algebra linear 1 - modulo 3, Notas de estudo de Matemática

Baixe algebra linear 1 - modulo 3 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18 Aula 18 – Transformações lineares Objetivos Definir os conceitos de transformação matricial e linear; Apresentar vários exemplos de transformações lineares. Introdução Um dos conceitos centrais na Matemática é o de função. De modo geral usa-se os termos função, aplicação e transformação como sinônimos. Uma função é uma associação entre dois conjuntos A e B, envolvendo todos os elementos de A, mas não necessariamente todos os elementos de B, e que associa cada elemento de A à somente um elemento de B. Esta maneira de ver uma função somente como uma associação é uma visão essencialmente estática. Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinâmica, é que uma função é uma transformação, que ¨leva¨ elementos do conjunto A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em elementos de B. Na Álgebra Linear, usa-se mais o termo transformação do que função, especialmente no caso das transformações lineares, que definiremos nesta aula. Em resumo, uma transformação de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W é simplesmente uma função de V em W . Como observamos, são de interesse especial as transformações linea- res. Comecaremos definindo transformações matriciais e depois as lineares. Veremos que para transformações de Rn em Rm, os dois conceitos são equi- valentes. 7 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações lineares Transformações matriciais Uma transformação matricial é uma função dada por T (x) = Ax, onde A é uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Então a aplicação T : Rn → Rm dada por x→ Ax é uma transformação matricial. Exemplo 1 Seja A = [ 2 1 3 1 2 0 ] então A induz a transformação matricial T : R3 → R2, dada por x→ Ax. Por exemplo, se x =   1 −1 2  , então Ax = [ 2 1 3 1 2 0 ] .   1 −1 2   = [ 7 −1 ] . Em geral, se x =   x1 x2 x3  , então Ax = [ 2 1 3 1 2 0 ] .   x1 x2 x3   = [ 2x1 + x2 + 3x3 x1 + 2x2 ] . Exemplo 2 Se A = [ 1 −1 2 2 1 −1 ] e b = [ 2 2 ] . Encontre um x ∈ R3, tal que Ax = b. Solução: Seja x =   x1 x2 x3  , então Ax = b, leva a [ 2 −1 2 2 1 −1 ] .   x1 x2 x3   = [ 2 2 ] CEDERJ 8 Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18 lineares de Rn em Rm são sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23 onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representação matricial de uma transformação linear. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais, e seja v ∈ V . Então T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W , onde 0V indica o vetor nulo do espaço vetorial v e 0W indica o vetor nulo do espaço vetoria W . Mostramos então que uma transformação linear T : V → W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W . Outra propriedade muito utilizada é a seguinte: T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u) . A dedução acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob- serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade. Isto é, se uma transformação T satisfaz T (cv + du) = cT (u) + dT (v) , então ela é linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos T (u+v) = Tu+Tv (preservação da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, obtemos T (cu) = cT (u) (preservação do produto de vetores por escalares). Aplicando sucessivamente o mesmo racioćınio acima, podemos mostrar que T (c1v1 + · · ·+ ckvk) = c1T (v1) + · · ·+ ckT (vk) , onde c1, · · · , ck são escalares e v1, · · · , vk são vetores no domı́nio de T . Exemplo 4 A transformação T : V → W dada por T (x) = 0W é linear. Esta trans- formação, chamada transformação nula, leva todo vetor de V no vetor nulo de W . Exemplo 5 Seja V um espaço vetorial qualquer, a transformação T : V → V dada por T (u) = u é linear. Esta transformação é chamada indentidade. Se V = Rn, então a transformação linear dada pela matriz In, identidade de ordem n, é a transformação identidade de Rn. 11 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações lineares Exemplo 6 Seja r ∈ R. Mostre que a transformação T : Rn → Rn dada por T (x) = rx é uma transformação linear. Solução: Sejam u, v ∈ Rn e c, d escalares. Então T (cu+ dv) = r(cu+ dv) = rcu+ rdv = c(ru) + d(rv) = cT (u) + dT (v) . Portanto T é uma transformação linear. Se r = 0 então temos a transformação nula. Se r = 1 temos a trans- formação identidade. Se 0 ≤ r < 1 então dizemos que T é uma contração. Se r > 1 então dizemos que T é uma dilatação. A figura abaixo mostra a dilatação T (x) = 2x. Tx = 2x Figura 2: Dilatação T (x) = 2x. Exemplo 7 A transformação T : R2 → R2 dada por T (x) = x+ (1, 0) não é linear. Para ver isto, basta notar que ela não leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta é uma translação de vetores no R2. Exemplo 8 A transformação linear T : R2 → R2 dada pela matriz [ 0 −1 1 0 ] , isto é T (x) = [ 0 −1 1 0 ] . [ x1 x2 ] = [ −x2 x1 ] . Como esta transformação é matricial, então ela é linear. Determinando a imagem de alguns vetores e representando em um gráfico estes vetores e suas imagens, podemos ver que esta transformação gira os vetores em torno da origem, no sentido anti-horário, de um ângulo de 900. Isto é verdade. Estudaremos com maiores detalhes transformações lineares especiais, como a rotação de um ângulo θ, nas aulas 25 e 26. CEDERJ 12 Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18 u v T(u) T(v) Figura 3: Rotação de um ângulo de 900. Exemplo 9 Seja Pn o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n. Definimos o operador derivação D : Pn → Pn−1 por D(a0 + a1t+ · · ·+ antn) = a1 + 2a2t+ · · ·+ nantn−1 . Isto é, D leva cada termo akt k em kakt k−1. É fácil ver que este operador é uma transformação linear. Note que ele é a derivação de funções no sentido usual, restrito ao espeço dos polinômios. Sabemos que para a derivação vale D(cf1 + df2) = cD(f1) + dD(f2) , confirmando que D é uma transformação linear. Note que esta transformação é linear mas não é matricial. Não há uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda transformação linear entre espaços de dimensão finita têm uma representação matricial. Há uma matriz A tal que se p é um polinômio e se [p]B é a representação deste polinômio em uma base B escolhida de Pn, então A[p]B é a representação de Dp nesta base. Exemplo 10 Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada seu dinheiro entre as 4 opções do banco. Representamos a carteira de um cliente por um vetor 4× 1. Assim uma carteira x =   xA xB xC xD   indica xA reais investidos na opção A, xB reais investidos na opção B etc. 13 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações lineares 6. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear. Se T ( [ 1 0 ] ) = [ 2 1 ] e T ( [ 0 1 ] ) = [ −1 3 ] , determine T ( [ 2 1 ] ) e T ( [ x1 x2 ] ). Respostas dos exerćıcios 1. [ −4 −8 ] e [ 3 4 ] . 2. A deve ser uma matriz 6× 4. 3. (a) x =   2− c c+ 1 c  , para todo c ∈ R. (b) Não há valor de x tal que Tx = b. 4. O espaço gerado por {(− 3 2 ,−1, 3 2 , 1)} é levado no vetor nulo. 5. (a) Dilatação por um fator de 3. (b) Contração por uma fator de 0, 5. (c) Rotação de 1800. (d) Projeção sobre o eixo-y. CEDERJ 16 Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19 Aula 19 – Propriedades das Transformações Lineares Objetivos Reconhecer e aplicar as propriedades das transformações lineares. Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de função - as trans- formações lineares, que são funções definidas entre espaços vetoriais e com caracteŕısticas que as tornam muito úteis, em uma gama imensa de problemas e situações da Matemática, F́ısica, Engenharia e Computação, entre outras áreas de estudo e trabalho. Nesta aula veremos várias propriedades das transformações lineares. Em especial, veremos um fato muito importante, que é o seguinte: para de- terminar uma transformação linear T : V → W , basta conhecer seus valores em uma base qualquer de V . Propriedades das transformações lineares Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. Valem as seguintes propriedades: (i) T (0V ) = 0W Em palavras: uma transformação linear leva o vetor nulo do domı́nio ao vetor nulo do contra-domı́nio. Esta propriedade já foi demonstrada na aula 18. (ii) T (−v) = −T (v),∀v ∈ V Em palavras: A imagem do vetor oposto é o oposto da imagem do vetor. Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v). (iii) Se U é um subespaço de V então T (U) é um subespaço de W . Devemos mostrar que 0W ∈ T (U) e que T (U) é fechado para soma de vetores e multiplicação por escalar. 