Baixe estatística e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Apostila de Estatística Assunto: CURSO DE ESTATÍSTICA BÁSICA Autor: PROFº JOÃO GÓES CURSO DE ESTATÍSTICA BÁSICA CONCEITOS FUNDAMENTAIS____________________________________________________________1 1.. INTRODUÇÃO A Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de estudo. Duas concepção para a palavra ESTATÍSTICA: a) no plural (estatística), indica qualquer coleção consistente de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. Pôr exemplo, as estatística demográficas referem-se as dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites, etc. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 b) no singular, indica um corpo de técnicas, ou ainda uma metodologia técnica desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões. Qualquer ciência experimental não pode prescindir das técnicas proporcionadas pela Estatística, como pôr exemplo, a Física, a Biologia, a Administração, a Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidade de um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenômenos de massa ou coletivos, cuja mensuração e análise requerem um conjunto de observações de fenômeno ou particulares. 1.2. ESTATÍSTICA CONCEITO: é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, descrição (apresentação), análise e interpretação de dados experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de uma população. Este estudo pode ser feito de duas maneiras: • Investigando todos os elementos da população ou • Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população DIVISÃO DA ESTATÍSTICA - Estatística Descritiva: é aquela que se preocupa com a coleta, organização, classificação,apresentação, interpretação e analise de dados referentes ao fenômeno através de gráficos e tabelas além de calcular medidas que permita descrever o fenômeno. - Estatística Indutiva (Amostral ou Inferêncial): é a aquela que partindo de uma amostra, estabelece hipóteses, tira conclusões sobre a população de origem e que formula previsões fundamentando-se na teoria das probabilidades. A estatística indutiva cuida da análise e interpretação dos dados. O processo de generalização do método indutivo está associado a uma margem de incerteza. Isto se deve ao fato de que a conclusão que se pretende obter para o conjunto de todos os indivíduos analisados quanto a determinadas características comuns baseia-se em uma parcela do total de observações. 1.3. POPULAÇÃO CONCEITO: é o conjunto, finito ou infinito, de indivíduos ou objetos que apresentam em comum determinadas características definidas, cujo comportamento interessa analisar. A população é estudada em termos de observações de características nos indivíduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e não em termos de pessoas ou objetos em si. O objetivo é tirar conclusões sobre o fenômeno em estudo, a partir dos dados observados. Como em qualquer estudo estatístico temos em mente estudar uma ou mais características dos elementos de uma população, é importante definir bem essas características de interesse para que seja delimitado os elementos que pertencem à população e quais os que não pertencem. Exemplos: 1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condições de trabalho, tipo de sanitário. Números de quartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos agricultores do Estado do Pará. População: Todos os agricultores (proprietários de terra ou não) plantadores das culturas existentes no Estado do Pará. 2. Estudar a precipitação pluviométrica anual (em mm) na cidade de Belém. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Exemplos: Sexo (masculino e feminino); estado civil (solteiro, casado, viúvo, etc.); tipo de moradia (madeira, tijolo), situação do aluno (aprovado, reprovado), religião. CLASSIFICAÇÃO DOS ATRIBUTOS 1. Dicotomia: quando a classe em que o atributo é considerado admite apenas duas categorias. Exemplos: Sexo (masc. e fem.); Existência ou ausência de certo produto agrícola (existência, ausência), resposta a uma pergunta: (concorda, não concorda), (sim, não). 2. Classificação policotômica ou policotomia: quando a classe em que o atributo é considerado admite mais de duas categorias. Exemplos: Estado civil (solteiro, casado, viúvo), classe social (alta, média ou baixa). . VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica). Para os fenômenos: - sexo - dois resultados possíveis: masculino e feminino; (não pode ser medida: é um atributo) - número de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n; - peso de pessoas adultas - resultados possíveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um infinito número de valores num certo intervalo. TIPOS DE VARIÁVEIS 1. Variável Qualitativa: quando seus valores são expressos pôr atributos ou qualidade. Exemplos: . População: Estudantes universitários do Estado do Pará. Variáveis: sexo, profissão, escolaridade, religião, meio onde vivem (rural, urbano). . População: População dos bairros periféricos do município de Belém Variáveis: tipo de casa, existência de água encanada (sim, não), bairro de origem. Variáveis qualitativas que não são ordenáveis recebem o nome de nominais. Exemplo: religião, sexo, raça, cor. Raça do Paraense - 2001 Raça Frequência Branca Negra Parda Outra Total Fonte: Fictícia Variáveis qualitativas que são ordenáveis recebem o nome de ordinais. Exemplo: nível de instrução, classe social. