Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear 08 a 17

Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear 08 a 17

(Parte 1 de 9)

Espacos Vetoriais MODULO 2 - AULA 8

Aula 8 – Espacos Vetoriais

Objetivos

Definir espacos vetoriais, e estudar alguns dos principais exemplos dessa estrutura. Identificar propriedades dos espacos vetoriais.

Introducao

Imagine um conjunto V onde seja possıvel somar elementos e multiplicaro s elementos porn umeros reais, e que o resultado dessas operacoes esteja no conjunto V . Imagine ainda que essas operacoes tem ”boas”propriedades, aquelas que estamos acostumados a usar quando somamos e quando multiplicamos por numeros reais:

• podemos somar os elementos trocando a ordem, ou agrupando-os como quisermos, sem que o resultado seja alterado;

• existe um elemento que quando somado a outro resulta sempre nesse outro;

• feita uma soma, ep ossıvel desfaze-la com uma subtracao, e todo elemento de V pode ser subtraıdo de outro;

• multiplicar por um nao faz efeito;

• multiplicar seguidamente por varios reais e o mesmo que multiplicar pelo produto deles;

• multiplicar o resultado de uma soma por um numero real eo mesmo que multiplicar cada parcela e depois somar;

• multiplicar por um elemento de V uma soma de reais eo mesmo que multiplicar cada real pelo elemento em questao e depois somar os resultados.

Existem varios conjuntos onde a adicao e a multiplicacao por numeros reais que fazemos usualmente gozam dessas propriedades. Os conjuntos R,

R2 e R3 sao exemplos. Os conjuntos de matrizes de mesma ordem (M2×3(R),

M3×4(R) etc.) tambem sao exemplos (veja aula 3). Na verdade, ham uitos exemplos de conjuntos com essa mesma estrutura. Chamamos a esses conjuntos, munidos dessas operacoes com as propriedades acima de espacos vetoriais. 7 CEDER J

Espacos Vetoriais

A vantagem de se estudar os espacos vetoriais de forma mais abstrata, como faremos a partir de agora, e que estaremos estudando propriedades e leis que sao validas em qualquer espaco vetorial, em particular nos exemplos que acabamos de destacar. Ou seja, veremos o que existe de comum entre conjuntos de matrizes, R, R2, R3 ev arioso utrose spacos vetoriais.

Definicao de espaco vetorial

Considere um conjunto V no qual estao definidas duas operacoes: uma adicao, que a cada par de elementos u e v de V associa um elemento u + v de V , chamado soma de u e v,e uma multiplicacao por escalar,q ue ac ada numero real α e a cada elemento v de V associa um elemento αv de V , chamado produto de α por v. Dizemos que o conjunto V munido dessas operacoes eu m espaco vetorial real (ou um espaco vetorial sobre R, ou ainda, um R-espaco vetorial)s e sao satisfeitas as seguintes condicoes, para todos os elementos de V ,a quid esignadosp elas letras u, v e w, e todoso sn umeros reais, aqui designados pelas letras α e β:

• existe um elemento em V , que designaremos por e, que satisfaz v+e = v para qualquer v em V (existencia de elemento neutro para a adicao);

• para cada v ∈ V ,e xiste um elemento de V , que designaremos por −v, que satisfaz v +( −v)= e (existencia de inverso aditivo, tambem chamado de simetrico ou oposto);

De acordo com essa definicao, podemos concluir que nao sao espacos vetoriais o conjunto N dos numeros naturais, e o conjunto Z dos numeros inteiros, para comecar. Em nenhum dos dois, por exemplo, a operacao multiplicacao por escalar esta bem definida: ao multiplicar um numero inteiro nao nulo por √ 2, que eu mn umero real, a resposta certamente nao serau m numero inteiro.

Espacos Vetoriais MODULO 2 - AULA 8

Isso nos diz que alguns dos conjuntos que conhecemos nao sao espacos vetoriais. Para nos certificarmos que um determinado conjunto ed e fatou m espaco vetorial, e necessario verificar se as operacoes estao bem definidas, e se valem todas as condicoes da definicao! Qualquer uma que nao se verifique indica que o conjunto em questao nao eu me spaco vetorial.

Exemplos de espacos vetoriais

Para verificar se um conjunto eo u nao um exemplo de espaco vetorial, partimos do princıpio que no conjunto dos numeros reais a adicao e a multiplicacao tem todas as propriedades dadas na definicao de espaco vetorial (na verdade, estaremos usando o fato de que R eu m Corpo,q ue e uma outra estrutura estudada nos cursos de algebra). Sao varios os exemplos de espacos vetoriais. Listamos alguns deles a seguir.

