Aula 5 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Metas da aula

• Apresentar a condicao necessaria e suficiente para que uma forca seja conservativa.

• Introduzir os conceitos de campo e potencial gravitacionais.

• Estabelecer a lei de Gauss da gravitacao e discutir suas aplicacoes e consequencias mais importantes.

Objetivos

Esperamos que, apos o estudo do conteudo desta aula, voces eja capaz de:

• determinar se uma dada forca eo u nao conservativa;

• calcular a energia potencial para uma dada forca, incluindo, aqui, saber especificar o caminho de integracao conveniente;

• saber quando e como utilizar a lei de Gauss para calcular o campo gravitacional.

Por que o espaco tem tres dimensoes?

Vivemos num espaco tridimensional. Isto significa que precisamos de tres numeros para representar a posicao de um ponto no espaco, por exemplo: latitude, longitude e altura acima do nıvel do mar. Mas por que o espaco nao tem duas, quatro ou algum outro numero de dimensoes? Na verdade, em teorias atuais, o espaco teria nove ou dez dimensoes, mas seis ou sete das direcoes estariam compactadas, tao pequenas que ainda nao terıamos meios de observa-las, restando tres dimensoes grandes e quase planas. Por que, entao, restam tres dimensoes perceptıveis e nao duas?

Existe uma resposta curiosa para esta ultima pergunta, baseada no princıpio antropico.O princıpio antropico afirma que o universo ed oj eito que e, pelo menos em parte, porque nos existimos. Consideremos, por exemplo,

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional nossa forma. Topologicamente, somos equivalentes a um toro, representado na imagem a seguir:

Nosso sistema digestivo e externo ao nosso corpo. Um intestino que atravessasse um animal bidimensional o dividiria em dois (Figura 5.2).

Figura 5.2: Um animal bidimensional teria dificuldade para digerir comida.

Portanto, duas dimensoes espaciais nao sao suficientes para seres vivos tao complexos como nos. Por outro lado, se o espaco tivesse quatro ou mais dimensoes, a forca gravitacional entre dois corpos diminuiria mais rapidamente a medida que eles se afastassem um do outro. Como consequencia, os planetas nao teriam orbitas estaveis ao redor de seus sois. Ou eles cairiam no sol, ou escapariam para a escuridao e o frio externos e nao terıamos tido a chance de existir. A situacao seria, na verdade, ainda mais desfavoravel: as orbitas dos eletrons nos atomos tambem nao seriam estaveis, e a materia como a conhecemos nao existiria. Claro que este assunto nao tao simples assim. Ele esta sendo apresentado apenas como curiosidade. Se voceq uiser conhecer mais sobre esse tema, sugerimos que leia o livro O universo numa casca de noz, de Stephen Hawking, editora ARX, 2002.

No espaco tridimensional, a forca gravitacional varia com o inverso do quadrado da distancia (a forca eletrostatica tambem). Devido a esta dependencia com o inverso do quadrado da distancia, uma grande simplificacao

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5 ocorre: para os propositos de gravidade, uma esfera age do mesmo modo que uma massa puntiforme em seu centro. Assim tambem a forca gravitacional entre duas esferas e a mesma que se elas fossem substituıdas por duas massas puntiformes. Caso contrario, descrever, por exemplo, o movimento dos planetas seria uma tarefa bem complicada.

Af orca gravitacional eu ma forca conservativa, podendo, portanto, como ja definimos antes em 1-D, ser derivada de uma energia potencial. Nestaa ulav ocev era, no entanto, que, em tres dimensoes, depender sod a posicao e uma condicao necessaria, mas nao e condicao suficiente para que uma forca seja conservativa.

Af ormulacao de uma lei de forca do inverso do quadrado da distancia pode ser feita de uma forma compacta e poderosa atraves da lei de Gauss. Para isso, vamos introduzir a nocao de campo vetorial e o conceito de fluxo de uma quantidade vetorial. Tambem introduziremos o potencial, uma quantidade escalar e, portanto, mais simples, a partir da qual podemos calcular oc ampo.

Conservacao da energia em 3-D

Os conceitos de trabalho e de energia potencial em tres dimensoes sao ligeiramente mais complicados que em uma dimensao, masa si deias gerais sao as mesmas. Assim, do mesmo modo que na Aula 2, onde tratamos do caso 1-D, partimos da segunda lei de Newton que agora toma a forma vetorial F = m a e vamos considerar forcas que dependem somente da posicao, isto e, F = F( r). Em coordenadas cartesianas m dvx dt = Fx,m dvy dt = Fy,m dvz

Multiplicando estas equacoes por vx,v y,v z , respectivamente, obtemos

d dt mv2 mv2 mv2 somando estas equacoes, temos

d dt mv2 z) = Fxvx + Fyvy + Fzvz (5.3)

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

d dt

Multiplicando a Equacao (5.4) por dt e integrando, obtemos

F uma funcao de → r, podemos escrever o lado direitod aE quacao (5.5) como uma integral de linha:

onde a integral deve ser tomada ao longo da trajetoria seguida pela partıcula entre os pontos → r1 e → r2.E sta integral e simplesmente o trabalho realizado sobre a partıcula quando ela se move ao longo do caminho considerado entre os pontos → r1 e → r2.A Equacao (5.6) e a forma integrada do teorema trabalho- energia.

Em uma dimensao, o fato de a forca depender somente da posicao e uma condicao necessaria e suficiente para que ela possa ser derivada de uma energia potencial. A energia potencial e definida como o trabalho realizado pela forca quandoap artıcula vai de uma posicao x atea lgum ponto de

Em 1-D so existe um caminho ou trajetoria entre x e x0: uma reta.

Mas em 3-D existe um numero infinito de caminhos entre duas posicoes → r1 e r2. Para que o potencial V ( r) tenha um significado e alguma utilidade, deve ser bem definido. Isto e, deve ser independente do percurso. Comon oc aso

1-D, nos chamamos a forca associada com tal potencial forca conservativa. Vejamos, entao, que tipos de forcas 3-D sao conservativas. Podemos afirmar o seguinte:

Dada uma forca F( r), uma condicao necessaria e suficiente para que o potencial,

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5 seja bem definido, isto e, independente da trajetoria, e que o rotacional de F( r) seja igual a zero, isto e,

Primeiro vamos mostrar que →∇ × → F=0 e uma condicao necessaria para independencia de trajetoria. Em outras palavras, “Se V ( r)e independente de trajetoria, entao →∇ × → F= 0”. Se V ( r)e independente de trajetoria, entao e legal escrever a forma diferencial da Equacao (5.8). Isto e,

Observe que, na Termodinamica, escrevemos dQ porque a quantidade de calor Q depende do processo (trajetoria). Nao existe uma diferencial exata dQ. Mas uma outra expressao para dV e

∂x dx+ ∂V

∂y dy + ∂V

∂z dz (5.1)

As duas equacoes anteriores devem ser equivalentes para dx,dy e dz arbitrarios. Portanto, devemos ter

∂x , ∂V

∂y , ∂V ou seja, a forca e o gradiente do potencial,

Portanto,

porque o rotacional do gradiente e identicamente zero, como vocep ode veri- ficar explicitamente. Assim, nos mostramos que →∇ × → F=0 e uma condicao necessaria. Vamos mostrar que ela e suficiente, isto e, “Se →∇ × →

F=0 , entaoV (→r) e independente do caminho”.

A prova de suficiencia segue imediatamente do teorema de Stokes, que

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