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Classe social do Paraense - 2001 Classe social Frequência Classe A Classe B Classe C Classe D Total Fonte: Fictícia 2. Variável Quantitativa: quando seus valores são expressos pôr números. Esses números podem ser obtidos pôr um processo de contagem ou medição. Exemplos: . População: Todos os agricultores do Estado do Pará. Variáveis: número de filhos tidos, extensão da área plantada, altura, idade. . População: População dos bairros periféricos do município de Belém Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores da casa. A VARIÁVEL QUANTITATIVA DIVIDI-SE EM: a. Variável Discreta: são aquelas que podem assumir apenas valores inteiros em pontos da reta real. É possível enumerar todos os possíveis valores da variável. Exemplos: . População: Universitários do Estado do Pará. Variáveis: número de filhos, número de quartos da casa, número de moradores, número de irmãos. b. Variável Contínua: são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo (contínuo) da reta real. Não é possível enumerar todos os possíveis valores. Essa variáveis, geralmente, provém de medições. . População: Todos os agricultores do Estado do Pará. Variáveis: idade, renda familiar; extensão da área plantada (em m2 ) , peso e altura das crianças agricultoras. 1.10. EXPERIMENTO ALEATÓRIO São aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não se saiba qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, consegue-se descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso. Exemplos de Experimentos Aleatórios a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. b) Lançar um dado e observar o número da face de cima. c) Lançar duas moedas e observar as seqüências de caras e coroas obtidas. d) Lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 e) De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peças e observar o número de peças defeituosas. f) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe. g) Numa cidade onde10% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores da moléstia. h) Observar o tempo que um aluno gasta para ir de ônibus, de sua casa até a escola. i) Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a qunatidade de açúcar que diminuiu. j) Sujeitar uma barra metálica a tração e observar sua resistência. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO _____________________________________________________2 2.1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados. Além de considerar detidamente o problema objeto de estudo o analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e análogos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses últimos. Saber exatamente aquilo que pretende pesquisar é o mesmo que definir de maneira correta o problema. Por exemplo: - os preços dos produtos agrículas produzidos no Estado do Pará são menores do que àqueles originados de outros Estados? • qual a natureza e o grau de relação que existe entre a distribuição da pluviosidade e a colheita do produto x? • estudar uma população por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e feminino; • estudar a idade dos universitários, por grupos de idade: distribui-se o total de casos conhecidos pelos diversos grupos etários pré-estabelecidos; 2.2. DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECÍFICO) É definir com exatidão o que será pesquisado. É recomendável ter em vista um objetivo para o estudo, em lugar de coletar o material e definí-lo no decorrer do trabalho ou só no fim deste. OBJETIVOS MAIS COMUNS EM UMA PESQUISA: . Dados pessoais: grau de instrução, religião, nacionalidade, dados profissionais, familiares, econômicos, etc. . Dados sobre comportamento: como se comportam segundo certas circunstâncias. Ex: possível remanejamento da área habitada. . Opiniões, expectativas, níveis de informação, angústias, esperanças, aspirações sobre certos assuntos. . Dados sobre as condições habitacionais e de saneamento que avalie as condições em que vivem e a qualidade de vida de certo grupo. 2.3. PLANEJAMENTO O problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta deve ser significativa para que represente a população. O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto de estudo. Que dados deverão ser coletados? Como se deve obtê-los? É preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se pretende atingir. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 2.8. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS Nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso pôr número-resumo, as estatísticas, que evidenciam características particulares desse conjunto. 2.9. REGRAS DE ARREDONDAMENTO De acordo com as Normas de Apresentação Tabular - 3ª edição/1993 - da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira: 1. