Aula 5 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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(Parte 5 de 6)

onde dM = ρ(4πr2dr)e M (r)e a massa integrada de todas as camadas precedentes

(a auto-energia da camada pode ser ignorada no limite dr → 0). Portanto,

Agora,

e assim,

O fato de a auto-energia gravitacional ser negativa indica que todo sistema e gravitacionalmente ligado. A constante G,p orem, em uito pequena (G =6 ,67 × 10−11N · m2/kg2) e esta energia de ligacao, para objetos do dia-a-dia, e desprezıvel quando comparada as ligacoes quımicas, de origem eletrica.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

5.3. Para uma distribuicao esfericamente simetrica de massa, a lei de Gauss diz que

onde M (r)e a massa total contida ateor aio r

Para que seja constante, entao,

Entao,

Diferenciando ambos os lados desta equacao com relacao a r,

2πG

Logo, ρ(r)e inversamente proporcional a r. 5.4. (a) Vimos que o vetor campo obedece a lei de Gauss

Inserindo −→g = −→∇ϕ no lado esquerdo desta equacao, obtemos

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Quando o lado direito da Equacao (5.2) e igual a zero, o resultado, ∇2ϕ =0 , ea famosa equacao de Laplace.

(b) Referindo-se a Figura 5.1, o potencial no ponto P devido ao elemento de massa dm e, por definicao,

Agora, o elemento de massa na posicao −→r′ e dm = ρ (−→r′) dV ′ e assim, integrando sobre toda a distribuicao, temos o resultado procurado

Figura 5.1

5.5. Solucao: se este e um potencial gravitacional, ele deve satisfazer ae quacao de Poisson. O laplaciano em coordenadas polares esfericas e

senθ ∂

Como o potencial depende somente de r,t emos que

r2∂ϕ ∂r

2r ∂ϕ ∂r

Substituindo na equacao de Poisson, ∇2ϕ =4 πGρ, obtemos para a densidade de massa

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

Esta e distribuicao de densidade de Plummer, e e usada como um modelo analıtico (toy model) para aglomerados globulares ou galaxias. O perfil da densidade estan og rafico da Figura 5.12.

Figura 5.12

A constante a e chamada raio de Plummer. A descricao de galaxias elıpticas pelo modelo de Plummer e muito pobre porque as observacoes dessas galaxias mostram uma divergencia da densidade proxima ao centro.

5.6. Seja d ad istancia entre o centro da rocha e o centro do planeta e seja r o raio da rocha (que nao e dado, mas sabemos que r d)

Figura 5.13

A diferenca entre a forca exercida pelo planeta sobre uma partıcula de massa m no centro da rocha e uma partıcula de mesma massa na superfıcie da rocha e

GMm d2

= 2GMmr

Fmare e a chamada forca de mare longitudinal. Jaaf orca exercida pela rocha sobre a partıcula de massa m em sua superfıcie e

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

FR = GMrm

Fazendo Fmare = FR, obtemos para d:

Para uma esfera uniforme de massa M e densidade ρP er aio R,

Similarmente,

Logo,

5.7. Solucao: cada partıcula move-se numa orbita circular. A gravidade er esponsavel pela aceleracao centrıpeta:

Por outro lado, usando a lei de Gauss com uma superfıcie gaussiana esferica de raio r,c oncluımos que

onde M (r)e a massa total das estrelas no interior da superfıcie gaussiana. Igualando as duas expressoes, obtemos

Lembrando que v e constante, diferenciando os dois lados em relacao a r, achamos

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A densidade cai como 1/r2 5.8. (a)V ejaad educao no Problema (5.7), Equacao (5.37). (b) A razao entre as massas e

Mdark

ou seja, 90% da massa ed em ateria escura. Da expressao do item (a),

5.9. Por simetria, sabemos que a massa colocada no centro do anel esta em equilıbrio porque ela esta rodeada uniformemente de massa. Para saber se o equilıbrio e stavel, nao precisamos desloca-la da posicao de equilıbrio. Vamos colocar a massa m nump ontoau ma distancia do centro e escolher o eixo x como sendo ao longo desta direcao (ver Figura 5.14).

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