17 CEDERJ Álgebra Linear 1 Propriedades das Transformações Lineares Como U um subespaço de V , então 0V ∈ U . Pela propriedade (i), T (0V ) = 0W ∈ T (U). Sejam x, y ∈ T (U). Existem u, v ∈ U tais que T (u) = x e T (v) = y. Como U é subespaço de V , então u + v ∈ U . De T (u + v) ∈ T (U) resulta que T (u+ v) = T (u) + T (v) = x+ y ∈ T (U) . Finalmente, sejam x ∈ T (U) e α ∈ R. Existe u ∈ U tal que T (u) = x. Como αu ∈ U , então T (αu) ∈ T (U), o que resulta em T (αu) = αT (u) = αx ∈ T (U) , e podemos concluir que T (U) é subespaço de W . (iv) Dados v1, v2, ..., vn ∈ V , T (α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αnT (vn) . Em palavras: A imagem de uma combinação linear de vetores de V é uma combinação linear das imagens desses vetores, com os mesmos coeficientes. Esta propriedade já foi apresentada na Aula 18. Vamos dar aqui uma demonstração usando indução sobre n. O caso n = 1 segue diretamente da definição de transformação linear, pois T (α1v1) = α1T (v1). Vamos supor que a propriedade vale para n = k, isto é, T (α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk) = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αkT (vk) . Vamos provar que vale para n = k + 1 : T (α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk + αk+1vk+1) = T [(α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk) + (αk+1vk+1)] T linear = T (α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk) + T (αk+1vk+1) hip. ind. = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αkT (vk) + T (αk+1vk+1) T linear = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αkT (vk) + αk+1T (vk+1) , isto é, vale a propriedade para n = k+1, o que conclui a demonstração. CEDERJ 18 Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19 Vamos ver como fazer no caso em que a base na qual a transformação linear é conhecida não seja a canônica: Exemplo 14 Uma transformação linear T : R2 → R3 é tal que T (1,−1) = (1, 1, 2); T (2, 0) = (2,−1, 1). Vamos determinar T (x, y), para (x, y) ∈ R2. Primeiramente, verificamos que os vetores v1 = (1,−1) e v2 = (2, 0) formam uma base de R2. Neste caso, como são dois vetores num espaço bi-dimensional, uma forma rápida de verificar que são LI é calcular o deter- minante formado pelas suas coordenadas e constatar que é diferente de zero. Deixamos isso com você, como exerćıcio (!). A seguir, escrevemos um vetor genérico do espaço como uma com- binação linear dos vetores dessa base: v = (x, y) = av1 + bv2 = a(1,−1) + b(2, 0)⇒ { a+ 2b = x −a = y . Resolvendo o sistema, obtemos a = −y e b = x+y 2 . Portanto, (x, y) = −y(1,−1) + x+ y 2 (2, 0) Usando a linearidade de T , obtemos T (v) = T (x, y) = = T (−yv1 + x+y2 v2) = = −yT (v1) + x+y2 T (v2) = = −y(1, 1, 2) + x+y 2 (2,−1, 1) = = ( x, −x−3y 2 , x−3y 2 ) . . Logo, T é dada por T (x, y) = ( x, −x−3y 2 , x−3y 2 ) . Exemplo 15 Em relação à transformação linear do exemplo 4, encontre v ∈ R2 tal que T (v) = (3, 1, 4). Queremos (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (3, 1, 4). 21 CEDERJ Álgebra Linear 1 Propriedades das Transformações Lineares ( x, −x− 3y 2 , x− 3y 2 ) = (3, 1, 4)⇒    x = 3 −x−3y 2 = 1 x−3y 2 = 4 ⇒    x = 3 −x− 3y = 2 x− 3y = 8 . Resolvendo o sistema, obtemos { x = 3 y = −5 3 . Logo, o vetor procurado é (3,−5/3). Exemplo 16 Dado um espaço vetorial V , um funcional linear definido em V é uma trans- formação linear f : V → R. Considere o funcional linear f definido em R2Note que o conjunto dos números reais é, ele mesmo, um espaço vetorial real. tal que f(1, 1) = 2 e f(2, 1) = 3. Vamos determinar f(x, y), para (x, y) ∈ R2. Novamente, começamos conferindo que os vetores (1, 1) e (2, 1) for- mam uma base de R2. Escrevemos, então, um vetor genérico (x, y), como combinação linear dos vetores dados: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 1). Resolvendo, obtemos { a+ 2b = x a+ b = y ⇒ { a = −x+ 2y b = x− y , isto é, (x, y) = (−x+ 2y)(1, 1) + (x− y)(2, 1). Então T (x, y) = T ((−x+2y)(1, 1)+(x−y)(2, 1)) = (−x+2y)T (1, 1)+(x−y)T (2, 1) = (−x+ 2y).2 + (x− y).3 = x+ y . Logo, T é dada por T (x, y) = x+ y. Exemplo 17 Em relação ao funcional linear definido no exemplo acima, vamos procurar os vetores v de R2 tais que f(v) = 0. Isto é, queremos (x, y) tal que f(x, y) = x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x,−x). Logo, há infinitos vetores de R2 que são levados ao zero, pelo funcional f - a saber, todo vetor do conjunto {(x,−x)|x ∈ R}. CEDERJ 22 Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19 Para finalizar, um exemplo no espaço dos polinômios: Exemplo 18 Seja T a transformação linear em P3(R) dada por T (1) = 1− t; T (1 + t) = t3; T (t+ t2) = 3− t2; T (t2 + t3) = 1 + t2. Vamos determinar T (x+ yt+ zt2 +wt3), onde x+ yt+ zt2 +wt3 é um polinômio qualquer de P3(R) e, a seguir, calcular T (2− 3t+ 4t3). Como nos exemplos anteriores, constatamos que {1, 1 + t, t+ t2, t2 + t3} é uma base de P3(R). A seguir, escrevemos o vetor genérico de P3(R) nessa base: x+ yt+ zt2 + wt3 = a.1 + b(1 + t) + c(t+ t2) + d(t2 + t3) = = (a+ b) + (b+ c)t+ (c+ d)t2 + dt3. Obtemos, assim, o seguinte sistema:    a+ b = x b+ c = y c+ d = z d = w , que, resolvido, fornece a solução:    a = x− y + z − w b = y − z + w c = z − w d = w . Escrevemos então: x+yt+zt2+wt3 = (x−y+z−w).1+(y−z+w)(1+t)+(z−w)(t+t2)+w(t2+t3) . Aplicamos a transformação T em ambos os lados dessa igualdade: T (x+ yt+ zt2 + wt3) = T ((x− y + z − w).1 + (y − z + w)(1 + t) + (z − w)(t+ t2) + w(t2 + t3)) = (x− y + z − w).T (1) + (y − z + w).T (1 + t) + (z − w).T (t+ t2) + w.T (t2 + t3) = (x− y + z − w).(1− t) + (y − z + w).t3 + (z − w).(3− t2) + w.(1 + t2) = (x− y + 4z − 3w) + (−x+ y − z + w)t+ (−z + 2w)t2 + (y − z + w)t3 . 23 CEDERJ Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20 Aula 20 – Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Objetivos Determinar o núcleo e a imagem de uma transformação linear. Identificar o núcleo de uma transformação linear como um subespaço do domı́nio. Identificar a imagem de uma transformação linear como um subespaço do contra-domı́nio. Na aula 19 mencionamos a imagem de uma transformação linear. Nesta aula definiremos o núcleo de uma transformação linear e mostraremos que, tanto o núcleo, como a imagem, possuem estrutura de espaço vetorial. Núcleo de uma transformação linear Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. Chamamos de núcleo de T , representado por N(T ), o seguinte conjunto: N(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0W} . Em palavras: o núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do Alguns textos usam a notação ker(T ), pois núcleo, em inglês, é kernel. domı́nio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contra- domı́nio. Dom inio Nuc leo Imagem 0 Figura 1: Exemplo 19 • Seja T : V → W a transformação linear nula, isto é, a transformação tal que T (v) = 0W ,∀v ∈ V . É fácil ver que seu núcleo é todo o espaço V . 27 CEDERJ Álgebra Linear 1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear • O núcleo da transformação identidade, definida no espaço vetorial V , é o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de V . • A projeção ortogonal sobre o eixo dos x, em R2, é uma transformação linear cujo núcleo é o eixo dos y. Exemplo 20 O núcleo da transformação linear T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x+ y, x− y, x− 2y) é o conjunto {(x, y) ∈ R2 | T (x, y) = (0, 0, 0)}, isto é (x+ y, x− y, x− 2y) = (0, 0, 0) ⇒    x+ y = 0 x− y = 0 x− 2y = 0 . Esse sistema tem solução x = 0 e y = 0. Logo, N(T ) = {(0, 0)}. Exemplo 21 Seja T : R4 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z, t) = (2x, x+ 2y − z, x− y + z + t) . Então, N(T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 | T (x, y, z, t) = (0, 0, 0)}. Isto é, um vetor (x, y, z, t) de R4 pertence ao núcleo de T se, e somente se, (2x, x+ 2y − z, x− y + z + t) = (0, 0, 0) ⇒    2x = 0 x+ 2y − z = 0 x− y + z + t = 0 . Esse sistema tem conjunto-solução {(0, k, 2k,−k); k ∈ R}, que é o núcleo de T . CEDERJ 28 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20 Teorema 2 Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. A imagem de T é subespaço vetorial de W . Demonstração. A imagem de T não é vazia, pois 0W é a imagem de 0V . Sejam w1, w2 vetores na imagem de T . Isso significa que existem vetores v1 e v2 em V , tais que T (v1) = w1 e T (v2) = w2. Então o vetor (w1 + w2) pertence à imagem de T , pois é a imagem do vetor (v1 + v2). De fato, temos: T (v1 + v2) = T (v1) + t(v2) = w1 + w2. Finalmente, sejam α ∈ R e w ∈ Im(T ). Isto é, existe v ∈ V tal que T (v) = w. Então, como T (αv) = αT (v) = αw, temos que (αw) ∈ Im(T ).  Uma vez provado que o núcleo e a imagem são subespaços vetoriais, o próximo passo é determinar a dimensão e obter uma base para cada um. É o que faremos nos exemplos seguintes. Exemplo 25 Dada a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y, x− z, y + z) , determine uma base e a dimensão de seu núcleo e de sua imagem. Vamos determinar o núcleo de T . Queremos encontrar os vetores (x, y, z) de R3 tais que T (x, y, z) = (x+ y, x− z, y + z) = (0, 0, 0) ⇒    x+ y = 0 x− z = 0 y + z = 0 , cujo conjunto-solução é {(k,−k, k); k ∈ R} = {k(1,−1, 1); k ∈ R}. Logo, o núcleo de T é gerado pelo vetor (1,−1, 1). Então temos que dimN(T ) = 1 e uma base de N(T ) é {(1,−1, 1)}. Vamos, agora, determinar a imagem de T . Queremos estabelecer as condições que um vetor (a, b, c) de R3 deve satisfazer para que exista um vetor (x, y, z), em R3, tal que T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (a, b, c). Essa igualdade leva a um sistema linear que, escalonado, fornece    x+ y = a y + z = a− b 0 = a− b− c . 