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele deve ficar inalterado. Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 6,197 Inteiro 12,489 Inteiro 20,733 Décimos 35,992 Centésimos 2. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele deve ser acrescido de uma unidade. Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 15,504 Inteiro 21,671 Inteiro 16,571 Décimos 17,578 Centésimos 215,500 Inteiros 216,500 inteiros 216,750 décimos 216,705 centésimos OBS: Não faça arredondamento sucessivos Ex.: 17,3452 passa a 17,3 e não para 17,35 , para 17,4. Se houver necessidade de um novo arredondamento, voltar aos dados originais. NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DOS DADOS______________________________________3 3.1. INTRODUÇÃO A apresentação tabular é uma apresentação numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídos de modo ordenado, segundo algumas regras práticas ditadas www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 pelo Conselho /nacional de Estatística e pelo IBGE. Tais regras acham-se publicadas e dispõem sobre os elementos essenciais e complementares da tabela, a especificação dos dados e dos sinais convencionais, o procedimento correto a ser desenvolvido no preenchimento da tabela e outros dispositivos importantes. As tabelas tem a vantagem de conseguir expor, sinteticamente e em um só local, os resultados sobre determinado assunto, de modo a se obter uma visão global mais rápida daquilo que se pretende analisar. Reunindo, pois os valores em tabelas compactas, consegue-se apresentá-los e descrever- lhes a variação mais eficientemente. Essa condensação de valores permite ainda a utilização de representação gráfica, que normalmente representa uma forma mais útil elegante de apresentação da característica analisada. 3.2. SÉRIES ESTATÍSTICAS Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que se tenha uma visão global dessa ou dessas variáveis. Isto é possível apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo, permitindo determinações mais coerentes. TABELA é um quadro que resume um conjunto de observações. Como construir uma tabela que forneça informações de forma precisa e correta: 1º passo: Começar pelo título, que explica o conteúdo da tabela. 2º passo: Fazer o corpo da tabela, composto pelos números e informações que ela contém. É formado por linhas e colunas. Para compor o corpo da tabela, é necessário: I) O cabeçalho, que indica o que a coluna contém. Deve estar entre traços horizontais, para melhor vizualização. II) A coluna indicadora, que diz o que a linha contém 3º passo: Escrever o total (as tabelas podem apresentar um total ou não). Aparece entre traços horizontais. 4º passo: Coloque a fonte. Deve entrar no rodapé, sendo obrigatória. Uma tabela compõem-se de: Tabela 3.1 Produção de Café Brasil - 1978-1983 Anos Quantidade (1000 ton) 1978 (1) 2535 1979 2666 1980 2122 1981 3760 1982 2007 1983 2500 Fonte: Fictícia Nota: Produção destinada para o consumo interno. (1) Parte exportada para a Argentina. Rodapé: fonte, chamadas e notas www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Notas: é usada para conceituação ou esclarecimento em geral. Chamadas: é usada para esclarecer certas minúcias em relação a casas, linhas e colunas. De acordo com a Resolução 886 da Fundação IBGE, nas casas ou células, devemos colocar: - um traço horizontal (___) quando o valor é zero, não só quanto a natureza das coisas, como quanto ao resultado do inquérito; - três pontos (...) quando não temos os dados; - um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto a exatidão de determinado valor; - zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores são expressos em numerais decimais, precisamos acrescentar a parte decimal um número correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,00; ...). Denomina-se SÉRIE ESTATÍSTICA toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da ÉPOCA, do LOCAL, ou da ESPÉCIE (fenômeno). Numa série estatística observa-se a existência de três elementos ou fatores: o TEMPO, o ESPAÇO e a ESPÉCIE. Conforme varie um desses elementos, a série estatística classifica-se em TEMPORAL, GEOGRÁFICA e ESPECÍFICA. 3.3. SÉRIE TEMPORAL, HISTÓRICA OU CRONOLÓGICA É a série cujos dados estão em correspondência com o tempo, ou seja, variam com o tempo. Tabela 3.2 Produção Brasileira de Trigo 1988-1993 Anos Quantidade (1000 ton) 1988 (1) 2345 1989 2451 1990 2501 1991 2204 1992 2306 1993 2560 Fonte: IBGE Nota: Produção voltada para o consumo interno. (1) Parte da produção exportada. . Elemento variável: tempo (fator cronológico) . Elemento fixo: local (fator geográfico) e o fenômeno (espécie) 3.4. SÉRIE GEOGRÁFICA, TERRITORIAL OU DE LOCALIDADE É a série cujos dados estão em correspondência com a região geográfica, ou seja, o elemento variável é o fator geográfico (a região). Tabela 3.3 Produção Brasileira de Trigo, por Unidade da Federação - 1994 Unidades da Federação Quantidade (1000 ton) São Paulo 670 Santa Catarina 451 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 4. CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS QUANTO AO OBJETIVO a. Gráficos de informação O objetivo é proporcionar uma visualização rápida e clara da intensidade das categorias ou dos valores relativos ao fenômeno. São gráficos tipicamente expositivos, devendo ser o mais completo possível, dispensando comentários explicativos. CARACTERÍSTICAS: - deve conter título em letra de forma; - as legendas podem ser omitidas, desde que as informações presentes possibilite a interpretação do gráfico. b. Gráficos de análise Estes gráficos fornecem informações importantes na fase de análise dos dados, sendo também informativos. Os gráficos de análise, geralmente, vêm acompanhado de uma tabela e um texto onde se destaca os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela tabela. 5. PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS 5.1. GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS São usados para representar séries temporais, principalmente quando a série cobrir um grande número de períodos de tempo. Considere a série temporal: Tabela 4.1 Produção de Arroz do Município X - 1984-1994 Anos Quantidade (1000 ton) 1984 816 1985 904 1986 1.203 1987 1.147 1988 1.239 1989 1.565 1990 1.620 1991 1.833 1992 1.910 1993 1.890 1994 1.903 Fonte: Fictícia www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 7. GRÁFICOS EM COLUNAS É a representação de uma série estatística através de retângulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística. As regras para a construção são as mesmas do gráfico em curvas. As bases das colunas são iguais e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. Exemplo: Tabela 4.2 Produção de Soja do Município X - 1991-1995 Anos Quantidade (ton.) 1991 117.579 1992 148.550 1993 175.384 1994 220.272 1995 265.626 Fonte: Secretaria Municipal de Agricultura Para cada ano é construído uma coluna, variando a altura (proporcional a cada quantidade). As colunas são separadas uma das outras. Observação: O espaço entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da base da coluna. Uso do gráfico em colunas para representar outras séries estatísticas Tabela 4.3 Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966 Regiões Fisiográficas Área (Km2) Norte 3.581.180 Nordeste 965.652 Sudeste 1.260.057 Sul 825.621 Centro-oeste 1.879.965 Brasil 8.511.965 Fonte: IBGE. Obs: Na tabela as regiões são apresentadas em ordem geográficas. No gráfico as colunas são ordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para a direita. 8. GRÁFICOS EM BARRAS As alturas dos retângulos são iguais e arbitrárias e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espaço de forma que as inscrições identifiquem as diferentes barras. O espaço entre as barras pode ser a metade (½) ou dois terços(2/3) de suas larguras. As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente para facilitar a comparação dos valores. A categoria “outros” (quando existir) são representadas na barra inferior, mesmo que o seu comprimento exceda o de alguma outra. Outra representação gráfica da Tabela 4.3: Tabela 4.4 Matrícula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino -Brasil - 1995 Ramos de ensino Matrículas Filosofia, Ciências e Letras 44.802 Direito 36.363 Engenharia 26.603 Administração e Economia 24.027 Medicina 17.152 Odontologia 6.794 Agricultura 4.852 Serviço Social 3.121 Arquitetura e Urbanismo 2.774 Farmácia 2.619 Demais ramos 11.002 Total 180.109 Fonte: Fictícia OBS: Quando a variável em estudo for qualitativa e os nomes das categorias for extenso ou as séries forem geográficas ou específicas é preferível o gráfico em barras, devido a dificuldade em se escrever a legenda em baixo da coluna. 9. GRÁFICO EM COLUNAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS) É um tipo de gráfico útil para estabelecer comparações entre as grandezas de cada categoria dos fenômenos estudados. A modalidade de apresentação das colunas é chamado de Gráfico de Colunas Remontadas. Ele proporciona economia de espaços sendo mais indicado quando a série apresenta um número significativo de categorias. Exemplo: Tabela 4.5 Entrada de migrantes em três Estados do Brasil - 1992-1994 Número de migrantes Anos Total Estados Amapá São Paulo Paraná 1992 4.526 2.291 1.626 609 1993 4.633 2.456 1.585 592 1994 4.450 2.353 1.389 708 Fonte: Fictícia www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 qualquer, é chamado freqüência desse valor ou dessa modalidade. Uma tabela de freqüências é uma tabela onde se procura fazer corresponder os valores observados da variável em estudo e as respectivas freqüências. c.1. Distribuição de freqüências para variável discreta Os dados não são agrupados em classes. Tabela 5.3 - Número de filhos de um grupo de 50 casais Número de filhos ( x i ) Contagem ou tabulação Número de casais ( f i ) Total (F 0 E 5) Tabela 5.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais Número de filhos ( x i ) Numero de casais ( f i ) Total (F 0 E 5) Obs: 1. X: representa a variável Número de filhos. 2. xi: representa os valores que a variável assume. 3. fi: é o número de vezes que cada valor aparece no conjunto de dados (freqüência simples absoluta). 