Aula 5 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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(Parte 6 de 6)

Figura 5.14 A energia potencial e dada por dV =−Gm dM

onde ρ = M/2πa e dM = ρadφ.A distancia b entre dM e m e

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Para calcular a energia potencial, precisamos do valor de 1/b quando r′ a. Usando a expansao

podemos escrever

Substituindo na Equacao (5.42) e integrando, obtemos

(5.98) ou,

Ap osicao de equilıbrio e dada por

e portanto r′ =0 eu ma posicao de equilıbrio. Calculando a derivada segunda de V,

eop onto dee quilıbrio ei nstavel.

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional MODULO 1 - AULA 5

5.10. A massa total da camada e

Vamos aproveitar a simetria esferica do problema para usar a lei de Gauss para determinar o campo gravitacional.

Figura 5.15

Tomando uma superfıcie gaussiana esferica de raio r> a e com o centro no centro da casca, temos

Em seguida, tracamos uma superfıcie gaussiana com raio b< r < a. Neste caso,

Finalmente, a lei de Gauss aplicada a uma superfıcie gaussiana de raio r< b da:

Agora vamos calcular o potencial ϕ(r), fazendo ϕ(∞)= 0. Temos que, para r> a, dr′

Para b< r < a,

Energia potencial em 3-D: o potencial gravitacional

Entao, sabendo que ϕ(a)= −GM/a = −(4πGρ/3a)(a3 − b3), chegamos ao seguinte resultado:

Finalmente, para r< b,c omoo campo e igual a zero, ϕ(r)− ϕ(b)= 0 e assim,

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