31 CEDERJ Álgebra Linear 1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Para que existam soluções, devemos ter a − b − c = 0, que é a equação que caracteriza os vetores da imagem de T . Como a = b+c, um vetor da imagem pode ser escrito (b + c, b, c) = b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1). Logo, a imagem possui dimensão 2 e uma base para ela é {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}. Os dois próximos exemplos “invertem”o processo: vamos determinar uma transformação linear (ela não será única) a partir do seu núcleo ou de sua imagem. Exemplo 26 Encontrar uma transformação linear T : R3 → R3, cuja imagem é gerada pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1). Vimos, na aula passada, que uma transformação linear fica completa- mente determinada se a conhecemos nos vetores de uma base de seu domı́nio. Consideremos, por simplicidade, a base canônica de R3 e vamos determinar as imagens dos vetores dessa base, por T : T (1, 0, 0) = (1, 2, 3) T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) Note que a escolha de T neste exemplo não é de forma alguma única. Podeŕıamos, por exemplo, ter escolhido T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) e T (0, 0, 1) = (1, 2, 3). Note que o terceiro vetor deve ser levado a um que forme, com os dois vetores dados no enunciado, um conjunto LD, uma vez que a dimensão da imagem é 2. Então, como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), temos T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(0, 0, 0) = (x+ y, 2x+ y, 3x+ y), que é a lei que define a transformação T . Exemplo 27 Encontrar uma transformação linear T : R3 → R3, cujo núcleo é gerado pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1). Aqui, também, vamos definir uma transformação linear numa base de R3, mas esta base deve conter os vetores dados. Isto é, vamos completar o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} para que se torne uma base de R3. Para isso, de- vemos escolher um vetor (x, y, z) tal que o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (x, y, z)} seja LI. Em outras palavras, basta que seja um vetor tal que o determinante formado pelas coordenadas dos 3 vetores do conjunto seja diferente de zero. Isto é: ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 1 1 1 x y z ∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0⇒ z 6= −x+ 2y . CEDERJ 32 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20 Podemos considerar, por exemplo, o vetor (1, 0, 0). Temos, então, uma base de R3 em cujos vetores iremos definir a transformação: T (1, 2, 3) = (0, 0, 0) T (1, 1, 1) = (0, 0, 0) T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (por exemplo) Observe que a dimensão do núcleo é 2; logo, o terceiro vetor da base deve estar fora do núcleo, ou seja, ter imagem não nula. Para finalizar, temos que escrever um vetor genérico do R3 como com- binação linear dos vetores da base considerada e, enfim, determinar a ex- pressão de T : (x, y, z) = a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0)⇒    a+ b+ c = x 2a+ b = y 3a+ b = z ⇒ a = −y + z; b = 3y − 2z; c = x− 2y + z Logo, T (x, y, z) = aT (1, 2, 3) + bT (1, 1, 1) + cT (1, 0, 0) = = (−y + z)(0, 0, 0) + (3y − 2z)(0, 0, 0) + (x− 2y + z)(1, 0, 0) . Assim, uma posśıvel resposta é T (x, y, z) = (x− 2y + z, 0, 0). Resumo Nesta aula definimos o núcleo e a imagem de uma transformação linear T . Vimos que ambos são subespaços vetoriais: o núcleo, do domı́nio de T e a imagem, do contradomı́nio de T . Os exemplos visaram ajudar na assimilação da técnica para caracterizar o núcleo e a imagem, determinar suas dimensões e encontrar uma base para cada. Na próxima aula veremos um resultado importante que relaciona as dimensões do núcleo, da imagem, e do domı́nio de uma transformação linear. 33 CEDERJ Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21 Aula 21 – Teorema do Núcleo e da Imagem Objetivo Apresentar o teorema do núcleo e da imagem, algumas conseqüências e exem- plos. Na aula passada vimos que, se T : V → W é uma transformação li- near, o núcleo N(T ) é um subespaço vetorial de V e a imagem Im(T ) é um subespaço vetorial de W . Nesta aula apresentaremos o teorema do núcleo e da imagem, que re- laciona as dimensão de V , N(T ) e Im(T ). Teorema 1 Sejam V e W espaços vetoriais de dimewnsão finita. Seja T : V → W uma transformação linear, então dimV = dimN(T ) + dim Im(T ) . Demonstração. Seja p = dim Im(T ) e q = dimN(T ). Sejam {v1, . . . , vq} uma base de N(T ) e {w1, w2, . . . , wp} uma base de Im(T ). Existem {u1, . . . , up} ⊂ V tais que w1 = T (u1), w2 = T (u2), . . . , wp = T (up). Vamos mostrar que o conjunto {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} é uma base de V , o que demonstra o teorema, pois então temos dimV = q + p = dimN(T ) + dim Im(T ) . Vamos iniciar provando que o conjunto {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} é LI. Suponha que α1u1 + · · ·+ αpup + β1v1 + · · ·+ βqvq = 0 (1) , onde os α´s e β´s são escalares. Aplicando o operator T , temos α1T (u1) + · · ·+ αpT (up) + β1T (v1) + · · ·+ βqT (vq) = T (0) = 0 . Como T (ui) = wi, i = 1, . . . , p e T (vi) = 0, i = 1, . . . , q, resulta que α1w1 + · · ·+ αpwp = 0 . 37 CEDERJ Álgebra Linear 1 Teorema do Núcleo e da Imagem Mas {w1, . . . , wp} é um conjunto L.I. (sendo base de Im(T )), portanto α1 = · · · = αp = 0. Substituindo na equação (1), resulta β1v1 + · · ·+ βqvq = 0 . Como {v1, . . . , vq} é uma base de N(T ), então é um conjunto LI, o que implica em β1 = · · · = βq = 0. Conclúımos que {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} é LI. Vamos agora mostrar que esse conjunto gera V . Seja v ∈ V um vetor qualquer. Como T (v) ∈ Im(T ), então existem escalares α1, . . . , αp tais que T (v) = α1w1 + . . .+ αpwp = α1T (u1) + . . .+ αpup . Podemos escrever esta equação como T (v − α1u1 − . . .− αpup) = 0⇒ v − α1u1 − . . .− αpup ∈ N(T ) . Como {v1, . . . , vq} é uma base de N(T ), existem β1, . . . , βq tais que v − α1u1 − . . .− αpup = β1v1 + . . .+ βqvq , ou seja v = α1u1 + . . .+ αpup + β1v1 + . . .+ βqvq Isto mostra que {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} gera o espaço V . . Exemplo 28 A projeção ortogonal sobre o eixo-x é a transformação T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x, 0). (x,y) (x,0) Figura 1: Projeção ortogonal sobre o eixo-x Temos que o núcleo de T é formado pelos (x, y) tais que T (x, y) = (x, 0) = (0, 0)⇒ x = 0 . CEDERJ 38 Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21 Resumindo, em termos dos subespaços Im(T ) e N(T ), temos o seguinte: • T é sobrejetora quando Im(T ) = W . • T é injetora quando N(T ) = 0. Vamos agora provar uma conseqüência muito interessante do teorema do núcleo e da imagem. Teorema 2 Uma transformação linear entre espaços vetorias de mesma dimensão finita é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Demonstração. Isto é verdade porque, se T : V → W e n = dimV = dimW , então, como pelo teorema do núcleo e da imagem, n = dimN(T ) + dim Im(T ), temos N(T ) = {0V } ⇔ dimN(T ) = 0⇔ dim Im(T ) = n⇔ Im(T ) = W . A última equivalência é conseqüência do fato de que n = dim Im(T ) = dimW ⇒ Im(T ) = W .  Em geral, se U é subespaço de W e dimU = dimW então U = W . Uma caracteŕıstica importante das transformações lineares bijetoras é que levam uma base em uma base. Mais precisamente: Teorema 3 Seja T : V → W uma transformação linear entre os espaços V e W . Então T é bijetora se, e somente se, T leva uma base de V em uma base de W . Demonstração. Suponha que T leve uma base de V em uma base de W . Seja n = dimV e {v1, · · · , vn} uma base de V . Então {T (v1), · · · , T (vn)} é uma base de W , logo V e W têm a mesma dimensão n. Alem disso, se w ∈ W então existem α1, · · · , αn tais que w = α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) = T (α1v1 + · · ·+ αnvn)⇒ w ∈ ImT . Portanto, T é sobrejetora. Pelo teorema anterior, como T é uma transformação linear sobrejetora entre espaços de mesma dimensão, então T é bijetora. 41 CEDERJ Álgebra Linear 1 Teorema do Núcleo e da Imagem Suponha agora que T seja uma transformação linear bijetora. Seja {v1, · · · , vn} uma base de V . Queremos mostrar que {T (v1), · · · , T (vn)} é uma base de W . Se existem α1, · · · , αn tais que α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) = 0 então T (α1v1 + · · ·+ αnvn) = 0 . Como T é injetora então α1v1 + · · ·+ αnvn = 0 . Já que {v1, · · · , vn} é base, então α1 = · · · = αn = 0, o que mostra que {T (v1), · · · , T (vn)} é um conjunto L.I. Resta apenas mostrar {T (v1), · · · , T (vn)} gera W . Seja w ∈ W . Como T é sobrejetora, então existe v ∈ V tal que T (v) = w. Como {v1, · · · , vn} é uma base de V , então existem α1, · · · , αn tais que v = α1v1 + · · · + αnvn. Portanto, w = T (v) = T (α1v1 + · · ·+ αnvn) = α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) .  Isomorfismos e automorfismos Um isomorfismo dos espaços vetorias V em W é uma aplicação linear T : V → W que é bijetora. Dizemos que dois espaços vetoriais V e W são isomorfos quando existe algum isomorfismo T : V → W . Vimos, no Teorema 3, que, se T é um isomorfismo entre V e W , então T leva uma base de V em uma base de W . Conseqüentemente, V e W têm a mesma dimensão. Isto é, espaços vetoriais isomorfos têm a mesma dimensão. um isomorfismo T : V → V é chamado automorfismo de V . Exemplo 31 1. O operador identidade I : V → V é um automorfismo de V , para qual- quer espaço vetorial V . 