4. F 0 E 5 fi = 50 5. n: tamanho da amostra (ou nº de elementos observados). 6. N: tamanho da população (ou nº de elementos observados). c.2. Distribuição de freqüências para variável contínua Os dados da variável são agrupados em classe (grupo de valores). 1. Dados brutos www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Tabela 5.5 - Taxas municipais de urbanização (em percentual) no Estado de Alagoas - 1970 8 24 46 13 38 54 44 20 17 14 18 15 30 24 20 8 24 18 9 10 38 79 15 62 23 13 62 18 8 22 11 17 9 35 23 22 37 36 8 13 10 6 92 16 15 23 37 36 8 13 44 17 9 30 26 18 37 43 14 9 28 41 42 35 35 42 71 50 52 17 19 7 28 23 29 29 58 77 72 34 12 40 25 7 32 34 22 7 44 15 9 16 31 30 2. Rol Tabela 5.6 - Rol das taxas municipais de urbanização, no Estado de Alagoas (em %) - 1970. 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11 12 13 13 13 13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 17 17 17 17 18 18 18 18 19 20 20 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 25 26 28 28 29 29 30 30 30 31 32 34 34 34 35 35 35 36 37 37 38 38 40 41 42 42 43 44 44 44 46 50 52 54 58 62 62 71 72 77 79 92 3. Distribuição de freqüências para dados agrupados em classes Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado de Alagoas (em %) - 1970. Taxas (em %) Número de municípios( f i ) 6 --- 16 29 16 --- 26 24 26 --- 36 16 36 --- 46 13 46 --- 56 4 56 --- 66 3 66 --- 76 2 76 --- 86 2 86 --- 96 1 Total (F 0 E 5) 94 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Obs: 1. F 0 E 5 f i : freqüência simples absoluta. 2. F 0 E 5 f i = n = 94. Obs 2: quando a variável objeto de estudo for contínua, recomenda-se agrupar os valores observados em classes. Se a variável for discreta e o número de valores observados for muito grande recomenda- se agrupar os dados em classes, evitando-se, com isso, grande extensão da tabela e a não interpretação dos valores de fenômeno. 4. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA a. Amplitude total (AT): é a diferença entre o maior e o menor valor observado. No exemplo, tabela 17 - AT = 92 - 6 = 86 b. Freqüência simples absoluta (fi ): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe ( grupo de valores). Ex: f 13 = 4 , f 1ª classe = 29 c. Classe: é cada um dos grupos de valores do conjunto de valores observados, ou seja, são os intervalos de variação da variável. Identifica-se uma classe pêlos seus extremos ou pela ordem em que se encontra na tabela. 6 --- 16 (1ª classe) ; 86 --- 96 (7ª classe) DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES (K) É importante que a distribuição conte com um número adequado de classes. Se o número de classes for excessivamente pequeno acarretará perda de detalhe e pouca informação se poderá extrair da tabela. Pôr outro lado, se forem utilizadas um número excessivo de classes, haverá alguma classe com freqüência nula ou muito pequena, não atingindo o objetivo de classificação que é tornar o conjunto de dados supervisionáveis. Não há uma fórmula exata para determinar o número de classes. Três soluções são apresentadas abaixo: 1. Para n F 0 A 3 25 F 0 A E K = 5, 2. Para n F 0 3 E 25 F 0 A E K F 0 4 0 F D 6 94 Obs: o arredondamento é arbitrário. 2. Fórmula de Sturges: K F 0 4 0 1 + 3,3 . log n No Exemplo: n = 94, log 94 = 1,97313 F 0 A E K F 0 4 0 1 + 3,3 . log 94 F 0 A E K F 0 4 0 1 + 3,3 . 1,97313 F 0 A E K F 0 4 0 7,51 F 0 A E K F 0 4 0 8 A fórmula de Sturges revela um inconveniente: propõem um número demasiado de classes para um número pequeno de observações e relativamente poucas classes, quando o total de observações for muito grande. d. Intervalo de classe ou amplitude do intervalo de classe ( i ): é o comprimento da classe. i F 0 4 0 A T K Obs: convém arredondar o número correspondente à amplitude do intervalo de classe para facilitar os cálculos (arredondamento arbitrário). Obs 2: Intervalo de classe: i = l s - l i e. Limites de classes (limite inferior e limite superior): são os valores extremos de cada classes. Seja a classe 6 F 0 B E 16 - limite inferior ( l i ) = 6 e limite superior ( l s ) = 16. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 6.1. Freqüência absoluta acumulada “abaixo de” ( Fi ) A freqüência absoluta acumulada “abaixo de” uma classe ou de um valor individual é a soma das freqüências simples absoluta da classe ou de um valor com as freqüências simples absoluta das classes ou dos valores anteriores. A expressão “abaixo de” refere-se ao fato de que as freqüências a serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor ou à classe cuja freqüência acumulada se quer obter, incluindo no cálculo a freqüência do valor ou da classe. Quando se quer saber quantas observações existem até uma determinada classe ou valor individual, recorre-se à freqüência acumulada “abaixo”. 6.2. Freqüência relativa acumulada “abaixo de” ( F r ) A freqüência relativa acumulada da classe ou do valor individual i é igual a soma da freqüência simples relativa da classe ou do valor individual com as freqüências simples relativas das classes ou dos valores anteriores. As freqüências relativas acumuladas podem ser obtidas de duas formas: 1. Acumulando as freqüências simples relativas de acordo com a definição de freqüências acumuladas. 