Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear, Volume2, de 19 a 32

Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear, Volume2, de 19 a 32

(Parte 1 de 3)

Aula 19 – Operadores ortogonais

Objetivos

• Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre operadores ortogonais.

• Aplicar os conceitos apresentados em exemplos importantes. Pre-requisitos: Aulas 10 a 14,

17 e 18. Voce deve se lembrar de que um operador T : Rn → Rn e dito ortogonal se existe uma base ortonormal α de Rn tal que a matriz de T na base α e uma matriz ortogonal, isto e, se a matriz [T]α e ortogonal.

Veremos que os operadores ortogonais estao bem definidos no sentido de que o fato de ser um operador ortogonal nao depende da base ortonormal escolhida, ou seja, se a matriz [T]α, numa certa base ortonormal α de Rn, for ortogonal, entao a matriz [T]β tambem sera ortogonal para qualquer outra base ortonormal β de Rn.

Na verdade, temos o seguinte resultado:

Teorema 1 Sejam T : Rn → Rn um operador ortogonal e α e β duas bases ortonor- mais de Rn. Se a matriz [T]α e ortogonal, entao a matriz [T]β tambem sera ortogonal.

Demonstracao:

O teorema sobre mudanca de base para operadores lineares, visto no curso de Algebra Linear I, nos garante que onde P e a matriz mudanca de base entre as bases ortonormais α e β. Como α e β sao duas bases ortonormais de Rn, temos que P e uma matriz ortogonal e, pelo Teorema 1 da Aula 10, segue-se que

P−1 = Pt, onde Pt e a transposta da matriz P. Assim,

Como [T]α e uma matriz ortogonal por hipotese e como o produto de matrizes ortogonais e tambem uma matriz ortogonal, concluımos que [T]β tambem sera uma matriz ortogonal. ¤

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Operadores ortogonais

O resultado anterior simplifica um problema crucial: para decidirmos se um dado operador linear T : Rn → Rne ortogonal, basta considerar qualquer base ortonormal α de Rn e verificar se a matriz [T]α e uma matriz ortogonal.

com θ ∈ [0,2pi), e um operador ortogonal. Solucao

Portanto, a matriz que representa T nesta base e dada por

Sabemos que A e uma matriz ortogonal de R3. Mais ainda, A e uma rotacao de θ radianos em torno do eixo-z (Exemplo 1 da Aula 17). Assim, o operador linear T e um operador ortogonal.

O proximo teorema segue imediatamente do Teorema 2 da Aula 10.

Teorema 2

Seja T : Rn → Rn um operador ortogonal. Entao as seguintes propriedades sao validas:

1. T transforma bases ortonormais em bases ortonormais, ou seja, se

2. T preserva o produto interno, ou seja, para todo u,v ∈ Rn vale que 〈Tu,Tv〉 = 〈u,v〉.

3. T preserva a norma, ou seja, para todo v ∈ Rn vale que ||Tv|| = ||v||.

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Exemplo 2 Seja T : R2 → R2 um operador ortogonal, entao sua matriz na base canonica e da forma( cosθ −senθ

senθ cosθ ) ou

( cosθ senθ senθ −cosθ

Solucao

De fato, sendo T : R2 → R2 um operador ortogonal, sua matriz na base canonica de R2 sera uma matriz ortogonal de ordem 2. Mas, pelos Exemplos

1 e 2 da Aula 10, sabemos que toda matriz ortogonal de ordem 2 e da forma( cosθ −senθ

senθ cosθ ) ou

( cosθ senθ senθ −cosθ

Sabemos tambem que a primeira matriz representa uma rotacao de θ radianos, no sentido anti-horario, em torno da origem, e a segunda matriz representa uma reflexao em torno da reta pela origem que forma um angulo de θ/2 radianos com o semi-eixo x positivo.

Exemplo 3

b) Mostre que a transformacao acima e uma rotacao. Determine, tambem, o angulo dessa rotacao.

Figura 19.1: O operador T. 9 CEDERJ

Operadores ortogonais

Solucao a) Queremos encontrar escalares a,b,c,d ∈ R tais que a matriz que representa T na base canonica seja dada por c d

Da condicao sobre as extremidades, temos c d

c d

Assim,

b) Como as colunas da matriz [T], representadas pelos vetores

operador linear T e um operador ortogonal. Alem disso, det[T] = 1 e, assim, o operador T e uma rotacao de R2 cujo angulo θ e dado por

Exercıcios

2. Determine os autovalores e os autovetores associados da transformacao linear T do exercıcio anterior.

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Aula 20 – Projecoes ortogonais – 1a Parte

Objetivos

• Compreender o conceito de projecao ortogonal em dimensao 2.

