4 0   ⇒ L4 ← L4 + L3   1 3 4 −7 0 1 3/5 −3 0 0 −4 0 0 0 0 0   A matriz está escalonada. Vamos escrever o sistema associado: S ′ :   x +3y +4z = −7 y +3z/5 = −3 −4z = 0 Resolvendo por substituições regressivas, obtemos: z = 0, y = −3, x = 2. Logo, o sistema S é compat́ıvel e determinado e seu conjunto-solução é {(2,−3, 0)}. Exemplo 48 Vamos resolver o sistema linear S :   3a +2b +c +2d = 3 a −3c +2d = −1 −a +5b +4c = 4 Acompanhe a seqüência de operações elementares que aplicremos para 67 CEDERJ Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares escalonar a matriz aumentada de S:  3 2 1 2 31 0 −3 2 −1 −1 5 4 0 4   L1 ↔ L3⇒   1 0 −3 2 −13 2 1 2 3 −1 5 4 0 4   L2 ← L2 − 3L1 ⇒ L3 ← L3 + L1 ⇒   1 0 −3 2 −10 2 10 −4 6 0 5 1 2 3   L2 ← 1/2L2 ⇒   1 0 −3 2 −10 1 5 −2 3 0 5 1 2 3   ⇒ L3 ← L3 − 5L2 ⇒   1 0 −3 2 −10 1 5 −2 3 0 0 −24 12 −12  ⇒ S ′ :   a −3c +2d = −1 b +5c −2d = 3 −24c +12d = 12 Na terceira equação, vamos escrever d em função de c : d = −1 + 2c. Substituindo na segunda equação, obtemos b = 1−c. E na primeira equação: a = 1− c. Temos, neste caso, um sistema compat́ıvel, porém indeterminado: ele possui infinitas soluções. Fazendo c = k, seu conjunto-solução é {(1−k, 1−k, k,−1+2k); k ∈ R}. Exemplo 49 Vamos resolver o sistema S :   2x +y −3z = 3 x −y +z = 1 3x +3y −7z = 2  2 1 −3 31 −1 1 1 3 3 −7 2   L1 ↔ L2⇒   1 −1 1 12 1 −3 3 3 3 −7 2   L2 ← L2 − 2L1 ⇒ L3 ← L3 − 3L1 ⇒   1 −1 1 10 3 −5 1 0 6 −10 −1   L3 ← L3 − 2L2   1 −1 1 10 3 −5 1 0 0 0 −3   Observe que, ao escrever o sistema associado a essa matriz, a terceira equação será: 0x+0y+0z = −3, ou seja, 0 = −3, o que é falso, para quaisquer valores de x, y e z. Logo, o sistema S é imposśıvel e seu conjunto-solução é ∅. Exemplo 50 Vamos resolver o sistema linear homogêneo S :   a −b +c = 0 a +b = 0 2b −c = 0  1 −1 1 01 1 0 0 0 2 −1 0   L2 ← L2 − L1   1 −1 1 00 2 −1 0 0 2 −1 0   L3 ← L3 − L2 CEDERJ 68 Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6 Respostas dos exerćıcios 1. (A) 0 (Ao escalonar, conclúımos que o sistema é incompat́ıvel) 2. a) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(−3, 1)} b) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(1, 2, 3, 4)} c) Sistema compat́ıvel indeterminado. Conjunto-solução = {(−1 + k, 2 + k, k); k ∈ R} d) Sistema compat́ıvel indeterminado. Conjunto-solução = {(5 − 2k/3,−16 + 7k/3, k); k ∈ R} e) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(5, 2)} f) Sistema incompat́ıvel. Conjunto-solução = ∅ g) Sistema compat́ıvel indeterminado. Conjunto-solução = {(k/4, 7k/4, k); k ∈ R}. h) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(0, 0)} 71 CEDERJ Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7 Aula 7 – Discussão de Sistemas Lineares Objetivo Discutir sistemas lineares, usando o método do escalonamento. Pré-requisito: aula 6. Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções e, quando estas existem, quantas são. Na aula passada vimos que, ao final do processo de escalonamento da matriz associada a um sistema linear, excluindo as equações do tipo 0 = 0, chegamos a uma entre três situações posśıveis: 1. Existe alguma equação do tipo 0 = a, com a = 0. Isto é, uma equação imposśıvel de ser satisfeita. Nesse caso, o sistema é incompat́ıvel e, portanto, seu conjunto solução é vazio. 2. Não há equações imposśıveis mas obtemos uma quantidade de equações menor do que o número de incógnitas. Nesse caso, o sistema é compat́ıvel e indeterminado e seu conjunto- solução admite infinitas soluções. Pode-se provar que um sistema linear que possui mais de uma solução possui, de fato, infinitas soluções. Note que o mesmo pode não ocorrer com um sistema não linear. Por exemplo, o sistema ( x − y = 0 x2 = 4 possui exatamente duas soluções, a saber, os pares ordenados (2, 2) e (−2,−2). 3. Não há equações imposśıveis e obtemos uma quantidade de equações igual ao de incógnitas. Nesse caso, o sistema é compat́ıvel e determinado e seu conjunto- solução é unitário. Nesta aula, iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assu- midos por parâmetros presentes nas equações, assim como impor valores a esses parâmetros para que uma desejada situação ocorra. A seguir, para formalizar os procedimentos explorados ao longo dos exerćıcios, definiremos a caracteŕıstica de uma matriz e apresentaremos o Teorema de Rouché-Capelli. Finalmente, veremos a Regra de Cramer, que se aplica a sistemas line- ares com quantidade de equações igual à de incógnitas. Acompanhe os exemplos a seguir. Exemplo 51 Vamos discutir o o sistema   x + y + z = 6 x + 2y − z = −4 x + 3z = a , segundo os valores do 73 CEDERJ Álgebra Linear 1 Discussão de Sistemas Lineares Exemplo 55 Que condições a, b e c devem satisfazer