2. O operador T : R2 → P1(R) dado por T (x1, x2) = x1 + x2X é um isomorfismo de R2 no espaço P1(R) dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e coeficientes reais. CEDERJ 42 Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21 A verificação de que T é linear e é bijetora é muito simples e será deixada como exerćıcios. Resumo O resultado mais importante desta aula é o teorema do núcleo e da imagem (Teorema 1). Provamos, como conseqüência do Teorema 1, que uma transformação entre espaços de mesma dimensão é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Provamos tambem que as transformações lineares bijetoras são carac- terizadas pela propriedade de levarem base em base. Exerćıcios 1. Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x+ y, 2x− z). (a) Determine o núcleo de T . (b) Determine a imagem de T . 2. Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (x, y, 0). (a) Determine o núcleo de T . (b) Determine a imagem de T . 3. Mostre que a aplicação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x+ z, y + z, x+ 2z) é um automorfismo de R3. 4. Determine uma aplicação linear T : R3 → R4 tal que ImT seja o espaço gerado por {(1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)}. 5. Determine uma transformação linear T : R3 → R2 cujo núcleo seja gerado por {(1, 0, 1)}. 6. Mostre que a transformação linear T : R3 → P2(R) dada por T (x1, x2, x3) = x1 + x2X + x3X 2 é um isomorfismo. 7. Prove que o espaço R2 é isomorfo ao espaço U = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0} . 43 CEDERJ Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear que v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn. (1) Usando (1) e a linearidade de T , podemos escrever: T (v) = T (α1v1 +α2v2 + ...+αnvn) = α1T (v1)+α2T (v2)+ ...+αnT (vn). (2) Cada vetor T (vi), i = 1, 2, ..., n, presente em (2), pertence a W ; logo, pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base B. Ou seja, para cada vetor vi, i = 1, 2, ..., n, de A, existem escalares a1i, a2i, ..., ami tais que T (vi) = a1iw1 + a2iw2 + ...+ amiwm. Detalhando mais, temos: T (v1) = a11w1 + a21w2 + ...+ am1wm T (v2) = a12w1 + a22w2 + ...+ am2wm ... T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + ...+ amnwm Substituindo essas expressões em (2), temos: T (v) = α1(a11w1 + a21w2 + ...+ am1wm) +α2(a12w1 + a22w2 + ...+ am2wm) +... +αn(a1nw1 + a2nw2 + ...+ amnwm) = = (α1a11 + α2a12 + ...+ αna1n)w1 +(α1a21 + α2a22 + ...+ αna2n)w2 +... +(α1am1 + α2am2 + ...+ αnamn)wm (3) O vetor T (v), por sua vez, está em W . Logo, pode ser escrito em relação à base B, isto é, existem escalares β1, β2, ..., βm tais que T (v) = β1w1 + β2w2 + ...+ βmwm. (4) CEDERJ 46 Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22 Comparando as expressões (3) e (4), concluimos que: β1 = a11α1 + a12α2 + ...+ a1nαn β2 = a21α1 + a22α2 + ...+ a2nαn ... βm = am1α1 + am2α2 + ...+ amnαn As igualdades acima podem ser representadas na seguinte forma ma- tricial:   a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn     α1 α2 ... αn   =   β1 β2 ... βm   (5) Observe que os vetores-coluna que aparecem nessa igualdade são os vetores-coordenadas dos vetores v e T (v), em relação às bases A e B, res- pectivamente. Representando a matriz m × n por [T ]A,B, podemos escrever a igualdade (5) na forma: [T ]A,B[v]A = [T (v)]B Dizemos que a matriz [T ]A,B é a matriz de T (ou matriz associada a T ) em relação às bases A e B. Obtendo a matriz associada a uma transformação linear Você não terá que repetir todo esse procedimento para obter a matriz associada a uma transformação linear. Primeiramente, note que, se dimV = n e dimW = m, então a matriz associada a uma transformação linear de V em W é m× n e é tal que: • a primeira coluna é formada pelos elementos do vetor-coordenadas de T (v1) em relação à base B, ou seja, é [T (v1)]B; • a segunda coluna é formada pelos elementos do vetor-coordenadas de T (v2) em relação à base B, ou seja, é [T (v2)]B; • de modo geral, a i-ésima coluna da matriz é a imagem do i-ésimo vetor da base A, escrito na base B. 47 CEDERJ Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear [T] A,B B [T(v )] 1 B [T(v )] 2 B [T(v )] n ...= Figura 1: A matriz [T ]A,B, onde A = {v1, v2, ..., vn} Essa idéia está ilustrada na figura 1. Observações. Quando as bases consideradas são as canônicas, dizemos que a matriz obtida é a matriz canônica da transformação linear. Além disso, quando lidamos com operadores lineares, ou seja, com transformações lineares em que o domı́nio e o contradomı́nio coincidem, se consideramos uma única base para representar, tanto os vetores de entrada quanto suas imagens, podemos simplificar a notação. Por exemplo, sendo A a base escolhida, representamos [T ]A,A por [T ]A. Exemplo 32 Seja T : R2 → R3 a transformação linear dada por T (x, y) = (x + y, 2x, x− 3y). Vamos determinar a matriz associada a T , relativamente às bases A = {(2, 1), (−1, 0)} e B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 3)}. Sabemos que [T ]A,B é do tipo 3 × 2 e que cada coluna é a imagem do respectivo vetor da base A, escrita na base B. Vamos proceder aos seguintes passos: (1) Aplicar T aos vetores da base A: T (2, 1) = (3, 4,−1) T (−1, 0) = (−1,−2,−1) (2) Explicitar como a base B gera R3, isto é, determinar como um vetor genérico de R3 se decompõe como combinação linear dos vetores de B: (x, y, z) = a(1, 2, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 3)⇒    a = x b = y − 2x c = x−y+z 3 . CEDERJ 48 Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22 Exerćıcios 1. Determine a matriz [T ]A,B, sendo T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (2x+y−z, x+2y), A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} e B = {(−1, 1), (0, 1)}. 2. Determine o operador linear T , definido em R2, sabendo que sua matriz em relação à base A = {1, 1), (1, 2)} é [ 1 0 1 2 ] . 3. Seja T : R3 → R2 tal que [T ]A,B = [ 1 0 −1 −1 1 1 ] , sendo A = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B = {(−1, 0), (0,−1)}, bases do R3 e do R2, respectivamente. (a) Encontre a expressão de T (x, y, z). (b) Determine o núcleo de T . (c) Determine a imagem de T . (d) T é injetora? É sobrejetora? 4. Seja T a transformação linear de R3 em R2 dada por T (x, y, z) = (2x+ y − z, x + 2y). Fixadas as bases A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} e B = {(−1, 1), (0, 1)}, de R3 e R2, respectivamente, e considerando v = (1, 2, 0) ∈ R3, (a) Dê o vetor-coordenadas de v em relação à base A. (b) Calcule T (v). (c) Determine o vetor-coordenadas de T (v) em relação à base B. (d) Obtenha a matriz [T ]A,B. (e) Calcule o vetor-coordenadas de T (v0 em relação à base B, usando a matriz obtida no item d) (isto é, calcule [T ]A,B[v]A) e compare com o item c)). 5. A transformação linear T : R2 → R3 tem matriz [T ]A,B =   3 1 2 5 1 −1  , em relação às basesA = {(−1, 1), (1, 0)}, do R2, eB = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)}, do R3. Determine: (a) A expressão de T (x, y). 51 CEDERJ Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear (b) A matriz canônica de T . 6. Sejam A = {(1,−1), (0, 2)} e B = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)}, bases de R2 e R3, respectivamente, e [T ]A,B =   1 0 1 1 0 −1  . (a) Determine T . (b) Ache uma base C de R3 tal que [T ]A,C =   1 0 0 0 0 1  . 7. Considere o operador identidade I, definido em R2, isto é, o operador linear tal que I(x, y) = (x, y), para todo (x, y) ∈ R2. Considere as bases A = {(1, 1), (0,−1)} e B = {(2,−3), (−3, 5)}, de R2. Encontre a matriz [I]A,B. Auto-avaliação Basicamente, vimos duas técnicas: obter e aplicar a matriz associada a uma transformação linear. Você deverá estar familiarizado com os passos que levam à obtenção dessa matriz e, além disso, ter sempre em mente que a matriz [T ]A,B só pode ser multiplicada por vetores representados na base A, e que o produto é a imagem do vetor, escrita em relaçao à base B. Caso você tenha alguma dúvida, entre em contato com o tutor da disciplina. CEDERJ 52 Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22 Respostas dos exerćıcios 1. [T ]A,B = [ −2 −3 0 3 3 2 ] 2. T (x, y) = 2x, 2x+ y) 3. (a) T (x, y, z) = (z − 2y,−x+ y) (b) ImT = R2 (c) N(T ) = [(1, 1, 2)] (subespaço de R3 gerado pelo vetor (1, 1, 2)). (d) T não é injetora; T é sobrejetora. 4. (a)   5 −2 0   (b) (4, 5) (c) [ −4 9 ] (d) [ −2 −3 0 3 3 2 ] 5. (a) T (x, y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y) (b) [T ] =   8 18 6 11 −2 −4   6. (a) T (x, y) = ( x−y 2 , x−y 2 , 2x+ y ) (b) C = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (−1,−1, 2)}. 