Aula 6 - CEDERJ - Mecânica Clássica

Aula 6 - CEDERJ - Mecânica Clássica

(Parte 1 de 5)

Meta da Aula

Descrever o m etodo Lagrangiano e mostrar que nessa formula c~ao da mecanica, as equa c~oes do movimento podem ser deduzidas a partir do Princ pio de M nima A c~ao.

Objetivos

Esperamos que, ap os o estudo do conte udo desta aula, voce seja capaz de:

• escrever a Lagrangiana para diversos sistemas simples e as equa c~oes de Euler-Lagrange correspondentes; compreender as rela c~oes entre as leis de Newton, as equa c~oes de Euler- Lagrange e o Princ pio de M nima A c~ao.

Quem precisa da for ca?

Voce aprendeu que o conceito de for ca e fundamental para a descri c~ao do movimento de um corpo. Uma vez calculada a resultante das for cas que atuam sobre ele, obtemos, atrav es da segunda lei de Newton, uma equa c~ao diferencial, a equa c~ao do movimento, cuja solu c~ao, para condi c~oes iniciais dadas, permite determinar completamente o movimento do corpo. Este e o m etodo Newtoniano. No entanto, talvez para a sua surpresa, h a outro m etodo, mais poderoso, em geral mais simples, que permite chegar a mesma equa c~ao do movimento que no m etodo Newtoniano, por em sem fazer uso do conceito de for ca, chamado de m etodo Lagrangiano. N os vamos, primeiro, apresentar o m etodo Lagrangiano, dizendo quais s~ao suas regras, sem qualquer justi cativa, e mostrar que elas funcionam. Depois, de niremos uma quantidade chamada a c~ao e mostraremos que o m etodo Lagrangiano pode ser justi cado por meio do Princ pio de M nima A c~ao.

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A Equa c~ao de Euler-Lagrange

Vamos de nir a seguinte combina c~ao das energias cin etica T e potencial V :

L e chamada Lagrangiana. Note o sinal negativo na de ni c~ao. Se fosse um sinal positivo, ter amos a energia mecanica total. Uma part cula de massa m, que se move em uma dimens~ao, tem uma Lagrangiana

Agora, escrevemos

d dt

Esta e a equa c~ao de Euler-Lagrange. Ela nos d a a equa c~ao do movimento da part cula. De fato, com a Lagrangiana (6.2) temos

e, substituindo na (6.3), obtemos que e a segunda lei de Newton.

Se o problema envolver mais de uma coordenada, como ocorre na maioria das vezes, devemos aplicar a Equa c~ao (6.3) para cada coordenada. Ser~ao tantas equa c~oes de Euler-Lagrange quantas forem as coordenadas independentes. Assim, se a energia potencial for V (x;y;z), teremos para o movimento de uma part cula em tres dimens~oes, em coordenadas cartesianas,

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As equa c~oes de Euler-Lagrange ser~ao tres

d dt d dt @L

d dt @L

Seguem, ent~ao, as equa c~oes do movimento

Estas, como voce sabe, podem ser escritas na forma vetorial

O m etodo Lagrangiano tamb em permite que tratemos o mesmo problema em outras coordenadas. Basta escrever a Lagrangiana em termos das coordenadas desejadas e uma equa c~ao de Euler-Lagrange para cada nova coordenada.Como exemplo, vamos considerar um problema em duas dimens~oes nas coordenadas polares planas da Figura 6.1.

Figura 6.1: De ni c~ao das coordenadas polares planas r; :

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Com as energias cin etica e potencial escritas em coordenadas polares planas, a Lagrangiana tem a forma

As equa c~oes de Euler-Lagrange para r e s~ao d dt @L

d dt @L

Fazendo as derivadas,

obtemos as equa c~oes do movimento

ddt

Embora n~ao seja necess ario, e instrutivo, neste ponto, interpretar as

Equa c~oes (6.15) e (6.16) em termos de for cas s o para adquirirmos a con an ca de que as equa c~oes de Euler-Lagrange d~ao realmente os mesmos resultados que o m etodo Newtoniano. Para isso, vamos precisar da express~ao da for ca em coordenadas polares planas,

onde usamos a express~ao do gradiente em coordenadas polares planas dada na Aula 5. Fr e F s~ao as componentes radial e tangencial da for ca, respectivamente. Os unit arios nas dire c~oes radial e tangencial s~ao designados por

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Figura 6.2: Os vetores unit arios r e : Nestas mesmas coordenadas, a velocidade da part cula e

o momento angular,

e o torque

Em termos destas quantidades, vemos que a Equa c~ao (6.16) e simplesmente a equa c~ao da varia c~ao do momento angular dJz

J a a Equa c~ao (6.15) assume a forma familiar

onde o primeiro termo do lado direito e a for ca centr peta.

Uma coisa importante que voce j a deve estar percebendo no m etodo

Lagrangiano: mesmo que voce nunca tivesse ouvido falar de termos como \torque", \for ca centr peta" ou \momento angular" voce poderia obter as equa c~oes corretas simplesmente escrevendo as energias cin etica e potencial,

141 CEDERJ e fazendo algumas derivadas. A despeito disso, ainda pode parecer uma quest~ao puramente de preferencia pessoal se usamos o m etodo Lagrangiano ou o m etodo Newtoniano da segunda lei. A nal os dois produzem as mesmas equa c~oes. No entanto, em problemas envolvendo mais de uma vari avel, usualmente e mais f acil escrever T e V do que escrever todas as for cas. Isso porque T e V s~ao simples escalares. As for cas s~ao vetores e e muito f acil confundir-se quando elas apontam em v arias dire c~oes. Voce tamb em deve ter notado que, uma vez escrita a Lagrangiana, n~ao temos mais que pensar, apenas efetuar algumas derivadas. Mas h a raz~oes mais fundamentais para introduzir o m etodo Lagrangiano, como veremos nas pr oximas se c~oes e na pr oxima aula.

Exemplo 6.1. Encontre a equa c~ao do movimento para um pendulo simples. Ver Figura 6.3.

Figura 6.3: Pendulo simples de massa m e comprimento l.

Assim, fazendo as derivadas,

e substituindo na equa c~ao de Euler-Lagrange, encontramos CEDERJ 142

Note que, para encontrar esta equa c~ao do movimento, n~ao precisamos da express~ao da componente polar da acelera c~ao, nem da tens~ao no o.

Exemplo 6.2. Considere agora um pendulo consistindo de uma mola com uma massa m na sua extremidade (Figura 6.4).

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