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outro de U.

Problema 1.1.3 Sejam

Prove que todo x ∈ Cn pode ser escrito de maneira unica como soma de um elemento de V e outro de U.

Problema 1.1.38 Se K e um corpo prove que dados x,y ∈ Kn, existe um unico z ∈ Kn tal que x + z = y.

Prove que 1. se x,y ∈ V , entao x + y ∈ V ,

Prove que 1. se x,y ∈ V , entao x + y ∈ V ,

Prove que todo x ∈ K3 pode ser escrito de maneira unica como soma de um elemento de V e outro de U.

Problema 1.1.48 Dado um corpo K, sejam

Prove que todo x ∈ Kn pode ser escrito de maneira unica como soma de um elemento de V e outro de U.

1.2 A definicao de espaco vetorial

Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 1.2.1 Prove que R e um R–espaco vetorial.

Exercıcio 1.2.2 Prove que o conjunto R+ = {x ∈ R / x > 0}, com as operacoes de adicao e multiplicacao por um escalar

dadas por x⊕y = xy e λ⊗x = xλ , para todo λ ∈ R e x,y ∈ R+, e um espaco vetorial real.

Exercıcio 1.2.5 Prove que Zn e um Z–modulo para todo n ∈ N.

Exercıcios Propostos

Exercıcio 1.2.1 Se K e um corpo, prove que K e um K–espaco vetorial. Exercıcio 1.2.2 Prove que R e um Q–espaco vetorial. Exercıcio 1.2.3 Prove que C e um Q–espaco vetorial.

Exercıcio 1.2.4 Prove que o conjunto Q+ = {x ∈ Q / x > 0}, com as operacoes de adicao e multiplicacao por um escalar

dadas por x⊕y = xy e λ⊗x = xλ , para todo λ ∈ Z e x,y ∈ Q+, e um modulo real.

Exercıcio 1.2.5 Considere o conjunto V = R × R+ com as operacoes binarias

dadas por x⊕y = xy e λ⊗x = xλ , para todo λ ∈ R e x,y ∈ V . Prove que V e um espaco vetorial real.

Exercıcio 1.2.7 Prove que Zn e um Z–modulo para todo n ∈ N.

Exercıcio 1.2.8 Prove que se K e um anel comutativo e com identidade, entao Kn e um K–modulo para todo n ∈ N.

Problemas Resolvidos

Problema 1.2.1 Considere a estrutura de Z–modulo em Zn e prove que para quaisquer x,y,z ∈ Zn existem α,β,γ ∈ Z nao nulos tais que

Problemas Propostos

Problema 1.2.1 Prove que todo anel comutativo e com identidade e um Z–modulo. Neste sentido, a teoria dos K–modulos e uma extensao da teoria dos aneis.

1.3 Espacos de funcoes sobre um corpo

Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 1.3.4 Considere os tres vetores do Exercıcio Resolvido 1.3.2 e determine se existem α,β,γ ∈ Q nao nulos tais que αx + βy + γz = 0.

Exercıcio 1.3.5 Para cada k ∈ N considere a funcao

Exercıcio 1.3.6 Considerando as mesmas funcoes do exercıcio anterior, determine se existem escalares nao nulos αk ∈ K tais que α0f0 + α1f1 + α2f2 = f3 quando

Exercıcios Propostos

Calcule os seguintes vetores. 1. x + y.

Exercıcio 1.3.4 Seja V = {x : N → Q / ∀n ∈ N[xn+2 = xn+1 + xn]}. Escreva tres vetores nao nulos x,y,z ∈ V e prove que para esses vetores valem as seguintes afirmacoes.

Exercıcio 1.3.6 Considere os dois vetores do Exercıcio Proposto 1.3.2 e determine se existem α,β ∈ Q nao nulos tais que αx + βy = 0.

Exercıcio 1.3.7 Para cada k ∈ N considere a funcao

Determine se existem escalares nao nulos αk ∈ R tais que α0f0 + α1f1 + α2f2 = 0. Exercıcio 1.3.8 Defina em F(R) o produto de duas funcoes ponto a ponto, ou seja

1. Prove que, com esta operacao de multiplicacao F(R) e um anel comutativo com identidade.

2. Prove que F(R)n e um F(R)–modulo para todo n ∈ N.

Exercıcio 1.3.9 Considere o anel F(R) do Exercıcio Proposto 1.3.8. 1. Prove que F(N,F(R)) e um F(R)–modulo. 2. Dado qualquer conjunto nao vazio X, prove que F(X,F(R)) e um F(R)–modulo.

Problemas Resolvidos

Problema 1.3.1 Prove que dados x,y ∈ RN, existe um unico z ∈ RN tal que x + z = y.

Problema 1.3.7 Sejam P,I ⊂ N os conjuntos dos numeros pares e ımpares. Dados os conjuntos

Prove que toda sequencia x ∈ RN pode ser escrita de maneira unica como a soma de uma sequencia y ∈ E e outra z ∈ F.

Problema 1.3.8 Seja P ⊂ N o conjunto dos numeros primos. Dados os conjuntos

Prove que toda sequencia x ∈ RN pode ser escrita como a soma de uma sequencia y ∈ E e outra z ∈ F.

Problema 1.3.9 Seja P ⊂ N o conjunto dos numeros primos. Dados os conjuntos

Exiba uma sequencia x ∈ RN que nao possa ser escrita como soma de uma sequencia y ∈ E e outra z ∈ F.

Problemas Propostos

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