7. [ 8 −3 5 −2 ] 53 CEDERJ Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações Multiplicação de uma transformação linear por um número real Sejam V um espaço vetorial, T : V → W , uma transformação linear e k ∈ R. Definimos a transformação produto de k por T como sendo: (kT ) : V → W v 7→ kT (v) Vamos mostrar que o produto de transformação linear por escalar é uma transformação linear. Para isso, sejam u, v ∈ V, α ∈ R. Então • (kT )(u+v) = kT (u+v) = k(T (u)+T (v)) = kT (u)+kT (v) = (kT )(u)+ (kT )(v). • (kT )(αv) = kT (αv) = kαT (v) = α[kT (v)] = α(kT )(v). Podemos afirmar o seguinte resultado: Sejam V e W espaços vetoriais. Com as operações de adição e mul- tiplicação por escalar vistas acima, o conjunto de todas as transformações lineares de V em W formam um espaço vetorial. Representaremos esse espaço por L(V,W ). Além disso, se dimV = n e dimW = m, temos que dimL(V,W ) = mn. No caso particular de V = W , o espaço vetorial de todos os operadores lineares definidos em V será representado por L(V ). Você poderá encontrar uma desmontração desse resultado no livro de Álgebra Linear, de Seymour Lipschutz, da Coleção Schaum. Exemplo 35 Sejam T, S : R3 → R2 as transformações lineares dadas por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + z) e S(x, y, z) = (x, y). Então: • (T + S)(x, y, z) = T (x, y, z) + S(x, y, z) = (2x+ y, x+ z). • (3T )(x, y, z) = 3(x+ y, x− y + z) = (3x+ 3y, 3x− 3y + 3z). • (2T−5S)(x, y, z) = 2(x+y, x−y+z)−5(x, y) = (−3x+2y, 2x−7y+2z). CEDERJ 56 A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23 Composição de transformações lineares Sejam V, U,W espaços vetoriais, T : V → U e S : U → W trans- formações lineares. Definimos a transformação composta S ◦ T como sendo: S ◦ T : V → W v 7→ S(T (v)) A figura 1 ilustra essa idéia: v T(v) S(T(v)) V U W T S Figura 1: A transformação composta S ◦ T Vamos mostrar que a composta de transformações lineares é uma trans- formação linear. Para isso, sejam u, v ∈ V, α ∈ R. Então • (S ◦ T )(u+ v) = S[T (u+ v)] = S[T (u) + T (v)] = S(T (u)) +S(T (v)) = (S ◦ T )(u) + (S ◦ T )(v). • (S ◦ T )(αv) = S[T (αv)) = S[αT (v)] = αS(T (v)) = α(S ◦ T )(v). Exemplo 36 Sejam T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x+ y, 3x, x− 2y) e S : R3 → R4 dada por S(x, y, z) = (x+ y, x− y, 0, x+ y+ z). A transformação composta S ◦T , de R2 em R4, é dada por: (S ◦T )(x, y) = S(T (x, y)) = S(x+y, 3x, x−2y) = (4x+y,−2x+y, 0, 5x−y). As operações análogas com as matrizes associadas Sendo V e W espaços vetoriais de dimensão finita, vimos, na aula 22, que, fixadas bases em V e em W , cada transformação linear definida entre esses espaços está associada a uma matriz. Ora, qual será a matriz associada à soma de duas transformações lineares? E ao produto de uma transformação linear por um escalar? E à composta de duas transformações lineares? Fa- zendo os cálculos que levam à obtenção da matriz associada, chegamos às seguintes conclusões: 57 CEDERJ Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações • A matriz associada à soma de duas transformações lineares é a soma das matrizes associadas a essas transformações. • A matriz associada ao produto de uma transformação linear por um escalar é o produto da matriz associada à transformação pelo mesmo escalar. • A matriz associada à composta de duas transformações lineares é o produto (numa determinada ordem) das matrizes associadas às trans- formações. Mais formalmente, o que temos é: • Se T e S são transformações lineares de V em W ; A é base de V ; B é base de W , então [T + S]A,B = [T ]A,B + [S]A,B • Se T é transformação linear de V em W ; A é base de V ; B é base de W e k ∈ R, então [kT ]A,B = k[T ]A,B • Se T é transformação linear de V em U ; S é transformação linear de U em W ; A é base de V , B é base de U e C é base de W , então [S ◦ T ]A,C = [T ]A,B.[S]B,C Exemplo 37 Vamos retomar as transformações do exemplo 1: T, S : R3 → R2, dadas por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + z) e S(x, y, z) = (x, y). As matrizes canônicas de T e S são: [T ] = [ 1 1 0 1 −1 1 ] [S] = [ 1 0 0 0 1 0 ] . Então (em cada caso, você pode obter a matriz diretamente e comparar os resultados!!): • [T + S] = [T ] + [S] = [ 2 1 0 1 0 1 ] . • [3T ] = 3[T ] = [ 3 3 0 3 −3 3 ] . • [2T−5S] = 2[T ]−5[S] = 2 [ 1 1 0 1 −1 1 ] −5 [ 1 0 0 0 1 0 ] = [ −3 2 0 2 −7 2 ] . CEDERJ 58 A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23 4. Sejam F e T operadores lineares em R2 definidos por F (x, y) = (y, x) e T (x, y) = (0, x). Estabeleça fórmulas que definam os operadores F + T, 2F − 3T e TF ◦ T . 5. Seja C = {e1, e2, e3} a base canônica de R3. Seja T ∈ L(R3) o operador dado por T (e1) = e2;T (e2) = e3 e T (e3) = e1. (a) Determine T (x, y, z). (b) Mostre que T 3 = I. (Obs.: T 3 = T ◦ T ◦ T ; I indica o operador identidade.) 6. Sejam T, F ∈ L(V ) tais que T ◦ F = F ◦ T . Mostre que: (a) (T + F )2 = T 2 + 2(T ◦ F ) + F 2 (b) (T + F ) ◦ (T − F ) = T 2 − F 2 7. Dizemos que um operador T ∈ L(V ) é idempotente quando T 2 = T . Dizemos que um operador T ∈ L(V ) é nilpotente quando T n = 0 (operador nulo), para algum número n natural. Determine se os seguintes operadores lineares são idempotentes, nilpo- tentes, ou nenhuma das duas coisas: (a) T ∈ L(R2 tal que T (x, y) = (0, x). (b) O operador derivação D ∈ L(Pn). (c) T ∈ L(R3 tal que T (x, y, z) = (−x,−y,−z) (d) F ∈ L(R2 dado por F (x, y) = (x, 0) (e) T ∈ L(R3) tal que T (x, y, z) = (z, x, y) 8. Desafio: Suponha T : V → U e S : U → W , transformações lineares. Demonstre o seguinte: (a) Se T e S são injetoras, então S ◦ T é injetora. (b) Se T e S são sobrejetoras, então S ◦ T é sobrejetora. (c) Se S ◦ T é injetora, então T é injetora. (d) Se S ◦ T é sobrejetora, então S é sobrejetora. 61 CEDERJ Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações Auto-avaliação Esta aula reuniu conceitos que você talvez já conhecesse, como soma e composição de funções, e operações com matrizes. O interessante é reunir essas idéias e verificar como as operações entre transformações lineares são análogas ao que ocorre com as matrizes associadas. Além disso, o fato de que o conjunto das transformações lineares seja um espaço vetorial nos dá a visão de como podeŕıamos construir novos espaços, num processo infinito: o próximo passo seria considerar o conjunto das transformações lineares defini- das entre espaços de transformações lineares!! Se você tiver sentido qualquer dificuldade na resolução dos exer-ćıcios, ou na compreensão dos exemplos, peça ajuda do tutor da disciplina. As próximas duas aulas serão de aplicação desses conceitos às principais transformações geométricas. Vamos a elas!! Respostas dos exerćıcios 1. (T + S)(x, y, z) = (4x− z, x+ 2y) (4T )(x, y, z) = (12x, 4y − 4z) (3T − 2S)(x, y, z) = (7x+ 2z,−2x+ y − 5z) 2. (S ◦ T )(x, y) = S(5x, x− y, 3y) = (5x+ 9y, 2x− 5y). (T ◦ S)(x, y, z) = T (x+ 3z, 2y − z) = (5x+ 15z, x− 2y + 4z, 6y − 3z). 3. (a) Dilatação por um fator de 3 e rotação, no sentido anti-horário, de 180o. (b) Dilatação por um fator de 3/2. (c) Contração por um fator de 1/2 e projeção sobre o eixo y. 4. F + T )(x, y) = (y, 2x); (2F − 3T )(x, y) = (2y,−x); (F ◦ T )(x, y) = (x, 0) 5. T (x, y, z) = (z, x, y) 6. (a) Seja v ∈ V . Então (T + F )2(v) = [(T + F ) ◦ (T + F )](v) = (T + F )[(T + F )(v)] = = (T + F )[T (v) + F (v)] = = T [T (v) + F (v)] + F [T (v) + F (v)] = = T (T (v)) + T (F (v)) + F (T (v)) + F (F (v)) = = (T ◦ T )(v) + (T ◦ F )(v) + (F ◦ T )(v) + (F ◦ F )(v). Como T ◦ F = F ◦ T , temos: CEDERJ 62 A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23 (T + F )2(v) = (T ◦ T )(v) + 2(T ◦ F )(v) + (F ◦ F )(v) = T 2(v) + 2(T ◦ F )(v) + F 2(v). Como essa igualdade se verifica para qualquer v ∈ V , temos que (T + F )2 = T 2 + 2(T ◦ F ) + F 2. (b) Seja v ∈ V . [(T + F ) ◦ (T − F )](v) = (T + F )[(T − F )(v)] = = (T + F )[T (v)− F (v)] = = T (T (v)− F (v)) + F (T (v)− F (v)) = = T (T (v))− T (F (v)) + F (T (v))− F (F (v)) . Como T ◦ F = F ◦ T , temos: [(T + F ) ◦ (T − F )](v) = T (T (v))− F (F (v)) = T 2(v)− F 2(v). Como essa igualdade se verifica para qualquer v ∈ V , temos que (T + F ) ◦ (T − F ) = T 2 − F 2. 7. (a) nilpotente (T 2 = 0) (b) nilpotente (A derivada de ordem n + 1 de um polinômio de grau menor ou igual a n é o polinômio nulo.) (c) idempotente (d) idempotente (e) nenhuma das duas coisas 8. (a) Vamos supor que existem u e v em V tais que (S ◦ T )(u) = (S ◦ T )(v). Então S(T (u)) = S(T (v)). Como S é injetora, T (u) = T (v). Como T é injetora, u = v. Logo, se (S ◦T )(u) = (S ◦T )(v), então u = v, o que prova que S ◦ T é injetora. (b) Seja w ∈ W . Como S é sobrejetora, existe u ∈ U tal que S(u) = w. Como T é sobrejetora, existe v em V para o qual T (v) = u. Assim, (S ◦ T )(v) = S(T (v)) = S(u) = w. Logo, S ◦ T é sobrejetora. (c) Suponhamos T não injetora. Então, existem vetores distintos, v1, v2, em V , para os quais T (v1) = T (v2). Assim, (S ◦ T )(v1) = S(T (v1)) = S(T (v2)) = (S ◦ T )(v2); logo, S ◦ T não é injetora, o que contraria a nossa hipótese. Portanto, T é injetora. (d) Se v ∈ V , então (S ◦T )(v) = S(T (v)) ∈ ImS. Isto é, Im(S ◦T ) ⊂ ImS. Vamos supor que S não é sobrejetora. Então ImS está propriamente contida em W . Lembrando: Uma função f : A→ B é sobrejetora quando Im(f) = B. Logo, quando f não é sobrejetora, sua imagem é um subconjunto próprio do contradomı́nio B.Logo, Im(S◦T ) está propriamente contida emW . Assim, S◦T não é sobrejetora, o que nega a nossa hipótese. Logo, S é sobrejetora. 63 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2 Vejamos a ação da dilatação T (x) = 1, 5x nestes dois casos:






















