2. Calculando as freqüências relativas diretamente a partir das freqüências absolutas de acordo com a definição de freqüências relativas: F r = F i / n 6.3. Freqüência Acumulada “Acima de” b.1. Freqüência absoluta acumulada “acima de” ( Fj ) A freqüência absoluta acumulada “acima de” uma classe ou de um valor individual representa o número de observações existentes além do valor ou da classe, incluindo no cálculo as observações correspondentes a esse valor ou a essa classe. Para obter a freqüência absoluta acumulada “acima de”, soma-se à freqüência simples absoluta da classe ou do valor individual as freqüências simples absolutas das classes ou dos valores individuais posteriores. b.2. Freqüência relativa acumulada “acima de” ( FR ) A freqüência relativa acumulada “acima de” uma classe ou do valor individual j é igual à soma da freqüência simples relativa da classe ou do valor individual com as freqüências simples relativas das classes ou dos valores posteriores. Pode-se obter as freqüências relativas acumuladas “acima de” a partir da: 1. definição de freqüências acumuladas; 2. definição de freqüências relativas. Vamos trabalhar, agora, com as seguintes variáveis: 1F 0 B 0) Considere a variável número de filhos do sexo masculino de 34 famílias com 4 filhos cada uma. 0 2 3 4 0 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 3 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Distribuição de freqüência sem classes por se tratar de uma Variável Discreta. Tabela 1- Número de filhos do sexo masculino de 34 famílias com 4 filhos cada uma. Número meninos ( x i ) Número de família ( f i ) fr% Fi Fr% Fj FR% XiF 03 2 Xi2.fi 0 1 2 3 4 Total (F 0 E 5) 2F 0B 0) Considere a estatura (em cm) de 40 alunos do Colégio B. 150 156 161 164 151 156 161 165 152 157 161 166 153 158 161 167 154 158 162 168 155 160 162 168 155 160 163 169 155 160 163 170 155 160 164 172 156 160 164 173 Distribuição de freqüências com classes por se tratar de uma Variável Continua. Tabela 2- Estatura (em cm) de 40 alunos do Colégio B. Estatura (em cm) Número de alunos (f i) xi fr% Fi Fr% Fj FR% xi2 Xi2.fi 150 -- 154 154 – 158 158 – 162 162 – 166 166 – 170 170 -- 174 4 9 11 8 5 3 Total (F 0 E 5) 40 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS_______________________________________________6 6.1. HISTOGRAMAS São gráficos de superfícies utlizados para representar distribuições de frequências com dados agrupados em classes. O histograma é composto por retângulos (denominados células), cada um deles representando um conjunto de valores próximos (as classes). A largura da base de cada célula deve ser proporcional à amplitude do intervalo da classe que ela representa e a área de cada célula deve ser proporcional à frequência da mesma classe. Se todas as classes tiverem igual amplitude, então as alturas dos retângulos serão proporcionais às frequências das classes que eles representam. Considere o histograma obtido a partir da Tabela 2: Tabela 2 - Taxas municipais de urbanização, no Estado de Alagoas (em %) - 1970. Taxas (em %) Número de municípios( f i ) Percentual 6 --- 16 29 30,9 16 --- 26 24 25,5 26 --- 36 16 17,0 36 --- 46 13 13,8 46 --- 56 4 4,3 56 --- 66 3 3,2 66 --- 76 2 2,1 76 --- 86 2 2,1 86 --- 96 1 1,1 Total (F 0 E 5) 94 100,0 6.2. POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS O polígono de freqüências é o gráfico que obtemos unindo pontos dos lados superiores dos retângulos superiores dos retângulos de um histograma por meio de segmentos de reta consecutivos. Na Tabela 5.7, temos: www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 3 8 4 3 5 3 6 3 7 2 Total (F 0 E 5) 50 Os 50 casais possuem, em média 2,3 filhos. 1.2.2. Média aritmética para dados agrupados com classes intervalares (Dados com classes): Determinar a média aritmética da Tabela 5.7 Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado de Alagoas(em %) 1970. Taxas (em %) Número de Municípios ( fi ) xi xi . ƒi 6 --- 16 29 16 --- 26 24 26 --- 36 16 36 --- 46 13 46 --- 56 4 56 --- 66 3 66 --- 76 2 76 --- 86 2 86 --- 96 1 Total (F 0 E 5) 94 F 0 E 5 xi . ƒi x = ------------ = ---------- F 0 A E x = n 1.3. Propriedades da média aritmética 1ª propriedade A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula). F 0 E 5 di = F 0 E 5 (xi - x ) = 0 onde: di são as distâncias ou afastamentos da média. Em uma distribuição simétrica será igual a zero e tenderá a zero se a distribuição for assimétrica. www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Idades ( xi ) di = xi - x 2 d1 = 2 – 6 = -4 4 d2 = 4 – 6 = -2 6 d3 = 6 – 6 = 0 8 d4 = 8 – 6 = +2 10 d5 = 10 – 6 = +4 F 0 E 5 0 2 + 4 + 6 + 8 + 10 x = ------------------------------- = 6 5 2ª propriedade Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante. Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média Idades ( xi ) xi + 2 2 2 + 2 = 4 4 4 + 2 = 6 6 6 + 2 = 8 8 8 + 2 = 10 10 10 + 2 = 12 F 0 E 5 40 A nova média será: 40 x = ------ = 8. No caso, a média aritmética anterior ficou aumentada de 2. 