Aula 5 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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(Parte 4 de 6)

Obs.: A auto-energia e o trabalho que um agente externo teve de realizar para colocar juntas todas as partıculas, que formam o objeto, trazendo-as desde o infinito. Aqui estamos considerando somente a parte gravitacional.

5.3. Se o campo gravitacional e independente da distancia radial dentro de uma esfera, encontre a funcao descrevendo a densidade ρ = ρ(r)d a esfera.

5.4. AE quacao de Poisson. O vetor campo gravitacional g( r)d eu ma distribuicao de massa e definido como sendo a forca por unidade de massa sobre uma partıcula no ponto r . Como a forca e igual a menos o gradiente da energia potencial, vemos que a energia potencial gravitacional por unidade de massa, ou simplesmente potencial gravitacional,q ue vamos representar por ϕ,e uma funcao tal que g = − ∇ϕ.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

(a) Mostre que ϕ obedece ae quacao de Poisson,

(b) Mostre que o potencial ϕ( r) de uma distribuicao de massa ρ( r)e dado por

5.5. Considere o potencial gravitacional

Determine a distribuicao de massa ρ(r) correspondente a esse potencial.

5.6. Uma pequena rocha esferica coberta de areia aproxima-se radial- mente de um planeta. Sejam R or aiod op laneta e ρP sua densidade. A densidade da rocha e ρr. Quando a rocha chega suficientemente proximo do planeta, a forca de mare tendendo a arrancar a areia da rocha sera maior que af orca gravitacional atraindo a areia para a rocha. A distancia d na qual os dois efeitos sao iguais ec hamada limited eR oche. Mostre que

5.7. Este problema ajuda a explicar a distribuicao de massa em aglomerados globulares, que sao aglomerados (quase) esfericamente simetricos de estrelas. Suponha que um grande numero N de objetos puntiformes esteja se movendo sob a acao de suas atracoes gravitacionais mutuas. Vamos adotar o seguinte modelo para o aglomerado: Todos os objetos possuem massas iguais a m e energias cineticas iguais e, portanto, velocidades iguais v.C ada um move-se numa orbita circular em torno do centro de massa comum do sistema. N e suficientemente grande de modo que a densidade de massa ρ(r) possa ser considerada constante. Encontre ρ(r).

5.8. Materia escura em galaxias. Acredita-se hoje que a maior parte da materia do Universo seja escura,o u seja, nao pode ser detectada pela radiacao que emite (ou deixa de emitir). Sua presenca e inferida indiretamente, a partir dos movimentos de objetos astronomicos. Considere, por exemplo, as curvas de rotacao das galaxias. Para fazer uma curva de rotacao, calcula-se

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional a velocidade de rotacao de estrelas ao longo do comprimento de uma galaxia, medindo seus deslocamentos Doppler.

(a) Supondo que a distribuicao de massa da galaxia possa ser aproximada como esferica, mostre que a velocidade de uma estrela numa orbita de raio r (distancia da estrela ao centro da galaxia) e

onde M(r)e a massa no interior da orbita.

(b) Se a massa da galaxia esta concentrada na sua parte visıvel, entao devemos esperar que v(r) ∝ 1/√ r para distancias bem alem do raio visıvel.

Em vez disso, astronomos observam que a velocidade cresce, tendendo a um valor constante entre 100 e 200 km/s. Assim, para grandes distancias, muito alem do raio da galaxia, sua massa continua crescendo. M(r)c resce linearmente com r. Considere a galaxia em espiral M33. Sua massa visıvel

previsto ed e 40 km/s. Encontre a razao entre a massa da materia escura

Md e a massa observada MΘ. Qual foi o valor de M(r) usado para obter a velocidade de 40 km/s?

5.9. Considere um anel circular fino, uniforme, de raio a e massa

M. Uma massa m e colocada no plano do anel. Encontre uma posicao de equilıbrio e determine se ela e stavel.

5.10. Qual e o potencial gravitacional dentro e fora de uma camada esferica, de densidade uniforme ρ,r aio interno b er aioe xterno a?

Solucoes

5.1. Devemos calcular ∇× F = (

∂Fz∂y

− ∂Fy ∂z

∂Fx∂z

− ∂Fz ∂x

∂Fy∂x

− ∂Fx ∂y

) k para cada uma das forcas.

∂Fz∂y

∂Fx∂z

∂Fy∂x

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Figura 5.10

(b)

∂Fz∂y

∂Fx∂z

∂Fy∂x

− ∂Fx ∂y =0 − 0 = 0e af orca e conservativa. O potencial e determinado tomando-seop onto der eferencia −→r 0 =( 0,0,1). Temos entao,

(c) As componentes da forca sao

Fx = ax

Assim,

∂Fz∂y

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional e por simetria,

∂Fx∂z

∂Fy∂x

− ∂Fx ∂y =0 e a forca e conservativa.

Aqui, poderıamos ter observado que −→ F = ar/r eu ma forca central que, como mostramos no texto, e conservativa. A energia potencial e dada por

5.2. Uma esfera pode ser vista como um numero muito grande de camadas concentricas, desde r =0a te r=R . Imagine que vocev a juntando massa, camada por camada, para formar a esfera. A variacao na energia potencial quando uma camada de raio r espessura dr e trazida desde o infinito (onde tomamos o zero da energia potencial) e colocada na sua posicao na esfera e

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