                                                                  






 






 






 






 






 






 






 






 






 






 






 






 






 






 






                                                                                                                         T Figura 2: Ação de T (x) = 1, 5x em um ćırculo 


 


 


 


 


 


                         



 



 



 



 



 



 



 



 



                                     T Figura 3: Ação de T (x) = 1, 5x em um quadrado Cisalhamento Uma transformação de cisalhamento é uma transformação T : R2 → R2, dada pela matriz [ 1 k 0 1 ] ou pela matriz [ 1 0 k 1 ] , onde k é um número real não-nulo. A transformação dada por [ 1 k 0 1 ] , isto é T (x, y) = [ 1 k 0 1 ][ x y ] = [ x+ ky y ] é chamada cisalhamento horizontal. Observe, na figura a seguir, o efeito desta transformação dada por [ 1 1 0 1 ] sobre o quadrado unitário. CEDERJ 66 Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24 T(x,y)=(x+y,y) 11 1 1 2 Figura 4: Cisalhamento horizontal A transformação dada por [ 1 0 k 1 ] , ou seja T (x, y) = [ 1 0 k 1 ][ x y ] = [ x kx+ y ] é chamada cisalhamento vertical. Observe, na figura a seguir, o efeito desta transformação dada por [ 1 0 1 1 ] sobre o quadrado unitário.                                                                     1 1 1 2 1 T(x,y) = (x,x+y) Figura 5: Cisalhamento horizontal Para mostrar que uma transformação de cisalhamento leva o quadrado unitário em um paralelogramo, basta notar que uma transformação deste tipo leva segmentos de reta em segmentos de reta. A reta ax + by = c é levada pela transformação T (x, y) = (x+ ky, y), por exemplo, na reta a(x+ ky) + by = c ⇒ ax+ (ak + b)y = c . Além disso, retas paralelas ax + by = c e ax + by = c′ são claramente levadas em retas paralelas. Portanto, os vértices do quadrado unitário são levados em vértices de um paralelogramo. 67 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2 Rotação no plano Seja v = (x, y) um vetor no plano. Suponha que este vetor faça um ângulo θ com o eixo-x. Seja v′ = (x′, y′) o vetor obtido rodando v de um ângulo φ, no sentido anti-horário, como mostra a figura abaixo. x y θ v v′ φ Figura 6: Rotação no plano Vamos determinar a transformação linear que realiza a rotação de um determinado ângulo. Se um vetor v faz um ângulo θ com o eixo-x, as coordenadas deste vetor são (||v|| cos θ, ||v|| sin θ), como mostra a figura abaixo. x y ||v|| cos θ θ ||v|| ||v|| sin θ v Figura 7: Coordenadas do vetor v Portanto, podemos escrever v = (x, y) = (||v|| cos θ, ||v|| sin θ). Observando que ||v′|| = ||v|| e que v′ faz um ângulo θ+φ com o eixo-x, podemos escrever v′ = (x′, y′) = (||v|| cos(θ + φ), ||v|| sin(θ + φ)) . CEDERJ 68 Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       A B r Figura 10: Os pontos A e B são simétricos em relação à reta r Uma transformação T é uma reflexão na reta r, quando o ponto T (x, y) é o simétrico, em relação a r, do ponto (x, y). Alguns exemplos de reflexões em relação a retas são os seguintes. 1. A reflexão no eixo x e dada pela matriz [ 1 0 0 −1 ] , ou seja, é dada por T (x, y) = (x,−y). 2. A reflexão no eixo y e dada pela matriz [ −1 0 0 1 ] , ou seja, é dada por T (x, y) = (−x, y). 3. A reflexão na reta y = −x é dada pela matriz [ 0 −1 −1 0 ] , ou seja, é dada por T (x, y) = (−y,−x). As figuras a seguir ilustram estas três reflexões.                                     ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! T(x,y) = (x,−y) 1 1 Figura 11: Reflexão no eixo x 71 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2 """ """ """ """ """ """ # # # # # # # # # # # # # # # # # # $$$ $$$ $$$ $$$ $$$ $$$ % % % % % % % % % % % % % % % % % % T(x,y) = (−x,y) 1 1 Figura 12: Reflexão no eixo y &&& &&& &&& &&& &&& &&& ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ((( ((( ((( ((( ((( ((( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ********* ********* *** * ***** *** * ***** *** * ***** *** * ***** *** * ***** *** * ***** *** * ***** ********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T(x,y) = (−y,−x) 1 1 y=x (x,y) (−y,−x) Figura 13: Reflexão na reta y = x Projeção A projeção de um ponto A sobre uma reta r é um ponto P ∈ r tal que AP é perpendicular à reta. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A r P Figura 14: Projeção do ponto A sobre a reta r A transformação de projeção na reta r leva cada ponto em sua projeção na reta r, isto é, o ponto T (x, y) é a projeção do ponto (x, y) na reta r. CEDERJ 72 Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24 São exemplos de projeção: 1. A projeção sobre o eixo x é dada pela matriz [ 1 0 0 0 ] , ou seja, é dada por T (x, y) = (x, 0). 2. A projeção sobre o eixo y é dada pela matriz [ 0 0 0 1 ] , ou seja, é dada por T (x, y) = (0, y). As figuras a seguir ilustram estas duas projeções. 222 222 222 222 222 222 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4445 5 5 T(x,y) = (x,0) 1 1 1 Figura 15: Projeção no eixo x 666 666 666 666 666 666 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 T(x,y) = (0,y) 1 1 1 Figura 16: Projeção no eixo y Resumo Nesta aula estudamos algumas transformações lineares T : R2 → R2 de especial importância. Outras transformações lineares podem ser constrúıdas por composicão de duas ou mais das transformações apresentadas nesta aula. Observe que a composição de transformações lineares é uma transformação linear. 73 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R3 Vamos estudar agora alguns exemplos que envolvem rotações. Exemplo 3 Determine a matriz da transformação linear que tem o efeito geométrico de uma rotação de 300 em torno do eixo z. P P´ Q Q´ x y z 30 a a´ b b´ c Figura 2: O ponto Q é obtido do ponto P por rotação de 300 em torno do eixo z Seja P = (a, b, c) e seja Q o ponto obtido por rotação de 300 em torno do eixo z. Então Q possui a mesma coordenada em z que o ponto P . Podemos escrever Q = (a′, b′, c). Seja P ′ e Q′ as projeções dos pontos P e Q sobre o plano cartesiano xy. Então P ′ = (a, b, 0) e Q′ = (a′, b′, 0) e temos que Q′ é obtido de P ′ por uma rotação de 300. Lembrando que a rotação de um ângulo θ no plano é dada por [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ] , temos que [ a′ b′ ] = [ cos 300 − sen 300 sen 300 cos 300 ][ a b ] = [ √ 3 2 −1 2 1 2 √ 3 2 ][ a b ] . CEDERJ 76 Transformações especiais no R3 MÓDULO 3 - AULA 25 Portanto, Q =   a′ b′ c   =   √ 3 2 −1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 1     a b c   . Assim, a matriz   √ 3 2 −1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 1   é a matriz da transformação linear rotação de 300 em torno do eixo z. Note que a rotação em torno de uma reta qualquer passando pela origem é uma transformação linear, mas a rotação em torno de uma reta que não passa pela origem não é uma transformação linear. Basta notar que, neste último caso, a origem seria levada para outro ponto que não a própria origem. A figura abaixo representa uma rotação em torno do eixo y. x y z Figura 3: Rotação em torno do eixo y Exemplo 4 Calcule a matriz da transformação linear obtida por uma rotação de 300 em torno do eixo z, seguido de uma rotação de 450 em torno do eixo y e de uma dilatação de um fator √ 2. Neste exemplo, temos uma transformação composta, que é a com- posição de 3 transformações. 77 CEDERJ Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R3 A primeira delas, rotação de 300 em torno do eixo z, foi estudada no exemplo anterior. Vimos que tem matriz   √ 3 2 −1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 1  . Vamos agora calcular a matriz da segunda transformação. Uma rotação em torno do eixo y preserva a coordenada y e faz uma rotação nas coordenadas x e z. A matriz de uma rotação no plano de 450 é [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ] = [ cos 450 − sen 450 sen 450 cos 450 ] = [ √ 2 2 − √ 2 2√ 2 2 √ 2 2 ] . Assim, a matriz da transformação rotação de 450 em torno do eixo y é   √ 2 2 0 − √ 2 2 0 1 0√ 2 2 0 √ 2 2   . Com relação à terceira transformação, a matriz de dilatação de um fator de √ 2 é   √ 2 0 0 0 √ 2 0 0 0 √ 2   . Finalmente, a transformação linear que é a composta destas três trans- formações é dada pelo produto das três matrizes (observe a ordem):   √ 2 0 0 0 √ 2 0 0 0 √ 2     √ 2 2 0 − √ 2 2 0 1 0√ 2 2 0 √ 2 2     √ 3 2 −1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 1   =   1 0 −1 0 √ 2 0 1 0 1     √ 3 2 −1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 1   =   √ 3 2 −1 2 −1√ 2 2 √ 6 2 0√ 3 2 −1 2 1   CEDERJ 78 Transformações especiais no R3 MÓDULO 3 - AULA 25 O conjunto dos pontos dados por coordenadas homogêneos é chamado Espaço Projetivo, que é, por assim dizer, o espaço