• Aplicar os conceitos apresentados em exemplos importantes.

Nesta e na proxima aula vamos apresentar um tipo de transformacao usada em areas como a Computacao Grafica e o Desenho Geometrico. Tratase das projecoes ortogonais. Nesta primeira aula, trabalharemos com as projecoes ortogonais em R2.

Exemplo 1

Determine a matriz que representa a projecao ortogonal sobre o eixo-x, isto e, sobre a reta de equacao cartesiana y = 0.

Solucao Geometricamente, essa transformacao e representada pela Figura 20.1.

V= (x,y)

V’= (x,0) x

Figura 20.1: A projecao ortogonal no eixo-x.

Assim, temos a transformacao linear

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Projecoes ortogonais – 1a Parte

Portanto, a matriz que representa a transformacao T na base canonica e dada por

Vemos imediatamente algumas propriedades dessa projecao ortogonal.

1. A matriz A e, portanto, o operador T, nao e invertıvel, pois det(A) = 0.

Exemplo 2

Determine a matriz que representa a projecao ortogonal sobre o eixo-y, isto e, sobre a reta de equacao cartesiana x = 0.

Solucao

A projecao ortogonal no o eixo-y e dada pela transformacao linear

Geometricamente, esta transformacao e representada pela Figura 20.2.

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(x,y)T (x,y) x

Figura 20.2: A projecao ortogonal no eixo-y.

Como no Exemplo 1, temos que

Portanto, a matriz que representa a transformacao T na base canonica e dada por

Como antes, vemos que:

1. A matriz A e, portanto, o operador T, nao e invertıvel, pois det(A) = 0.

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Projecoes ortogonais – 1a Parte

Os exemplos 1 e 2 sao muito simples, porem sao muito importantes a sua compreensao e o seu significado geometrico. Especialmente, certifique-se de que tenha entendido os auto-espacos associados a cada autovalor. Usaremos essas ideias para apresentar a projecao ortogonal sobre uma reta L qualquer do R2 passando pela origem. Se voce compreendeu bem a geometria dos exemplos anteriores, entao nao tera dificuldade em acompanhar o caso geral a seguir.

Exemplo 3

Descreva a projecao ortogonal sobre uma reta L de R2 que passa pela origem. Solucao

Suponhamos que a reta L seja paralela a um vetor unitario u1 ∈ R2, como ilustra a Figura 20.3.

Figura 20.3: A reta L paralela ao vetor unitario u1.

O efeito geometrico da projecao ortogonal sobre a reta L e observado na Figura 20.4.

v L

Figura 20.4: A projecao ortogonal na reta L. CEDERJ 14

A projecao ortogonal de um vetor v na direcao do vetor u1 e dada por

de onde vemos que T e uma transformacao linear. Para obter a formula acima observamos que desejamos um vetor Tv da forma Tv = ku1 de modo que v − ku1 seja ortogonal a u1 , como indica a Figura 20.5.

Figura 20.5: A projecao ortogonal de v na direcao de u1

Assim, da ortogonalidade entre v − ku1 e u1 temos

e, portanto,

Observe que na formula acima o vetor u1 nao precisa ser unitario, mas, caso seja, como 〈u1, u1〉 = 1, entao a formula acima se simplifica para

Nosso problema agora e encontrar a matriz que represente a transformacao T. Veremos que, escolhendo uma base ortonormal adequada de R2, a matriz de T nessa base e muito similar a matriz do Exemplo 1, visto anteriormente. Lembre que o problema da escolha de uma base ortonormal adequada ja foi tratado quando estudamos as reflexoes de R2 com respeito a uma reta qualquer passando pela origem. Veja a Aula 12.

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Projecoes ortogonais – 1a Parte unitario paralelo a reta L e u2 e um vetor unitario normal a reta L. Veja a Figura 20.6.

