Aula 5 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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diz o seguinte: ∮C

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Aqui, C e uma curva arbitraria que fazemos passar por → r e → uma superfıcie arbitraria que tem C como fronteira. E d A tem modulo igual a um elemento infinitesimal de area em S, ed irecao ortogonal a S.

·d r = 0 para qualquer curva fechada. Mas, olhando a Figura 5.3,

Logo, se

Figura 5.3: Curvaf echada vistac omoas omad ed oisc aminhos.

Voltando aE quacao (5.6), quando a forca e conservativa, podemos entao escrever o trabalho como

e, entao, vemos que que e a expressao da conservacao da energia mecanica E = T + V .

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Forcas centrais

Um exemplo importante de forca conservativa ea forca central. Esta e definida como uma forca que aponta radialmente e cujo modulo depende somente de r

Vamos mostrar explicitamente que →∇ × → F = 0 para uma forca central.

Primeiro, note que → F pode ser escrita como

i + yr j + zr onde ∧ i, ∧ j e ∧ k sao os unitarios nas direcoes x, y e z, respectivamente. Agora,

∂x = e, similarmente,

para y e z. Tomemos, por exemplo, a componente z de →∇ × → F

∂Fy∂x

Temos que

∂Fy

∂x = y d

) ∂r

∂x = xyr d dr

∂Fx

∂y = x d

) ∂r

∂y = yxr d dr z =0 . Dom esmo modo para as componentes x e y.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

As forcas centrais sao importantes porque estao em toda parte, jaq ue af orca de Coulomb e a forca gravitacional sao centrais. Tambem sao importantes do ponto de vista historico, pois foi para explicar o movimento sob a acao da forca gravitacional que Newton formulou a Mecanica. Estudaremos o movimento sob uma forca central, detalhadamente, mais adiante em nosso curso.

Ao tratar de forcas centrais, e conveniente usar coordenadas polares esfericas (r,θ,φ) definidas como na Figura 5.4 ou pelas equacoes x = rsenθ cosφ,y = rsenθsenφ,z = rcosθ (5.27)

Figura 5.4: Coordenadas polares esfericas.

Para calcular a energia potencial correspondente a uma forca central, escolhemos um caminho de integracao, como indicado na Figura 5.5:

Figura 5.5: Caminho de integracao para uma forca central.

Tomamos um ponto qualquer de referencia →

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5 e vai ateo ponto (r,θ0,φ0) e depois, ao longo de um cırculo (C2)d e raio r em torno da origem, ateo ponto (r,θ,φ). Ao longo de C1,

Ao longo de C2, φr senθdφ∫

Note que a energia potencial de uma forca central e uma funcao somente de r.

Energia potencial gravitacional de uma esfera

Af orca gravitacional sobre uma partıcula puntiforme de massa m,l ocalizada a uma distancia r de uma partıcula puntiforme de massa M,ed ada pela lei de Newton da gravitacao

onde o sinal menos indica que a forca e atrativa. Qual seraa forca se a massa puntiforme M for substituıda por uma esfera de raio R e massa M? Se a esfera tiver uma distribuicao esfericamente simetrica de massa, ou seja, se sua densidade for uma funcao sod e r,e ntaoar esposta e que continua sendo −GMm/r2.P ara os propositos da gravidade, e como se toda a massa da esfera estivesse em seu centro. Nos vamos usar este resultado quando estivermos estudando o movimento dos planetas.

Para provar este resultado, em uito mais facil primeiro calcular a energia potencial devido a uma esfera e depois tomar a derivada para obter a forca em vez de calcular a forca explicitamente. Isto porque a energia potencial e um escalar, enquanto a forca eu mv etor. E suficiente demonstrar o resultado para uma casca esferica fina, uma vez que uma esfera e a soma de muitas de tais cascas. Para isso, vamos dividir a casca em aneis, como mostra a Figura 5.6.S eja R or aio dac asca e P o ponto onde queremos calcular o potencial, au ma distancia r de seu centro.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Figura 5.6: Metodo de calcular a energia potencial de uma casca esferica. Em (a), a casca e dividida em aneis. E em (b) mostramos as distancias relevantes.

Aarea do anel entre θ e θ + dθ e( 2πRsenθ)Rdθ e assim, uma vez que cada elemento de massa do anel estaa umam esma distancia de P, a energia potencial de uma massa m em P devido ao anel e

onde σ = M/4πR2 e a densidade de massa da casca e

A energia potencial total em P e, portanto,

Nos agora devemos considerar dois casos. Se r> R,e ntao nos temos

que e a energia potencial devida a uma massa puntiforme M localizada no centro da casca, como desejado. Se r< R,e ntao nos temos:

que e independente de r.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Uma vez que encontramos V(r), podemos achar a forca como →

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