onde atua a geometria algébrica. Resumo Nesta aula vimos alguns exemplos de transformações lineares no R3, em especial a rotação em torno de um dos eixos coordenados. Tocamos, de uma forma muito inicial, o imenso campo das aplicações da Álgebra Linear, examinando um pouco da representação de objetos e seus movimentos. Por fim, falamos um pouco das coordenadas homogêneas, que têm uma aplicação interessante na computação gráfica e um papel fundamental na Geometria Algébrica. Exerćıcios 1. Determine as seguintes transformações lineares: (a) Projeção sobre o eixo z; (b) Projeção sobre o plano yz; 2. Encontre a matriz da transformação de rotação de um ângulo de 450, em torno do eixo x. 3. Encontre a tranformação linear que tem o efeito de uma rotação de 300 em torno do eixo y, seguido de uma projeção sobre o plano yz. 4. Determine a tranformação que leva a uma rotação de 300 em torno do eixo z, seguida de uma rotação de 300 em torno do eixo y. 81 CEDERJ Operadores lineares inverśıveis MÓDULO 3 - AULA 26 Aula 26 – Operadores lineares inverśıveis Pré-requisito: Aulas 4, 18 a 25. Objetivos Identificar operadores lineares inverśıveis; Obter o inverso de operadores lineares inverśıveis. Nesta aula iremos identificar operadores lineares inverśıveis. O conceito é o mesmo de função inversa, vista em Matemática elementar, e já estudada em pré-cálculo: uma função é inverśıvel quando existe uma outra que, com- posta com ela, resulta na função identidade. Você também já estudou que uma função é inverśıvel se, e somente se, é injetora e bijetora. Por outro lado, na aula 4, Módulo 1, vimos o método de escalonamento para inverter matrizes. Nesta aula, uniremos as duas idéias e aprenderemos a decidir se um operador linear é ou não inverśıvel e, quando o for, obter a expressão e a matriz associada do operador linear inverso. É claro que as matrizes asso- ciadas a operadores lineares são quadradas. Definição Um operador linear T ∈ L(V ) é inverśıvel se existe T−1 ∈ L(V ) tal que T ◦ T−1 = T−1 ◦ T = I (operador identidade definido em V ). Na aula 21, vimos o Teorema do núcleo e da imagem, válido em espaços vetoriais de dimensões finitas. Recordando: Dada uma transformação linear T : V → W , tem-se dimV = dimN(T )+ dim Im(T ). Como conseqüências desse teorema, vimos, também, que: (i) T é injetora se, e somente se, N(T ) = {oV }. (ii) T é sobrejetora se, e somente, se dim Im(T ) = dimW . (iii) Se dimV = dimW então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Podemos concluir, então, que para que um operador linear T ∈ L(V ) seja inverśıvel, é suficiente que seja injetor (ou sobrejetor). Em outras pala- vras: ou um operador é inverśıvel (injetor e sobrejetor) ou não é nem injetor, nem sobrejetor. Isto é, as duas condições são satisfeitas ou nenhuma da duas é satisfeita. 83 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operadores lineares inverśıveis →   1 0 −3 | 0 −1 0 3 1 2 | 1 0 0 4 2 −5 | 0 0 1   L2 ← L2 − 3L1 L3 ← L3 − 4L1 → →   1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 2 7 | 0 4 1   L3 ← L3 − 2L2 → →   1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 −15 | −2 −2 1   L3 ← − 115L3 → →   1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15   L1 ← L1 + 3L3 L2 ← L2 − 11L3 → →   1 0 0 | 6/15 −9/15 −3/15 0 1 0 | −7/15 23/15 11/15 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15  . Logo, a matriz [T ] é inverśıvel e [T ]−1 = 1 15   6 −9 −3 −7 23 11 2 2 −1  . Conclúımos, então, que o operador T é inverśıvel e T−1(x, y, z) = ( 6x− 7y + 2z 15 , −9x+ 23y + 2z 15 , −3x+ 11y − z 15 ) . Exemplo 3 Vamos verificar se o operador T ∈ L(IR4) dado por T (x, y, z, t) = (x+2y, y− 2z − t, x+ y + z, x+ 3z + t) é inverśıvel e, caso seja, encontrar seu inverso. Vamos aplicar à matriz [T ] =   1 2 0 0 0 1 −2 −1 1 1 1 0 1 0 3 1   o método de inversão por escalonamento:  1 2 0 0 | 1 0 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 1 1 1 0 | 0 0 1 0 1 0 3 1 | 0 0 0 1   L3 ← L3 − L1 L4 ← L4 − L1 → CEDERJ 86 Operadores lineares inverśıveis MÓDULO 3 - AULA 26 →   1 2 0 0 | 1 0 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 0 −1 1 0 | −1 0 1 0 0 −2 3 1 | −1 0 0 1   L1 ← L1 − 2L2 L3 ← L3 + L2 L4 ← L4 + 2L2 → →   1 0 4 2 | 1 −2 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 0 0 −1 −1 | −1 1 1 0 0 0 −1 −1 | −1 2 0 1   L3 ← −L3 → →   1 0 4 2 | 1 −2 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 0 0 1 1 | 1 −1 −1 0 0 0 −1 −1 | −1 2 0 1   L1 ← L1 − 4L3 L2 ← L2 + 2L3 L4 ← L4 + L3 → →   1 0 0 −2 | −3 2 4 0 0 1 0 1 | 2 −1 −2 0 0 0 1 1 | 1 −1 −1 0 0 0 0 0 | 0 1 −1 1   . Como a quarta linha se anulou, conclúımos que a matriz não é inverśıvel. Logo, o operador T não é inverśıvel. Uma outra propriedade importante dos operadores inverśıveis afirma que Um operador T ∈ L(V ), inverśıvel, transforma base em base, isto é: se B é uma base de V , então T (B) também é base de V . Exemplo 4 Seja T o operador linear definido em IR3 tal que T (1, 1, 1) = (1, 0, 0)), T (−2, 1, 0) = (0,−1, 0) e T (1, 3, 2) = (0,−1, 1). Vamos verificar se T é inverśıvel e, caso seja, determinar T−1(x, y, z). Notemos, primeiramente, que o conjuntoB = {(1, 1, 1), (−2, 1, 0), (1, 3, 2)} é uma base de IR3. Assim, T está bem definido. Se aplicarmos o método do escalonamento à matriz [T ]B, obteremos, caso T seja inverśıvel, a ma- triz [T−1]B, mas queremos a expressão de T−1 em relação à base canônica de IR3 e ainda não sabemos como migrar de uma base para outra (veremos como fazer isso, na próxima aula). Neste caso, então, vamos usar a de- finição e a condição de linearidade do operador inverso. Como vimos acima, T (B) = {(1, 0, 0), (0,−1, 0), (0,−1, 1)} também é base de IR3. Vamos expres- 87 CEDERJ Álgebra Linear 1 Operadores lineares inverśıveis sar um vetor (x, y, z), genérico, de IR3, em relação à base T (B): (x, y, z) = a(1, 0, 0) + b(0,−1, 0)) + c(0,−1, 1)⇒    a = x −b− c = y c = z ⇒ ⇒    a = x b = −y − z c = z . Assim, podemos escrever: T−1(x, y, z) = T−1 (x(1, 0, 0) + (−y − z)(0,−1, 0)) + z(0,−1, 1)) = = xT−1(1, 0, 0) + (−y − z)T−1(0,−1, 0) + zT−1(0,−1, 1) = = x(1, 1, 1) + (−y − z)(−2, 1, 0) + z(1, 3, 2) = = (x+ 2y + 3z, x− y + 2z, x+ 2z). Resumo Nesta aula destacamos os operadores lineares que admitem um inverso. Relacionamos diretamente a condição de inversibilidade dos operadores com a inversibilidade das matrizes associadas a eles. Dado um operador linear, aprendemos a descobrir se é ou não inverśıvel – seja pela determinação de seu núcleo, seja pelo cálculo do determinante de uma sua matriz associada, ou ainda pela busca de seu operador inverso, pela definição ou pela tentativa de inversão de sua matriz associada. CEDERJ 88 Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27 Aula 27 – Mudança de base Pré-requisito: Aulas 18 a 26. Objetivos Determinar a matriz de mudança de uma base para outra; Relacionar as matrizes associadas a uma transformação linear, relativas a diferentes bases. Nesta aula vamos nos utilizar de um operador linear especial – o opera- dor identidade, para obter uma matriz que irá funcionar como uma “tradu- tora” de uma base para outra, num espaço vetorial. A idéia é poder migrar de uma para outra base, relacionando as coordenadas de um mesmo vetor ou as matrizes associadas a um mesmo operador linear. Dado um espaço vetorial V , o operador identidade, I, definido em V , é trivialmente linear. Assim, dadas duas bases, A e B, de V , e v ∈ V , a matriz de I, em relação às bases A e B (representada por [I]A,B), é tal que [I]A,B.[v]A = [v]B . Como vimos na aula 22, essa matriz é constrúıda de tal forma que a i- ésima coluna é formada pelas coordenadas do i-ésimo vetor de A, em relação à base B. Como o operador identidade não altera o vetor, a única ação da mul- tiplicação da matriz [I]A,B pelo vetor-coordenadas [v]A é reescrevê-lo em relação à base B. Definição A matriz [I]A,B é chamada matriz mudança (ou matriz de transição) da base A para a base B. O papel da matriz [I]A,B é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B. 91 CEDERJ Álgebra Linear 1 Mudança de base Exemplo 1 Em IR2, sejam as base A = {(1, 1), (0, 2)} e B = {(1,−1), (1, 0)}. Vamos construir a matriz [I]A,B. A matriz [I]A,B é 2 × 2; sua primeira coluna é o vetor-coordenadas de I(1, 1) = (1, 1) em relação à base B; sua segunda coluna é o vetor- coordenadas de I(0, 2) = (0, 2) em relação à base B. Vamos, então, descobrir como a base B gera IR2, isto é, qual o vetor-coordenadas de um vetor genérico (x, y), em relação à base B: (x, y) = a(1,−1) + b(1, 0)⇒ { a+ b = x −a = y ⇒ { a = −y b = x+ y . Logo, [(x, y)]B = [ −y x+ y ] . Usando essa fórmula, temos: [(1, 1)]B = [ −1 2 ] e [(0, 2)]B = [ −2 2 ] . Logo, [I]A,B = [ −1 −2 2 2 ] . O operador identidade é inverśıvel; logo, a matriz mudança de base (que nada mais é do que uma matriz associada ao operador identidade) é inverśıvel: a inversa da matriz de transição da base A para a base B é a matriz de transição da base B para a base A, isto é: [I]A,B.