Aula 7 - CEDERJ - Mecânica Clássica

Aula 7 - CEDERJ - Mecânica Clássica

(Parte 1 de 5)

CURSO: Licenciatura em Física DISCIPLINA: Mecânica CONTEUDISTA: Joaquim Lopes Neto

AULA 7

O método Lagrangiano (I): Simetrias e leis de conservação, equações de Hamilton e Teorema de Liouville, forças de vínculo.

META DA AULA Complementar o método Lagrangiano desenvolvido na Aula 6, com ênfase nas leis de conservação e simetrias a elas associadas.

Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:

• Entender a relação entre simetrias e leis de conservação e porque o conhecimento das quantidades conservadas é importante na análise do movimento de um sistema.

• Construir a trajetória no espaço de fase para sistemas simples.

• Calcular forças de vínculo em sistemas mecânicos semelhantes aos apresentados no texto, que envolvem somente vínculos holônomos.

Na Aula 6 nós introduzimos o método Lagrangiano e mencionamos que entre suas

INTRODUÇÃO virtudes está a possibilidade de estabelecer uma relação clara entre simetrias e leis de conservação. Essa relação, que será o tema principal desta aula, é assegurada por meio de um dos mais importantes e charmosos teoremas da física, o Teorema de Noether. Ao estudar a conservação da energia, introduziremos o Hamiltoniano de um sistema, uma função das coordenadas e de seus momentos conjugados, construído a partir da Lagrangiana e que, em muitos casos de interesse, é igual à soma da energia cinética mais a energia potencial. Dado o Hamiltoniano, as equações do movimento do sistema podem ser obtidas a partir das equações de Hamilton. Definiremos o espaço de fase, o espaço de coordenadas e momentos, e veremos que o volume de uma região do espaço de fase de um sistema se mantém constante quando a sua evolução temporal é dada pelas equações de Hamilton. Este resultado é chamado de Teorema de Liouville. Finalmente, também vimos na aula 6 que o conceito de força no método Lagrangiano é desnecessário, o que é particularmente conveniente para sistemas com restrições, ou vínculos. É uma grande vantagem não ter de se preocupar com as forças de vínculo. Mas há situações em que é necessário conhecer tais forças. Ilustraremos, com dois exemplos, um método de encontrálas.

Grandezas físicas conservadas, ou constantes do movimento, são quantidades associadas

Simetrias e Leis de Conservação a um sistema que não mudam de valor durante a sua evolução temporal. Quando conhecemos as constantes do movimento de um sistema, podemos extrair informações importantes sobre seu movimento, mesmo sem uma solução completa das equações do movimento. Você já viu na Física I B vários exemplos da utilidade da aplicação das leis de conservação da energia, momento linear e momento angular na análise do movimento de sistemas. Assim, seria de grande ajuda se tivéssemos um meio de identificar essas quantidades conservadas. Existe uma relação íntima entre as leis de conservação e a invariância dos sistemas físicos sob operações de simetria, como você verá adiante.

Dizemos que um objeto é simétrico em relação a uma dada operação se esta operação, quando aplicada ao objeto, não parecer alterá-lo. Designamos por objeto uma forma geométrica, uma equação, uma função, ou um sistema físico qualquer. Aqui, como estamos tratando do movimento de um sistema, estamos interessados em saber que operações não alteram as equações do movimento e uma condição suficiente para isso é que a sua Lagrangiana não se altere.

Coordenadas cíclicas

Uma coordenada é cíclica quando ela não aparece explicitamente na Lagrangiana.

Exemplo 7.1. Considere uma partícula de massa m movendo-se num potencial unidimensional V(z). A Lagrangiana da partícula é

As variáveis x e y não aparecem explicitamente na Lagrangiana (embora e x y apareçam) e, portanto, são cíclicas.

Exemplo 7.2. Seja agora a Lagrangiana de uma partícula num potencial central

A coordenada φ é uma coordenada cíclica.

Quando uma coordenada é cíclica, existe uma constante do movimento associada a ela.

Veja a Lagrangiana do exemplo 7.1. O fato de as coordenadas x e y não aparecerem explicitamente na Lagrangiana significa que

Mas, da equação de Euler-Lagrange para a coordenada x, isto significa que

0dL

Assim, a quantidade

chamada momento conjugado à coordenada x, é uma constante do movimento. O mesmo argumento mostra que também é uma constante do movimento da partícula cujo movimento é descrito pela Lagraniana (7.1). yp m= y

Note que momento conjugado não é sempre um momento linear. Se a coordenada for um ângulo, seu momento conjugado será um momento angular. Para a Lagrangiana (7.2)

momento angular. Como para esta Lagrangiana a coordenada φ é cíclica, pφ é uma constante do movimento.

