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Exercıcio 1.1.13 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ R tais que u = αx+βy +γz .

Exercıcio 1.1.14 Determine em cada caso se existem α,β,γ,δ ∈ R tais que u = αx+βy +γz +δw .

Exercıcio 1.1.15 Determine os vetores x,y ∈ R4 sabendo que as componentes de x sao todas iguais, a segunda componente de y e nula e x + y = (2,1,4,3).

Exercıcio 1.1.26 Sejam

Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.

Exercıcio 1.1.28 Determine em cada caso se existem α,β,γ,δ ∈ C nao nulos tais que αx+βy +γz +δw = 0 .

Exercıcio 1.1.30 Determine em cada caso se existem α,β,γ ∈ C tais que u = αx+βy +γz .

Exercıcio 1.1.31 Determine os vetores x,y ∈ C4 sabendo que as componentes de x sao todas iguais, a segunda componente de y e nula e x + y = (2i,1 + i,4,3 − 2i).

Exercıcio 1.1.36 Encontre as solucoes das seguintes equacoes e determine o corpo Q[√ n] onde elas se encontram.

vetores sao elementos de V .

seguintes vetores sao elementos de V .

Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.

Exercıcio 1.1.42 Sejam

Escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.

Exercıcio 1.1.43 Determine em cada caso se existem numeros α,β ∈ Q[√ 3] nao nulos tais

Exercıcio 1.1.4 Determine em cada caso se existem α,β,γ,δ ∈ Q[√ 5] nao nulos tais que

Exercıcio 1.1.47 Prove que Z3 e um corpo.

Exercıcio 1.1.50 Sejam

Exercıcio 1.1.51 Determine em cada caso se existem α,β,γ,δ ∈ Z3 nao nulos tais que αx+βy +γz +δw = 0 .

Exercıcio 1.1.53 Determine os vetores x,y ∈ Z43 sabendo que as componentes de x sao todas iguais, a segunda componente de y e nula e x + y = (2,1,0,2).

Problemas Resolvidos

Problema 1.1.1 Prove que dados x,y ∈ R2, existe um unico z ∈ R2 tal que x + z = y. Solucao. Resolvemos o problema por dois metodos distintos.

Isto prova a existencia da solucao. Para provar a unicidade, seja w ∈ R2 tal que x+w = y. Neste caso temos tambem x + z = x + w, e portanto

e ha portanto uma unica solucao. Dos dois metodos utilizados, o ultimo e o unico que se pode generalizar para outros espacos.

3. Observe que λx = 0 e equivalente a (λx1,λx2) = (0,0), e portanto equivalente ao par de equacoes

Observe que os metodos utilizados para provar estas propriedades sao especialmente adaptados para R2.

Solucao.

e portanto u + v ∈ V .

e portanto λu ∈ V .

3. Dados u,v ∈ V e α,β ∈ R, temos pelo item anterior que αu,βv ∈ V , e pelo primeiro item αu + βv ∈ V .

4. Dados u,v,w ∈ V e α,β,γ ∈ R, temos pelo item anterior que αu+βv ∈ V , e pelo segundo item temos γw ∈ V . Temos entao pelo primeiro item que αu + βv + γw ∈ V .

cuja unica solucao e e portanto

e a unica solucao ao problema.

Problema 1.1.5 Calcule os seguintes numeros complexos. 1. i77.

Problema 1.1.18 Dado um corpo K, sejam

Prove que todo x ∈ K2 pode ser escrito de maneira unica como soma de um elemento de V e outro de U.

Problemas Propostos

Problema 1.1.8 Seja

Prove que

Prove que 1. se x,y ∈ V , entao x + y ∈ V ,

outro de U.

Problema 1.1.13 Sejam

Prove que todo x ∈ Rn pode ser escrito de maneira unica como soma de um elemento de V e outro de U.

Um conjunto X ⊆ Rn e dito convexo se para quaisquer a,b ∈ X vale [a,b] ⊆ X. Prove que os seguintes conjuntos sao convexos.

Problema 1.1.15 Um cone em Rn e um conjunto C ⊆ Rn tal que para todo v ∈ C e todo α > 0 vale αv ∈ C. Dado um conjunto A ⊆ In nao vazio, mostre que o conjunto

Problema 1.1.16 Mostre que as inversas aditiva e multiplicativa de z ∈ C coincidem se e somente se z = i ou z = −i.

Problema 1.1.18 Mostre que z ∈ C e real se e somente se z = z e e imaginario se e somente se z = −z.

Problema 1.1.21 Calcule os seguintes numeros complexos. 1. i101.

Problema 1.1.29 Seja

Prove que 26

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