Portanto, a matriz que representa a transformacao T na base β e dada por

que e exatamente da mesma forma que a matriz do Exemplo 1. Se quisermos obter a matriz que representa T na base canonica, e so fazermos uma onde P e a matriz mudanca de base. Como P = [u1 u2], isto e, suas colunas sao vetores ortonormais, entao P e uma matriz ortogonal e, portanto,

1. As matrizes [T]α e [T]β e, portanto, o operador T, nao sao invertıveis, pois det[T]β = 0.

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associado u2. Nao e difıcil ver que o auto-espaco associado a λ2 = 0 e exatamente a reta pela origem ortogonal a reta L.

associado u1. Nao e difıcil ver que o auto-espaco associado a λ1 = 1 e exatamente a reta L.

Cabe aqui, mais uma vez, ressaltar a analogia entre este terceiro exemplo e os dois primeiros. Isto se deve a escolha adequada de uma base ortonormal de R2.

Exercıcios

1. Determine a matriz da projecao ortogonal sobre a reta y = √ 3x com respeito a base canonica.

2. Determine os autovalores e os auto-espacos associados da transformacao linear do exercıcio 1.

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Aula 21 – Projecoes ortogonais – 2a Parte

Objetivos

• Compreender o conceito de projecao ortogonal em dimensao 3.

• Aplicar os conceitos apresentados em exemplos importantes.

Nesta aula daremos continuidade ao estudo das projecoes ortogonais, estudando as projecoes ortogonais em R3. Apresentamos inicialmente os casos mais simples das projecoes ortogonais nos planos coordenados. Em seguida, trataremos do caso geral de uma projecao ortogonal sobre um plano passando pela origem.

Exemplo 1

Determine a matriz que representa a projecao ortogonal sobre o plano-xy, isto e, sobre o plano de equacao cartesiana z = 0.

Solucao Geometricamente, essa transformacao e representada pela Figura 21.1.

z V= (x,y,z)

V’= (x,y,0) x y

Figura 21.1: A projecao ortogonal no plano-xy. 19 CEDERJ

Projecoes ortogonais – 2a Parte

Assim, temos a transformacao linear

Portanto, a matriz que representa a transformacao T na base canonica e dada por

Como nos exemplos da Aula 20, vemos imediatamente algumas propriedades dessa projecao ortogonal.

1. A matriz A e, portanto, o operador T, nao sao invertıveis, pois det(A) = 0.

T de multiplicidade 2 com autovetores associados e1 e e2. Nao e difıcil ver que o auto-espaco associado a λ1 = 1 e exatamente o plano-xy, que e o espaco gerado pelos vetores canonicos e1 e e2.

Mais uma vez, chamamos a atencao do aluno para que compreenda bem a geometria desse exemplo, pois ela sera recorrente nos exemplos seguintes. Vejamos outro exemplo de projecao ortogonal em um plano coordenado.

Exemplo 2

Determine a matriz que representa a projecao ortogonal sobre o plano-yz, isto e, sobre o plano de equacao cartesiana x = 0.

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Solucao

Geometricamente, essa transformacao e representada pela Figura 21.2. z

(x,y,z) T(x,y,z)= (0,x,z) x y Figura 21.2: A projecao ortogonal no plano-yz.

Assim, temos a transformacao linear

Se voce entendeu bem a geometria do Exemplo 1, entao vera que neste caso temos

Portanto, a matriz que representa a transformacao T na base canonica e dada por

Seguem tambem as propriedades:

1. A matriz A e, portanto, o operador T, nao sao invertıveis, pois det(A) = 0.

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Projecoes ortogonais – 2a Parte

T de multiplicidade 2 com autovetores associados e2 e e3. Nao e difıcil ver que o auto-espaco associado a λ1 = 1 e exatamente o plano-yz, que e o espaco gerado pelos vetores canonicos e2 e e3.

O outro caso trivial, a projecao ortogonal sobre o plano-xz, e totalmente analogo aos exemplos anteriores e deixamos como exercıcio para voce. Assim, estando bem compreendidos os dois exemplos anteriores, podemos tratar da projecao ortogonal sobre um plano qualquer de R3 passando pela origem.

Exemplo 3

Descreva a projecao ortogonal sobre um plano pi de R3 que passa pela origem. Solucao

Seja T : R3 → R3 a projecao ortogonal sobre o plano pi. Geometricamente, essa transformacao e representada pela Figura 21.3.

Figura 21.3: A projecao ortogonal no plano-pi.