[I]B,A = I. Exemplo 2 Vamos obter a matriz mudança da base B para a base A, do exemplo 1. Suas colunas são os vetores-coordenadas dos vetores da base B, em relação à base A. Vamos, então, determinar como um vetor genérico de IR2 se escreve na base A: (x, y) = a(1, 1) + b(0, 2)⇒ { a = x b = y−x 2 ⇒ [(x, y)]A = [ x y−x 2 ] . Aplicando essa fórmula aos vetores da base B, temos: [(1,−1)]A = [ 1 −1 ] ; [(1, 0)]A = [ 1 −1 2 ] . Logo, [I]B,A = [ 1 1 −1 −1 2 ] . Então, vemos que: CEDERJ 92 Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27 [I]A,B.[I]B,A = [ −1 −2 2 2 ] . [ 1 1 −1 −1 2 ] = [ 1 0 0 1 ] = I. Exemplo 3 Consideremos as bases A e B do exemplo 1. Seja v = (3, 4) ∈ IR2. Usando as fórmulas dos vetores-coordenadas em relação às bases A e B, já obtidas, temos: [v]A = [ 3 1 2 ] e [v]B = [ −4 7 ] . Notemos que [I]A,B.[v]A = [ −1 −2 2 2 ][ 3 1 2 ] = [ −4 7 ] = [v]B. Exemplo 4 Consideremos, em IR2, as bases A = {(2,−1), (−1, 1)} e B = {(1, 0), (2, 1)}. Seja v ∈ IR2 tal que [v]B = [ 2 −4 ] . Vamos obter [v]A, usando a matriz de transição de A para B, de dois modos. Primeiramente, aplicando o procedimento de construção da matriz mu- dança de base, obtemos [I]A,B = [ 4 −3 −1 1 ] . 1o modo: Sabemos que [v]B = [I]A,B.[v]A. Seja [v]A = [ xA yA ] . Então: [ 4 −3 −1 1 ][ xA yA ] = [ 2 −4 ] ⇒ { 4xA − 3yA = 2 −xA + yA = −4 ⇒ { xA = −10 yA = −14 . Então [v]A = [ −10 −14 ] . 2o modo: Vamos inverter a matriz [I]A,B, por escalonamento, obtendo [I]B,A =[ 1 3 1 4 ] . Agora, temos: [v]A = [I]B,A.[v]B = [ 1 3 1 4 ] . [ 2 −4 ] = [ −10 −14 ] . 93 CEDERJ Álgebra Linear 1 Mudança de base Teorema 3. Matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante. Prova Sejam B,A ∈ Mn(IR) semelhantes. Então B = P−1AP , para alguma matriz P ∈ Mn(IR), inverśıvel. Usando a propriedade do determinante da matriz inversa, vista na aula 5, podemos escrever: detB = det (P−1AP ) = = det P−1.detA.det P = = (det P )−1.detA.det P = = [(det P )−1.det P ].detA = = 1.detA = = detA. Do teorema 3, podemos concluir que todas as matrizes que representam um mesmo operador linear T têm o mesmo determinante. Podemos, assim, definir o determinante de um operador linear T , como sendo o determinante de qualquer matriz associada a T . Além disso, a condição de T ser inverśıvel pode, agora, ser dada na forma: T é inverśıvel ⇔ det T 6= 0. Observação Há uma outra maneira de obtermos a matriz de mudança de base. Sendo A,B,C bases do espaço vetorial V , vale a igualdade: [I]A,B = [I]C,B.[I]A,C . Note que, na igualdade acima, a base C funciona como uma “inter- mediária”entre a base inicial A e a final, B. Podemos adotar esse processo, supondo que a base intermediária é a canônica. O exemplo a seguir ilustra como isso se dá. Exemplo 5 Vamos retomar as bases do exemplo 1 e escrever as matrizes de mudança da base A para a canônica e da base canônica para a base B. Temos:Note que para construir a matriz de transição de A para a canônica basta escrever as coordenadas dos vetores da base A como as colunas da matriz. [I]A,C = [ 1 0 1 2 ] ; [I]C,B = ([I]B,C) −1 = [ 1 1 −1 0 ]−1 = [ 0 −1 1 1 ] . Logo, [I]A,B = [I]C,B.[I]A,C = [ 0 −1 1 1 ][ 1 0 1 2 ] = [ −1 −2 2 2 ] . CEDERJ 96 Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27 Resumo Nesta aula estudamos uma matriz muito importante, que é a que pos- sibilita mudar a base de representação, tanto de um vetor quanto de um operador linear. Com o conteúdo desta aula, encerramos nosso curso de Álgebra Linear 1. A aula 28 – a última – constará de exerćıcios relativos a todo o segundo módulo, com resolução ao final. Exerćıcios 1. Em IR3, considere as bases A = {(−3, 0,−3), (−3, 2,−1), (1,−6,−1)} e B = {(−6,−6, 0), (−2,−6, 4), (−2,−3, 7)}. (a) Determine a matriz de transição da base A para a base B. (b) Calcule [v]A, dado v = (−5, 8,−5). (c) Escreva [v]B, usando a matriz obtida no item (a). 2. Em IR2, sejam as base A = {(1, 1), (1,−1)}, B = {(2, 1), (1, 0)} e C, a canônica. Obtenha as matrizes [I]C,A, [I]B,C e [I]B,A. 3. Dada a matriz de transição [I]A,B =   1 0 1 0 1 1 1 1 1  , determine a base B, sabendo que A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}. 4. Dada a matriz de transição [I]A,B =   2 0 −1 1 1 2 1 3 0  , determine a base A, sabendo que B = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}. 5. A matriz de mudança da base A = {1 + t, 1 − t2} para uma base B, ambas de P2(IR), é [ 1 2 1 −1 ] . Determine B. 6. Sendo B = {(1, 0), (0, 1)} e B ′ = {(1, 1), (2, 1)} bases de IR2, determine: (a) a matriz de mudança da base B ′ para a base B; (b) [v]B′ , sabendo que [v]B = [ 7 2 ] . 97 CEDERJ Álgebra Linear 1 Mudança de base Auto-avaliação Com esta aula, concluimos o conteúdo desta disciplina. Você deverá estar familiarizado com a técnica de obtenção de matrizes de transição e com as alicações dela em exerćıcios. A matriz de mudança de base será importante em aulas futuras. Certifique-se de que apreendeu bem o conteúdo desta aula. Caso tenha qualquer dúvida, contate o tutor da disciplina. A próxima aula fecha o módulo e apresenta uma lista de exerćıcios gerais sobre a teoria apresentada no segundo módulo. Bom término de curso, boas férias e até as aulas de Álgebra Linear 2!!!! Respostas/resolução dos exerćıcios 1. (a)   3/4 3/4 −5/12 −3/4 −17/12 25/12 0 2/3 −4/3   (b)   3 −2 −2   (c)   19/12 −43/12 4/3   2. [I]C,A = ([I]A,C) −1 = [ 1/2 1/2 1/2 −1/2 ] ; [I]B,C = [ 2 1 1 0 ] ; [I]A,B = [ 3/2 1/2 1/2 1/2 ] 3. Solução: Seja B = {v1, v2, v3}. Pela definição da matriz de transição, os elementos da i-ésima coluna são os coeficientes da combinação linear que representa o i-ésimo vetor da base A em relação à base B, isto é:   (1, 0, 0) = 1v1 + 0v2 + 1v3 (0, 1, 0) = 0v1 + 1v2 + 1v3 (0, 1, 1)) = 1v1 + 0v2 + 1v3 ⇒ B = {(0, 0, 1), (−1, 1, 1), (1, 0,−1)}. 4. Solução: Sendo A = {v1, v2, v3}, temos: v1 = 2(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) = (3, 4, 2) v2 = 0(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) + 3(0, 1, 1) = (1, 4, 4) v3 = −1(1, 1, 0) + 2(1, 1, 1) + 0(0, 1, 1) = (1, 1, 2) 5. B = {(2/3 + t/3− t2/3, 1/3 + 2t/3 + t2/3} 6. (a) [I]B′ ,B = [ 1 2 1 1 ] (b) [v]B = [ −3 5 ] CEDERJ 98 Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28 10. Determine a matriz da transformação linear plana que equivale à seguinte seqüência de transformações: (1) uma rotação anti-horária de π/2 rd, seguida de (2) uma contração de fator 1/4, seguida de (3) uma reflexão em torno da reta y = x, seguida de (4) um cisalhamento na direção y, de um fator 3. 11. Seja a transformação linear T : IR4 → IR3 tal que T (e1) = (0, 0, 1), T (e2) = (1, 2, 1), T (e3) = (−2, 1,−1) e T (e4) = (1, 1, 1), onde {e1, e2, e3, e4} é a base canônica de IR4. Determine: (a) T (x, y, z, t), para (x, y, z, t) ∈ IR4. (b) Determine o núcleo de T . (c) Determine a imagem de T . (d) Determine u ∈ IR4 tal que T (u) = (1, 0, 1) 12. Sejam as transformações T : IR4 → IR3 e F : IR3 → IR2 dadas por T (x, y, z, t) = (x, t+ z, y) e F (x, y, z) = (x− z, 2y), determine, em relação à transformação F ◦ T : (a) O núcleo. (b) A imagem. (c) A matriz de representação. 13. Provão - MEC - 1998 1 1 A transformação T : IR2 → IR2 é definida por T (x, y) = (x + 2y, y). A imagem, por T , do quadrado representado na figura acima é: 101 CEDERJ Álgebra Linear 1 Exerćıcios de revisão do Módulo 2 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 1 1 a) b) c) 1 1 1 22 e)d) 14. Determine T ∈ L(IR2 tal que T (1, 1) = (1, 5) e T (1, 2) = (0, 1). 15. Sejam T : IR3 → IR2 e F : IR2 → IR as transformações lineares definidas por T (x, y, z) = (z, x+ y) e F (x, y) = 3x− y. Determine uma fórmula para a transformação F ◦ T . 16. Seja v = (x, y, z, t) ∈ IR4. Quais das aplicações abaixo são operadores lineares do IR4? (a) T (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0) (b) T (x, y, z, t) = (1, 1, 1, 1) (c) T (x, y, z, t) = (x, y, z, t) + (1, 2, 3, 4) (d) T (x, y, z, t) = (x+ y, y − z, x+ t, z − t) 17. Representar graficamente a reta r : y = x e a imagem de r pela trans- formação linear do IR2 dada por T (x, y) = (−x+ y, x+ y). CEDERJ 102 Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28 18. Seja {e1, e2, e3} a base canônica de IR3 e T ∈ IR3 tal que T (e1) = e2; T (e2) = e1 + e3; T (e3) = e2 + e3. Determine: (a) T (e1 + e2 + e3) (b) T (2e1 − 3e2 + e3) 19. A matriz   1 −2 0 3 −1 2 −1 0 −2   representa um operador linear T ∈ IR3. Determine: (a) T (1, 1, 1) (b) T (x, y, z) 20. Dada a matriz [ 0 1 −1 0 ] de uma transformação linear T , do IR2, repre- sentar num gráfico o vetor v = (2, 3) e sua imagem por T . 103 CEDERJ