5 3ª propriedade Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante: Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média Idades ( xi ) xi x 2 2 2 x 2 = 4 4 4 x 2 = 8 6 6 x 2 = 12 8 8 x 2 = 16 10 10 x 2 = 20 F 0 E 5 60 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 A nova média será: 60 x = ------ = 12. No caso, a média aritmética anterior ficou multiplicada por 2. 5 4ª propriedade A média das médias é a média global de 2 ou mais grupos. x1 = 10 n1 = 15 x2 = 18 n2 = 23 Então: (x1 . n1 ) + (x2 . n2 ) + ... + (xk . nk ) xG = --------------------------------------------------- n1 + n2 + .... + nk (10 . 15 ) + (18 . 23 ) xG = -------------------------------- = 14,84 15 + 23 5ª propriedade A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da média aritmética é um mínimo. Idades ( xi ) di = (xi – x) F 0 E 5 di2 = F 0 E 5 (xi – x)2 2 d1 = 2 – 6 = -4 (– 4)2 = 16 4 d2 = 4 – 6 = -2 (– 2)2 = 4 6 d3 = 6 – 6 = 0 ( 0)2 = 0 8 d4 = 8 – 6 = +2 ( +2)2 = 4 10 d5 = 10 – 6 = +4 ( +4)2 = 16 F 0 E 5 0 40 De modo que: F 0 E 5 (xi – x)2 = 40 sendo este valor o menor possível. Isso significa que, se tomássemos outro valor que não a média (x), o resultado dessa operação seria maior que o obtido. 6ª propriedade A média aritmética é atraída pelos valores extremos. Considere os valores originais: xi : 2, 4, 6, 8, 10 F 0 A E x = 6 Se o primeiro valor xi for alterado para 0: xi : 0, 4, 6, 8, 10 F 0 A E x = 5,6 Se o último valor xi for alterado para 12: xi : 2, 4, 6, 8, 12 F 0 A E x = 6,4 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 h: intervalo da classe modal D1 : freqüência simples da classe modal F 0 2 D freqüência simples anterior à da classe modal D2 : freqüência simples da classe modal F 0 2 D freqüência simples posterior à da classe modal Na Tabela 5.7, temos: 29 LMo = 6 Mo = 6 + ------------- x 10 = 14,5% h = 10 29 + 5 D1 = 29 F 0 2 D 0 = 29 D2 = 29 F 0 2 D 24 = 5 A taxa de urbanização mais freqüente ficou em torno de 14,5%. 4. Mediana (Md) É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Por esse motivo, a mediana é considerada uma medida separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de números ordenados segundo uma ordem de grandeza. 4.1. Mediana - para dados não agrupados a) O número de valores observados é impar Exemplo: Considere o conjunto de dados: X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1) 1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente: X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10) 2º) Determinar a ordem ou posição (P) da Mediana por n + 1 P = ------- , quando n (nº de elementos) for ímpar 2 7 + 1 P = ------- = 4ª posição. O número que se encontra na 2 4ª posição é o número 4. Md = 4 b) O número de valores observados é par Exemplo: Considere o conjunto de dados: X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6) 1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente: X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10) 2º) Determinar a ordem ou posição (P) da Mediana por n n P = ---- e P = ---- + 1 , quando n (nº de elementos 2 2 for par 8 8 P = ---- = 4ª posição e P = ---- + 1 = 5ª posição 2 2 Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª posição). Tira-se a média aritmética entre os dois números. 6 + 7 Md = ----------- = 6,5 2 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 4.2. Mediana – para dados agrupados sem classes Tabela 5.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais Número de filhos ( xi ) Numero de casais ( fi ) Fi 1º) Determinar a posição da mediana por: n n P = ---- e P = ---- + 1 , pois n é par 2 2 50 50 P = ----- = 25ª posição e P = ----- + 1 = 26ª posição 2 2 2º) Pela Fi (freq. abs. Acum. abaixo de) verifica-se que o 31 contém o 25º e 26º elemento 2 +2 25º corresponde ao nº 2 Md = -------- = 2 26º corresponde ao nº 2 2 0 6 6 1 16 22 2 9 31 3 8 39 4 3 42 5 3 45 6 3 48 7 2 50 Total (F 0 E 5) 50 O nº 2 deixa 50% dos valores, ou seja é o elemento central 4.3. Mediana – para dados agrupados com classes Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970. n 94 1º) Calcular a posição: P = ---- = ---- = 47ª posição 2 2 (não importa de n for ímpar ou par) 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém a Md: O nº 47 está dentro de 53. Portanto, a classe da Md é a 2ª: 16 --- 26. 3º) Aplica-se a fórmula: n/2 – Fa Md = LMd + ------------- x h fMd onde, Taxas (em %) Número de Municípios ( fi ) Fi 6 --- 16 29 29 16 --- 26 24 53 26 --- 36 16 69 36 --- 46 13 82 46 --- 56 4 86 56 --- 66 3 89 66 --- 76 2 91 76 --- 86 2 93 86 --- 96 1 94 Total (F 0 E 5) 94 * LMd = limite inferior da classe da Md = 16 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos F 0 A E F 0 A E n/2 = 94/2 = 47 * Fa = frequência acumulada anterior à classe da Md = 29 47 – 29 Md = 16 + ------------- x 10 = 23,5% 24 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 * h = intervalo da classe da Md = 10 * fMd = frequência simples da classe da Md = 24 50% das taxas de urbanização estão antes taxa 23,5%. 