Provaremos que R2 e spaco vetorial, sendo que a prova para R3 e analoga. Aqui as operacoes consideradas sao as usuais, ou seja, aquelas

Considere u =( x1,x2), v =( y1,y2)e w =( z1,z2), todos em R2, α e β numeros reais. Entao temos:

Espacos Vetoriais

2. Rn,c om n natural nao nulo qualquer

Oc onjunto Rn ef ormado pelas n-uplas (le-se ”enuplas”) de numeros reais:

Rn = {(x1,x 2,,x n): x1,x 2,... ,x n ∈ R}.
derando u =( x1,x2,,xn)e v =( y1,y 2,... ,y n)e lementos de Rn,
e α em R,t emos u + v =( x1 + y1,x2 + y2,,xn + yn)e αu =
(αx1,αx2,,αxn). A prova de que Rn eu m espaco vetorial ea naloga

Em Rn,a s operacoes usuais sao definidas da seguinte maneira: consias provas para R2 e R3,q ue sao casos particulares onde se considera

Ja vimos na aula 3 que o conjunto Mn×m(R) com as operacoes definidas na aula 2, satisfazem a todas as condicoes dadas na definicao de espaco vetorial real.

Aqui apenas recordaremos as operacoes de soma e produto por escalar no conjunto dos numeros complexos (conceitos vistos no curso de Pre-Calculo), deixando a prova como exercıcio. Considere os numeros

5. Polinomios de grau ≤ n (n natural nao nulo), com coeficientes reais, a uma variavel, acrescidos do polinomio nuloO grau do polinomio nulo nao esta definido.

Os polinomios sao muito estudados em diversos ramos da Algebra. Os conjuntos de polinomios de grau ≤ n (acrescidos do polinomio nulo), para os diversos valores de n,t em estrutura muito rica (no sentido da quantidade de operacoes e propriedades que sao validas nesses conjuntos), e o fato de serem espacos vetoriais e apenas uma de suas caracterısticas. Vamos fazer a prova para o conjunto dos polinomios de grau ≤ 2, sendo que a prova para o caso geral e inteiramente analoga.

Usaremos a notacao P2(t,R) para indicar o conjunto dos polinomios de grau ≤ 2a umavariavel t, com coeficientes reais, acrescido do polinomio nulo. Nesse caso,

Espacos Vetoriais MODULO 2 - AULA 8

A expressao “grau ≤ 2” e traduzida matematicamente pelo fato de que a pode ser qualquer numero real, inclusive zero: caso a seja 0, e b =0 , o polinomio em questao tem grau 1. Para o polinomio nulo, temos a = b = c =0 .

Lembre-sed eq ue um polinomio e um objeto abstrato, ao trabalhar com uma expressao do tipo 2t2 + t +1 nao estamos interessados em “encontrar t”(nem seria possıvel, pois nao se trata de uma equacao). No nosso curso estaremos interessados em somar tais expressoes, ou multiplica-las por escalares, obtendo outras do mesmo tipo. Para isso,

O conjunto dos polinomios de grau exatamente 2n ao eu me spaco vetorial. De fato, a soma nao esta bem definida nesse conjunto: somando t2 + t +1 e −t2 +2 t − 3, que tem grau 2, obtemos o polinomio 3t − 2, que tem grau 1.

Espacos Vetoriais

6. Polinomios de qualquer grau, com coeficientes reais, a uma variavel

Considerando o conjunto de todos os polinomios a uma variavel, com coeficientes reais, as operacoes soma e produto por escalar usuais

(analogas as que definimos para P2(t,R)) estao bem definidas e satisfazem a todas as propriedades que caracterizam os espacos vetoriais, tratando-se, portanto, de um exemplo de espaco vetorial.

Observacoes: Os elementos de um espaco vetorial sao chamados vetores. O elemento neutro da soma e chamado vetor nulo, e denotado por 0 ou 0. Note que, segundo essa convencao, vetores podem ser polinomios, matrizes, etc, e o sımbolo 0 serau sado tambem para matrizes nulas, n-uplas de zeros, etc.

Veremos ao longo deste modulo que muitos dos conceitos aplicaveis aos “antigos” vetores (como modulo, angulo, etc) tambem fazem sentido para os vetores da forma que estamos definindo agora.

Propriedades dos espacos vetoriais

Vamos considerar um espaco vetorial V , e usar as letras u, v e w para designar elementos desse espaco. Usaremos as letras gregas (α, β, λ,e tc) para designar numeros reais. Para facilitar as referencias futuras as propriedades, vamos numera-las.

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