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Exercıcios e Problemas de Algebra Linear

German Ignacio Gomero Ferrer 1

Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,

Rodovia Ilheus/Itabuna, km 16, Ilheus 45650-0 Bahia – BA, Brasil

21 de julho de 2010

1e-mail: gigferrer@uesc.br

Sumario

1.1 Alguns exemplos conhecidos1
1.2 A definicao de espaco vetorial30
1.3 Espacos de funcoes sobre um corpo31
1.4 Espacos de funcoes sobre um espaco vetorial36
1.5 Propriedades elementares dos espacos vetoriais37

1 Espacos Vetoriais 1

2.1 Subespacos e nao–subespacos38
2.2 Intersecao de subespacos40
2.3 Soma de subespacos vetoriais41
2.4 Espacos afins43

2 Subespacos vetoriais 38 i

Capıtulo 1 Espacos Vetoriais

1.1 Alguns exemplos conhecidos

Exercıcios Resolvidos

Somando em ambos termos da igualdade o vetor (−5,−1) e usando a associatividade da adicao de pares temos

Dos tres metodos, o ultimo e o unico que se pode generalizar para outros espacos.

Solucao.

Solucao.

1. Sejam v ∈ V e w ∈ W tais que v + w = x. Em componentes temos

2. Sejam v ∈ V e w ∈ W tais que v + w = y. Em componentes temos

Somando as componentes obtemos

. A soma (1.3) toma entao a forma

, e portanto

Solucao. 1. Se existem α,β,γ ∈ R tais que αx + βy + γz = 0, entao

Esta igualdade equivale ao sistema linear

Eliminando β reduzimos o sistema linear a

A unica solucao deste sistema e α = γ = 0, e portanto β = 0, portanto nao existem coeficientes nao nulos tais que

Esta igualdade equivale ao sistema linear

Eliminando γ reduzimos o sistema linear a

Este exercıcio mostra que as vezes existem coeficientes nao nulos tais que αx+βy +γz = 0 e as vezes estes coeficientes nao nulos nao existem.

Exercıcio 1.1.5 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ R tais que u = αx+βy +γz .

Solucao. 1. Se existem tais α,β,γ ∈ R temos

Igualando componentes temos o sistema linear

Igualando componentes temos o sistema linear

Eliminando γ obtemos o sistema

que nao possui solucao. Segue–se que tais α,β,γ ∈ R nao existem, ou seja, que nao e possıvel escrever u = αx+βy +γz

Este exercıcio mostra que as vezes e possıvel escrever u = αx+βy +γz e as vezes isto nao e possıvel.

Exercıcio 1.1.9 Encontre todas as solucoes em C das seguintes equacoes. 1. x3 − i = 0. 2. x5 − i = 0.

Exercıcio 1.1.14 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ C nao nulos tais que αx+βy +γz = 0 .

Exercıcio 1.1.15 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ C tais que u = αx+βy +γz .

Exercıcio 1.1.18 Encontre as solucoes das seguintes equacoes e determine o corpo Q[√ n] onde elas se encontram.

vetores sao elementos de V .

Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.

Exercıcio 1.1.2 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ Q[√ 5] nao nulos tais que

Exercıcio 1.1.24 Prove que Z2 e um corpo.

Exercıcio 1.1.27 Sejam

Exercıcio 1.1.28 Determine em cada caso se existem α,β,γ,δ ∈ Z3 nao nulos tais que αx+βy +γz +δw = 0 .

Exercıcio 1.1.29 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ Z5 tais que u = αx+βy +γz .

Exercıcios Propostos

Exercıcio 1.1.3 Em cada caso, encontre z ∈ Rn tal que x + z = y.

Exercıcio 1.1.8 Sejam

Exercıcio 1.1.1 Determine em cada caso se existem α,β,γ,δ ∈ R nao nulos tais que αx+βy +γz +δw = 0 .

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