para que o sistema   3x − 2y = a 4x + y = b x = c admita solução? Solução:   3 −2 | a4 1 | b 1 0 | c   ∼   1 0 | c4 1 | b 3 −2 | a   ∼   1 0 | c0 1 | b − 4c 0 −2 | a − 3c   ∼   1 0 | c0 1 | b − 4c 0 0 | (a − 3c) + 2(b − 4c)  . Logo, o sistema terá solução apenas se (a − 3c) + 2(b− 4c) = 0, isto é, se a + 2b − 11c = 0. Exemplo 56 Vamos discutir o sistema homogêneo { x + 2y = 0 3x + ky = 0 , segundo o parâmetro k. Temos: [ 1 2 | 0 3 k | 0 ] ∼ [ 1 2 | 0 0 k − 6 | 0 ] . Então: • k = 6 ⇒ sistema compat́ıvel e indeterminado. • k = 6 ⇒ sistema compat́ıvel e indeterminado. Vamos, agora, formalizar o procedimento que vimos adotando para re- solver e discutir sistemas lineares. Para isso, precisamos da seguinte definição: Caracteŕıstica de uma matriz Na aula 4 vimos que, ao passar de uma matriz para outra, por meio de uma seqüência de operações elementares, definimos uma relação de equiva- lência no conjunto dessas matrizes. Assim, se podemos obter a matriz B, a partir da matriz A, pela aplicação de uma seqüência de operações elementa- res, dizemos que A e B são matrizes equivalentes. Nos exemplos anteriores usamos esse fato e indicamos que A e B são equivalentes escrevendo A ∼ B (ou B ∼ A). Seja A uma matriz qualquer e A ′ uma matriz escalonada, equivalente a A. Chamamos de caracteŕıstica de A, e indicamos por c(A), ao número de linhas não nulas de A ′ . CEDERJ 76 Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7 Exemplo 57 1. Seja A = [ 1 5 2 3 ] . Então A ′ = [ 1 5 0 −7 ] e c(A) = 2. 2. Se A =   2 5 −12 3 0 6 13 −2  , então A′ =   2 5 −10 −2 1 0 0 0   e c(A) = 2. 3. Sendo A =   1 1 1 12 2 2 2 5 5 5 5  , temos A′ =   1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0   e c(A) = 1. O racioćınio que usamos para resolver ou classificar os sistemas lineares se constitui num resultado conhecido como Teorema de Rouché-Capelli. Nós o enunciamos a seguir. Teorema 2 (Teorema de Rouché-Capelli) Seja um sistema linear S de representação matricial AX = b, com A ∈ Mm×n. Indiquemos por A|b a matriz aumentada de S. Então S será compat́ıvel se, e somente se, c(A) = c(A|b). Quando for compat́ıvel, será determinado se c(A) = n e indetermindado, se c(A) < n. Quando um sistema linear S : AX = b possui número de equações igual ao número de incógnitas, a matriz A é quadrada e podemos calcular seu determinante, que vamos representar por D. Neste caso, vale o seguinte teorema: As demonstrações dos teoremas de Rouché-Capelli e de Cramer podem ser encontradas, por exemplo, em Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 4, dos autores Gelson Iezzi e Samuel Hazzan, editado pela Atual. Teorema 3 (Teorema de Cramer) Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas. Se D = 0 então o sistema é compat́ıvel e determinado e sua única solução (α1, α2, ..., αn) é dada por αi = Di D , i = 1, ..., n, onde Di é o determinante da matriz que se obtém, a partir de A, substituindo- se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes do sistema. Quando D = 0 (isto é, quando a matriz A é inverśıvel), o sistema é chamado sistema de Cramer. Exemplo 58 Seja o sistema   x + 2y − 3z = −15 2x − y + z = 10 3x − z = 1 . 77 CEDERJ Álgebra Linear 1 Discussão de Sistemas Lineares Temos D = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 −3 2 −1 1 3 0 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ = 2 = 0. Logo, o sistema tem solução única. Vamos determinar essa solução. D1 = ∣∣∣∣∣∣∣ −15 2 −3 10 −1 1 1 0 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ = 4 D2 = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 −15 −3 2 10 1 3 1 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ = −2 D3 = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 −15 2 −1 10 3 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ = 10. Logo, x = D1 D = 4 2 = 2, y = D2 D = −2 2 = −1, z = D3 D = 10 2 = 5 Portanto, a única solução do sistema é (2,−1, 5). Do teorema de Cramer, podemos concluir que: • D = 0 ⇒ sistema compat́ıvel determinado. • D = 0 ⇒ sistema incompat́ıvel ou compat́ıvel indeterminado. Já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução, isto é, é sempre compat́ıvel. No caso particular de S ser homogêneo, podemos concluir, então, que: • D = 0 ⇒ sistema compat́ıvel determinado. • D = 0 ⇒ sistema compat́ıvel indeterminado. Exemplo 59 Vamos discutir o sistema { ax + 2ay = 0 4x + ay = 12 , usando o teorema de Cramer. Sabemos que se D = ∣∣∣∣∣ a 24 a ∣∣∣∣∣ = 0, o sistema tem solução única. Assim, os valores de a para os quais D = 0 tornam o sistema indeterminado ou imposśıvel. Esses valores são: D = 0 ⇒ a2 − 8a = 0 ⇒ a(a − 8) = 0 ⇒ a = 0 ou a = 8. CEDERJ 78
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