5. Quartis (medidas separatrizes) Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos n 1º) Calcular a posição: P = ---- (seja n ímpar ou par) 4 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Q1 3º) Aplica-se a fórmula: n/4 – Fa Q1 = LQ1 + -------------- x h f Q1 sendo * LQ1 = limite inferior da classe do Q1 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos * Fa = frequência acum. anterior à classe do Q1 * h = intervalo da classe do Q1 * f Q1 = frequência simples da classe do Q1 Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos 3 n 1º) Calcular a posição: P = ----- (seja n ímpar ou par) 4 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém do Q3 3º) Aplica-se a fórmula: 3n/4 – Fa Q3 = LQ3 + -------------- x h f Q3 sendo * LQ3 = limite inferior da classe do Q3 * n = tamanho da amostra ou nº de elementos * Fa = frequência acum. anterior à classe do Q3 * h = intervalo da classe do Q3 * f Q3 = frequência simples da classe do Q3 Q2 = 2º quartil, é igual a mediana, deixa 50% dos elementos 6. Decis: dividem a série em 10 partes iguais in 1º) Calcular a posição: P = ---- (seja n ímpar ou par), 10 em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Di 3º) Aplica-se a fórmula: in/10 – Fa Di = L Di + ---------------- x h f Di sendo * LDi = limite inferior da classe Di , i = 1, 2, 3, ..., 9 7. Percentis: dividem a série em 100 partes iguais in 1º) Calcular a posição: P = ----- (seja n ímpar ou par), 100 em que i = 1, 2, 3, ..., 98, 99 2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém o Pi 3º) Aplica-se a fórmula: in/100 – Fa Pi = L Pi + ----------------- x h f Pi sendo * LPi = limite inferior da classe Pi , i = 1, 2, 3, ..., 99 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 N N Empreg. A (xi) xi2 Empreg. B (xi) xi2 70 4900 60 71 5041 80 69 4761 70 70 4900 62 70 4900 83 F 0 E 5 350 24502 F 0 E 5 Empregado A F 0 E 5 xi = 350, F 0 E 5 xi2 = 24502 F 0 E 5 xi2 F 0 2 D F 0 E 5 (xi)2 / N 24502 F 0 2 D (350)2 / 5 F 0 7 3 2 = ------------------------- = -------------------------- = 0,4 N 5 Empregado B F 0 E 5 xi = , F 0 E 5 xi2 = F 0 E 5 xi2 F 0 2 D F 0 E 5 (xi)2 / N F 0 7 3 2 = ------------------------- = ------------------------- = N Variância amostral (s2) É usada quando o estudo é feito por amostragem. F 0 E 5 (xi F 0 2 D x)2 s2 = ---------------- n – 1 Fórmula prática: F 0 E 5 xi2 F 0 2 D F 0 E 5 (xi)2 / n s2 = ----------------------- n – 1 Variância – para dados agrupados sem e com classes Variância populacional: F 0 E 5 (xi F 0 2 D x)2 . fi F 0 7 3 2 = --------------------- N Fórmula prática: F 0 E 5 xi2. fi F 0 2 D F 0 E 5 (xi . fi)2 / N F 0 7 3 2 = -------------------------------- N Variância amostral: F 0 E 5 (xi F 0 2 D x)2 . fi s2 = --------------------- n – 1 Fórmula prática: F 0 E 5 xi2. fi F 0 2 D F 0 E 5 (xi . fi)2 / n s2 = -------------------------------- n – 1 www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 OBS: quando os dados forem uma amostra, usa-se o denominador n – 1 na fórmula da variância, pois se obtém uma estimativa melhor do parâmetro da população. Quando a amostra for grande (n > 30) não há diferença entre usar n – 1 ou n. 4. Desvio-padrão É a raiz quadrada da variância. Na fórmula original para o cálculo da variância, observa-se que é uma soma de quadrados. Por exemplo, se a unidade original for metro (m) o resultado será metro ao quadrado (m2). Para retornar a uidade de medida original, extrai-se a raiz quadrada da variância, passando a chamar- se de desvio-padrão. Desvio-padrão populacional F 0 7 3 = √F 0 7 32 Desvio-padrão amostral s = √s2 Cálculo da variância e do desvio-padrão para a Tabela 5.4 (sem classes) Tabela 5.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais Número de filhos ( xi ) Numero de casais ( fi ) xi . ƒi xi2 xi2. fi Variância amostral: F 0 E 5 xi2. fi F 0 2 D F 0 E 5 (xi . fi)2 / n s2 = -------------------------------- n – 1 Desvio-padrão: s = √s2 = 0 6 1 16 2 9 3 8 4 3 5 3 6 3 7 2 Total (F 0 E 5) 50 117 Cálculo da variância e do desvio-padrão para a Tabela 5.7 (com classes) Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanização - Alagoas (em %) 1970. Número de www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1 Taxas (em %) Municípios ( fi ) xi xi . ƒi xi2 xi2. fi Variância amostral: F 0 E 5 xi2. fi F 0 2 D F 0 E 5 (xi . fi)2 / n s2 = -------------------------------- n – 1 Desvio-padrão: s = √s2 = 6 --- 16 29 11 16 --- 26 24 21 26 --- 36 16 31 36 --- 46 13 41 46 --- 56 4 51 56 --- 66 3 61 66 --- 76 2 71 76 --- 86 2 81 86 --- 96 1 91 Total (F 0 E 5) 94 1. Medidas de dispersão relativa 2.1. Coeficiente de variação (CV) É uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. População F 0 7 3 CV = ------ x 100 x ou Amostra s CV = ------ x 100 X O coeficiente de variação é expresso em porcentagem. Duas maneiras de analisar o CV : Pequena dispersão: CV F 0 A 3 10% Média dispersão: 10% F 0 3 C V F 0 3 C 20% Grande dispersão: CV F 0 B 3 20% Baixa dispersão: CV F 0 A 3 15% Média dispersão: 15% F 0 3 C V F 0 3 C 30% Grande dispersão: CV F 0 B 3 30% www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Curso de Estatística Básica – por Profº João Góes PAGE 1