Temos, então, o seguinte resultado:

Os momentos conjugados a variáveis cíclicas são constantes do movimento.

nada acontece se os eixos coordenados forem transladados no plano xy
Já o sistema do Exemplo 7.2 é invariante por uma rotação dos eixos coordenados em

A ausência de uma certa coordenada pode ser interpretada como uma propriedade de simetria da Lagrangiana. Assim, o sistema do Exemplo 7.3 é invariante por um deslocamento dos eixos coordenados no plano xy. De fato, como a Lagrangiana não envolve as coordenadas x e y, o que matematicamente é expresso pelas condições (7.3),

Nesses dois exemplos, a existência de uma propriedade de simetria implica na presença

torno do eixo z, uma vez que a Lagrangiana não depende de φ, e, portanto, permanece inalterada se os eixos coordenados são girados em torno do eixo z. de uma grandeza conservada.

Teorema de Noether

Você agora vai conhecer um dos mais úteis e mais bonitos teoremas na Física. Ele relaciona simetrias e leis de conservação. O teorema de Noether pode ser enunciado assim:

Para cada simetria da Lagrangiana existe uma quantidade conservada.

Por “simetria” queremos dizer que, se as coordenadas são modificadas por pequenas quantidades, então a Lagrangiana não muda em primeira ordem nestas quantidades. As simetrias em relação a transformações infinitesimais são chamadas simetrias contínuas porque, colocando transformações arbitrariamente pequenas juntas, podemos obter todo um conjunto de transformações. Elas dependem, então, de um parâmetro que pode ser variado continuamente. Os resultados para coordenadas cíclicas são casos especiais desse teorema. Não vamos demonstrar o teorema de Noether aqui. Vamos apenas apresentar exemplos simples de sua aplicação.

Exemplo 7.3. Vejamos o que acontece quando uma Lagrangiana (,,)Lxxt é invariante em

Esta transformação, para ε pequeno, é uma translação infinitesimal ao longo do eixo x. Se a Lagrangiana não muda, devemos ter que /dLd0ε=, ou seja, d L x t L x x t

L x onde, da primeira linha para a segunda, usamos a definição de derivada. Chegamos a um resultado já esperado: se a Lagrangiana não muda por uma translação ao longo de x, então ela não deve depender explicitamente de x, ou seja, a coordenada x é cíclica e, como você viu acima, o momento linear é uma constante do movimento. Assim, invariância da

Lagrangiana do sistema por uma translação infinitesimal implica na conservação do momento linear.

Exemplo 7.4. Considere o sistema massa mola no plano x-y com Lagrangiana

Esta Lagrangiana é invariante (em primeira ordem em ε) sob a transformação x xy

De onde tiramos esta transformação? Olhando a figura 7.1, vemos que para ε pequeno ela corresponde a uma rotação infinitesimal.

Fig. 7.1 Rotação dos eixos cartesianos de um ângulo δθ no sentido horário. As coordenadas do vetor no sistema inicial são rGe xy. No sistema girado, as coordenadas são

' e 'xy. De fato, sejam ' e 'xy as coordenadas depois da rotação infinitesimal δθ. Então, da figura

7.1 podemos escrever 'c os sen

'c os sen x xy x y x y x yδθδ θ ε δθδ θ ε = −−

onde usamos que, paraδθinfinitesimal, cos1 e senδθδθ δθ e fizemos εδθ=. Agora, como no exemplo anterior, não mudar em primeira ordem quer dizer que

L Lyx yx xy xy

dL L d L Lyy x dt x x dt y y dL Lxy dt y x

d myx mxy dt

Ainda como no exemplo anterior, podemos também encontrar uma relação com variáveis

onde, da terceira para a quarta linha usamos as equações de Euler-Lagrange. A invariância por uma rotação infinitesimal implica, portanto, que a quantidade entre parênteses, igual à componente z do momento angular do sistema, é uma constante do movimento. Chegamos a uma outra conclusão importante: se a Lagrangiana do sistema for invariante por uma rotação infinitesimal, o momento angular é conservado. cíclicas. Para isso, vamos fazer uma mudança para variáveis polares planas cos

A Lagrangiana (7.8 ) fica então

(Parte 1 de 5)

Comentários