Aula 5 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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(Parte 3 de 6)

F =− → ∇ V . Em coordenadas polares esfericas,

rsenθ ∂ ∂φ

Entao,

Uma esfera e a soma de muitas cascas esferas e, portanto, se o ponto

P estaf ora dae sfera, entao a forca em P e −GMm r2 ∧ r, onde M e a massa total da esfera. Este resultado vale mesmo que as cascas tenham densidades diferentes (mas cada uma deve ter densidade uniforme).

Se o ponto P estad entro de umad adae sfera, entao a unica materia relevante e a massa dentro de uma esfera concentrica atraves de P,p orque todas as camadas fora desta regiao dao forca zero. A materia fora de P,p ara os fins de gravidade, ec omos e nao estivesse la.

Lei de Gauss

Al ei de forca do inverso do quadrado da distancia pode ser reformulada de uma maneira muito elegante, compacta e poderosa chamada lei de Gauss. Precisaremos do conceito de campo e da definicao do fluxo deste campo atraves de uma superfıcie.

Para introduzir o conceito de campo vetorial, consideremos a atracao gravitacional da Terra, que vamos supor esferica, sobre uma partıcula fora dela. A forca depende tanto da massa da partıcula sendo atraıdaq uantod e sua localizacao relativa ao centro da Terra. Esta forca atrativa dividida pela massa da partıcula depende somente da Terra e da localizacao do objeto atraıdo. Podemos, portanto, atribuir a cada ponto do espaco um vetor g dado por

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Assim, nos podemos imaginar uma colecao de vetores por todo o espaco, em geral diferentes em modulo e direcao em cada ponto do espaco, e que define a atracao gravitacional da Terra sobre uma partıcula teste localizada numa posicao qualquer. A totalidade de tais vetores e chamada campo, e os proprios vetores sao chamados intensidades do campo.

Figura 5.7: Superfıcie gaussiana envolvendo a Terra.

Considere agora uma esfera com o centro no centro da Terra e raio maior que or aiod aT erra (Figura 5.7). Usando a convencao de que a di- recao positiva aponta radialmente para fora, entao a componente radial de → g multiplicada pela area total da superfıcie da esfera nos da uma quantidade Φ definida como:

Φeo fluxo do campo gravitacional → g atraves da superfıcie da esfera.

Note que este resultado e independente de r.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Figura 5.8: (a) Superfıcie gaussiana envolvendo uma partıcula de massa M. Existe um fluxo gravitacional resultante devido a massa M. (b) Superfıcie gaussiana nao envolvendo M. O fluxo resultante neste caso e zero.

Vamos agora considerar o caso de uma superfıcie gaussiana fechada, que tenha uma forma qualquer, rodeando uma massa M (Figura 5.8.a). Se num ponto arbitrario nesta superfıcie a normal as uperfıcie faz um angulo θ com r, como mostrado, nos podemos decompor em componentes ortogonais, uma paralela as uperfıcie e outra ao longo da normal. So a componente normal contribui para o fluxo de g atraves da superfıcie. Deste modo, o elemento de fluxo atraves do elemento de area dA e

cosθdA (5.39)

Agora, dAcosθ e igual ap rojecao de d →

A perpendicular a → r,e o quo- ciente dAcosθ/r2 e o elemento de angulo solido, dΩ, subentendido em M por dA. Assim, podemos escrever

O fluxo total de → g, atraves da superfıcie, definido deste modo, e ntao obtido integrando-se sobre todas as contribuicoes dΩ. Mas isto significa sim- plesmente incluir o angulo solido completo, 4π. Temos, portanto,Φ= ∮

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Exatamente como para uma esfera. Se a massa estiver fora da superfıcie gaussiana, o resultado e bastante diferente. Desta vez, o cone de pequeno angulo dΩ intercepta a superfıcie duas vezes (Figura 5.8.b). A contribuicao para o fluxo e dada por

dΩ= −GM

O fluxo total e zero neste caso. Note que os resultados (5.41) e (5.42) sao uma consequencia direta do fato de a forca seguir uma lei do inverso do quadrado da distancia exata. Estes resultados sao facilmente generalizados para uma distribuicao de massa qualquer:

Lei de Gauss Ω = ∮A

onde Mtotal e a massa dentro da regiao envolvida pela superfıcie fechada A. (Vocej a deve ter percebido que tudo isso e igual ao que vocej as abia, lad o eletromagnetismo).

Exemplo: suponha que a Lua seja uma esfera de densidade uniforme de raio RL e massa ML. Imagine um tunel reto, cavado atraves da Lua passando por seu centro.

Figura 5.9: Tunel atraves da Lua. Tambem mostramos a superfıcie gaussiana para o calculo do campo.

Vamos mostrar que o movimento de objetos ao longo desse tunel, sob a cao da gravidade, seria harmonico simples. Para isso e preciso calcular a forca sobre um objeto no tunel, numa posicao → r. Como a distribuicao de massa e esfericamente simetrica, podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo. Com a superfıcie gaussiana mostrada na Figura 5.9,t emos:

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Φ=4 πr2g(r)= −4πGM (5.4) onde M e a massa envolvida pela superfıcie

Substituindo este resultado na Equacao (5.4), achamos

Af orca sobre uma partıcula de massa m au ma distancia r do centro e entao f (r)= mg (r)= −kr (5.47) onde a constante k e dada por k = GmML

Om ovimento e, portanto, harmonico simples, com um perıodo

Para encerrar, vamos apresentar a forma diferencial da lei de Gauss.

Seja ρ (→r) uma distribuicao de massa qualquer. Entao, a massa total dentro de uma superfıcie gaussiana nesta distribuicao e

V ρdV (5.50) onde V e o volume envolvido pela superfıcie gaussiana. Por outro lado, podemos usaro teoremad ad ivergencia para escrever∮

Substituindo as Equacoes (5.50) e (5.51) na expressao da lei de Gauss (5.43), obtemos:

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Resumo

Uma forca e conservativa se −→∇× −→ F =0 . A energia potencial associada

do caminho escolhido para ir de −→r0 ate −→r .V oce deve escolher o caminho de integracao que for mais conveniente (no sentido de simplificar os calculos).

As importantes forcas centrais, F = F(r)r ,s ao conservativas. Para uma forca central que varie com o inverso do quadrado da distancia, vale a lei de Gauss, e vice-versa. Para o campo gravitacional, a lei de Gauss pode ser escrita na forma integral, ∮ −→g ·d

−→∇· −→g = −4πGρ.E sta ultima fornece uma equacao diferencial para o potencial gravitacional, a equacao de Poisson.

Problemas

5.1. Quais destas forcas sao conservativas? Encontre o potencial para aquelas que sao.

(a) Fx = ayz + bx + c, Fy = axz + bz, Fz = axy + by , onde a, b e c sao constantes arbitrarias.

5.2. Mostre que a auto-energia gravitacional de uma esfera uniforme de massa M e raio R e

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