Aulas 3 e 4 - CEDERJ - Mecânica Clássica

Aulas 3 e 4 - CEDERJ - Mecânica Clássica

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O oscilador harmonico simples MODULO 1 - AULA 3

Aula 3 – O oscilador harmonico simples

Meta da aula

Resolucao do problema completo do oscilador harmonico, amortecido e forcado.

Objetivos

Esperamos que, apos o estudo do conteudo desta aula, voces eja capaz de:

• resolver uma equacao diferencial linear homogenea ou nao homogenea;

• descrever oscilacoes amortecidas para os tres tipos de amortecimento, subcrıtico, crıtico e supercrıtico;

• resolver o problema de um oscilador amortecido forcado para forcas aplicadas senoidais e outras forcas simples;

• entender os conceitos de transiente e regime estacionario, este ultimo, em termos da igualdade entre a potencia media fornecida pela forca aplicada e potencia media dissipada;

• entender o conceito de ressonancia.

Introducao

Nesta aula, nos vamos voltar ao problema do oscilador harmonico simples, desta vez com enfase num metodo de solucao de equacoes diferenciais que permitira considerar situacoes como oscilacoes amortecidas, oscilacoes amortecidas forcadas e ressonancia. Grande parte do material aqui coberto vocej av iu em Fısica 2B, Modulo 1, mas voce notara uma marcante diferenca de linguagem, aqui mais puxada para a Matematica e com vistas aos problemas mais complexos que encontraremos em aulas posteriores.

Osciladores harmonicos amortecidos e forcados sao descritos por equacoes do movimento que os matematicos chamam equacoes diferenciais lineares de segunda ordem. Veremos que resolver uma equacao diferencial linear homogenea com coeficientes constantes e equivalente a resolver uma equacao algebrica do segundo grau e as raızes dessas equacoes podem ser numeros

O oscilador harmonico simples complexos. O exemplo mais simples ea equacao x2 +1 = 0 que nao admite uma solucao real. Assim, iniciaremos a aula fazendo uma breve revisao de numeros complexos.

Numeros complexos Um numero complexo z eu mn umero da forma onde x e y sao numeros reais e i et al que i2 = −1. On umero complexo i chama-se unidade imaginaria. Por definicao, i = √−1. Na Equacao (3.1), definimos x ≡ Rez

onde essas notacoes significam que x e a parte real de z e y e a parte imaginaria de z.

Chama-se complexo conjugado z∗ do numero complexo z = x + iy o numero complexo z∗ =( x + iy)∗ = x − iy. Desta definicao, segue que

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Af ormula de Euler

Considere a funcao f(θ)=c osθ + isenθ . Esta funcao satisfaz a condicao f(0) = 1. Derivando f uma vez, obtemos

Agora, sabemos que a solucao da equacao diferencial df(θ)dθ = if(θ)c om a condicao inicial f(0) = 1 e f(θ)= eiθ. Portanto, concluımos que eiθ =c osθ + isenθ (3.9)

Esta ea formula de Euler, considerada a mais notavel formula da Matematica.

Exercıcio 3.1. Mostre, usando a formula de Euler, as seguintes relacoes trigonometricas:

Podemos relacionar geometria aalgebra representando numeros complexos num plano. Na Figura 3.1,o numero complexo z = x + iy eu m ponto de coordenadas (x,y). Se passarmos para coordenadas polares (r,θ), x = rcosθ y = rsenθ (3.1) af ormula de Euler da

O oscilador harmonico simples

Figura 3.1: Coordenadas polares planas.

Linearidade e princıpio da superposicao

Oscilacoes harmonicas ocorrem em quase tudo. Existem muitos sistemas fısicos cujo movimento e descrito, pelo menos aproximadamente, por uma equacao diferencial igual ae quacao do movimento de um oscilador harmonico simples, m d2x

Esta equacao tem uma caracterıstica importante: ela e linear. Uma equacao diferencial e linear se todos os seus termos sao proporcionais ap rimeira potencia de x ou de suas derivadas. Mais precisamente, a Equacao (3.1) eu ma equacao diferencial linear homogenea com coeficientes constantes. A designacao ”homogenea” se deve ao fato de que o termo na equacao que nao contem x, no lado direito, e igual a zero.

Ef acil de entender por que a Equacao (3.1) et ao comum. Suponha que voce esteja estudando oscilacoes em algum sistema e tudo que voces abe e que ele oscila em torno de um ponto de equilıbrio, digamos, em x =0 . Vamos chamar a quantidade que mede o deslocamento do equilıbrio de x e seja V (x) o potencial associado. V (x) deve ter na vizinhanca do ponto de equilıbrio, a forma da Figura 3.2 ou algo semelhante.

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Figura 3.2: Proximo a um ponto de equilıbrio sempre podemos passar uma parabola.

Como estamos supondo que x =0 eop ontod e quilıbrio, temos que (dV/dx)x=0 = 0. Fazendo uma expansao de V (x)e ms erie de Taylor,

dx2

Tomando V (0) = 0, vemos que, para pequenas amplitudes, quando podemos desprezar os termos envolvendo x3 ep otencias superiores, o po- tencial tem a forma parabolica V (x)= 12 kx2 caracterıstica do oscilador harmonico. Todo sistema estavel, quando tirado um pouquinho do seu estado de equilıbrio, exibe oscilacoes harmonicas.

Uma consequencia importante da linearidade ea seguinte:

Se x1(t) e x2(t) sao solucoes da Equacao (3.1), entao Ax1(t)+ Bx2(t) tambem eu ma solucao, onde A e B sao constantes.

A propriedade das equacoes lineares de que a soma de duas solucoes tambem es olucao e chamada princıpio de superposicao.

Exercıcio 3.2. Verifique explicitamente as afirmacoes acima.

Note,n o entanto,q ue, em geral,o s sistemass ao apenas aproximadamente lineares, como indica a parabola na Figura 3.2. A palavra ”aproximadamente” e muito importante aqui. Provavelmente, linearidade nao seja nunca exatamente verdadeira para um sistema classico, embora seja frequentemente uma boa aproximacao, como no caso de uma massa presa a uma mola.

O exemplo mais importante de linearidade em Fısica e a Mecanica

Quantica. Em Mecanica Quantica, linearidade e xata, nao uma aproximacao.

O oscilador harmonico simples

As solucoes da Equacao (3.1) formam o que os matematicos chamam espaco linear. Na aula passada, vimos queu ms istema com umg rau de liberdade precisa de duas condicoes iniciais para especificar completamente as olucao da equacao do movimento. Assim, a base desse espaco linear deve ser constituıda de somente duas funcoes linearmente independentes.

Vamos escrever a Equacao (3.1) para uma variavel complexa z(t)p ermitindo que as solucoes sejam complexas:

m d2z

Isto simplifica bastante a solucao do problema em casos mais gerais por- que permite encontrar funcoes de base z1(t)e z2(t)q ue sao simples exponenciais. Como os coeficientes da Equacao (3.3) sao reais, o complexo conjugado de z, z∗(t), tambem es olucao e podemos recuperar a solucao da (3.1) a partir da solucao da Equacao (3.3) tomando a parte real de z(t),x(t)= Rez(t).

Para encontrar as funcoes de base z1(t)e z2(t), vamos tentar uma solucao do tipo:

onde p e uma constante que pode ser complexa. Quando este tipo de solucao e substituıdo na Equacao (3.3), resulta que p2 = −k/m = −ω2,o u seja, p = ±iω. Assim, as funcoes de base z1(t)e z2(t)s ao complexas e dadas por

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