Vamos agora obter uma base ortonormal β de R3 de modo que a matriz que representa a transformacao T nessa base seja da mesma forma que a matriz do Exemplo 1. Como conhecemos a equacao cartesiana de plano pi, sabemos como obter um vetor normal a esse plano. Lembre: se pi tem equacao ax + by + cz + d = 0, entao o vetor u = (a,b,c) e um vetor normal ao plano pi. Seja, entao, u3 um vetor unitario normal ao plano pi. Usando a equacao cartesiana de pi, como foi feito nas Aulas 17 e 18, facilmente uma base ortonormal de R3. Observe que os vetores unitarios u1 e u2 sao ortogonais e pertencem ao plano pi. Veja a Figura 21.4.

CEDERJ 2

A projecao ortogonal de um vetor v sobre o plano pi e dada por T : R3 → R3

de onde vemos que T e uma transformacao linear. Para obter a formula acima observamos que desejamos um vetor Tv da forma Tv = k1u1 + k2u2

Figura 21.5: A projecao ortogonal de v no plano pi.

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Projecoes ortogonais – 2a Parte

Portanto, vemos que

Portanto, a matriz que representa a transformacao T na base β e dada por

que e exatamente da mesma forma que a matriz do Exemplo 1. Se quisermos obter a matriz que representa T na base canonica, e so fazermos uma onde P e a matriz mudanca de base. Como P = [u1 u2 u3], isto e, suas colunas sao vetores ortonormais, entao P e uma matriz ortogonal e, portanto,

1. As matrizes [T]α e [T]β e, portanto, o operador T, nao sao invertıveis, pois det[T]β = 0.

associado u3. Nao e difıcil ver que o auto-espaco associado a λ2 = 0 e exatamente a reta pela origem ortogonal a pi.

Cabe aqui, mais uma vez, ressaltar a analogia entre este terceiro exemplo e os dois primeiros. Isso se deve a escolha adequada de uma base ortonormal de R3.

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Exercıcios

1. Determine a matriz da projecao ortogonal sobre o plano-xz com respeito a base canonica.

2. Determine a matriz da projecao ortogonal sobre o plano x−z = 0 com respeito a base canonica.

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Aula 2 – Matrizes simetricas

Objetivos: • Compreender o conceito de matriz simetrica.

• Aplicar os conceitos apresentados em exemplos importantes.

Em muitas aplicacoes da Algebra Linear, as matrizes simetricas aparecem com maior frequencia que qualquer outra classe de matrizes importantes. A teoria correspondente a essas matrizes e muito rica e elegante, e depende, de maneira especial, das teorias de diagonalizacao e ortogonalidade, vistas em aulas anteriores. Veremos, nesta aula, que a diagonalizacao de uma matriz simetrica e um fundamento essencial e necessario a discussao das formas quadraticas que estudaremos no proximo modulo.

Lembramos que todas as matrizes e vetores considerados tem somente elementos e componentes reais. Antes de comecarmos a estudar a teoria de diagonalizacao de matrizes simetricas, convem lembrarmos de algumas definicoes que serao essenciais a este conteudo.

Uma matriz A ∈ Mn(R) e simetrica se At = A, onde At representa a matriz transposta de A. Equivalentemente, a matriz A = (aij) e simetrica se aij = aji para todo i, j.

Observe, primeiramente, que o conceito de matriz simetrica se aplica apenas a matrizes quadradas. Observe tambem que os elementos da diagonal principal de uma matriz simetrica A podem assumir valores arbitrarios; no entanto, elementos simetricos com respeito a diagonal principal tem o mesmo valor.

Exemplo 1 As duas matrizes a seguir sao simetricas:

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Matrizes simetricas No entanto, as matrizes abaixo nao sao simetricas:

Vamos rever algumas propriedades das matrizes simetricas.

Teorema 1

Sejam A,B ∈ Mn(R) matrizes simetricas. Entao A+B e cA, onde c ∈ R, tambem sao matrizes simetricas.

Vale observar que o produto de duas matrizes simetricas nao e necessariamente uma matriz simetrica. Por exemplo, dadas as matrizes simetricas

temos que a matriz produto

Vamos rever o processo de diagonalizacao de matrizes, descrito nas Aulas 6 e 7, agora aplicado a um caso particular de uma matriz simetrica.

Exemplo 2

Diagonalize, caso seja possıvel, a matriz A =

Solucao O polinomio caracterıstico da matriz A e dado por:

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