(Parte 4 de 5)

Um conjunto X ⊆ V e dito convexo se para quaisquer a,b ∈ X vale [a,b] ⊆ X. Prove que os seguintes conjuntos sao convexos.

Problema 1.3.2 Dado um espaco vetorial real V , um conjunto C ⊆ V e um cone se para todo v ∈ C e todo α > 0 vale αv ∈ C. Mostre que o conjunto das funcoes f : X → R que tomam valores negativos num conjunto A ⊆ X e um cone em F(X,R).

1.4 Espacos de funcoes sobre um espaco vetorial

Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 1.4.1 Para cada k ∈ N considere a funcao

Exercıcios Propostos Problemas Resolvidos

Problema 1.4.1 Sejam I ⊂ R o conjunto dos numeros irracionais e W um espaco vetorial real. Considere os conjuntos

Prove que toda funcao f ∈ F(R,W) pode ser escrita de maneira unica como soma de uma funcao g ∈ E e outra h ∈ F.

Problema 1.4.2 Seja W um espaco vetorial real, e considere os conjuntos

Prove que toda funcao f ∈ F(R,W) pode ser escrita de maneira unica como soma de uma funcao g ∈ E e outra h ∈ F. O resultado vale se substituirmos R por um corpo qualquer K?

Problemas Propostos 1.5 Propriedades elementares dos espacos vetoriais

Exercıcios Resolvidos Exercıcios Propostos Problemas Resolvidos

Problema 1.5.1 Construa um K–modulo V tal que existam λ ∈ K e x ∈ V nao nulos mas λx = 0.

Problemas Propostos

Problema 1.5.1 Construa um K–modulo V tal que existam α,β ∈ K distintos e x ∈ V nao nulo mas αx = βx.

Problema 1.5.2 Construa um K–modulo V tal que existam λ ∈ K nao nulo e x,y ∈ V distintos mas λx = λy.

Capıtulo 2 Subespacos vetoriais

2.1 Subespacos e nao–subespacos

Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 2.1.1 O espaco vetorial do Exercıcio Proposto 1.2.5 e um subespaco de R2? Exercıcio 2.1.2 Determine se os seguintes conjuntos sao espacos vetoriais.

Exercıcio 2.1.4 Dado um corpo K qualquer, prove que o conjunto de sequencias

Exercıcio 2.1.5 Dado um corpo K qualquer, prove que o conjunto de sequencias

Exercıcio 2.1.6 Prove que o conjunto das funcoes complexas ımpares forma um espaco vetorial.

Exercıcio 2.1.7 Uma funcao complexa f : C → C e lipschitziana, ou de Lipschitz, se existe um k ∈ R tal que para todo x,y ∈ C vale

O numero real k ∈ R e chamada de constante de Lipschitz para f. Prove que o conjunto L(C), das funcoes complexas de Lipschitz, e um espaco vetorial.

Exercıcios Propostos Problemas Resolvidos

Problema 2.1.1 Determine se o conjunto das progressoes aritmeticas de numeros reais forma um espaco vetorial.

Problema 2.1.2 Dado um corpo K, considere um subconjunto finito de funcoes

k=1 λkfk e um espaco vetorial.

Problema 2.1.3 Uma sequencia x : N → C e chamada sequencia de Cauchy se para qualquer k ∈ N, existe δ > 0 tal que se m,n > k entao |xm − xn| < δ. Determine se as sequencias de Cauchy formam um espaco vetorial.

Problemas Propostos

Problema 2.1.1 Se V e um espaco vetorial e W V , prove cada uma das seguintes afirmacoes ou de um contraexemplo.

2.2 Intersecao de subespacos Nesta secao usamos a notacao

k=1 akbk .

Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 2.2.1 Descreva explicitamente o subespaco Sa∩Sb R3 em cada um dos seguintes casos.

Exercıcio 2.2.2 Seja Mn(R) o espaco das matrizes quadradas a : In × In → R. Descreva explicitamente o subespaco E ∩ F M3(R), onde

Exercıcio 2.2.3 Descreva explicitamente a intersecao Sa ∩ Sb ∩ Sc R4 em cada um dos seguintes casos.

Exercıcios Propostos Problemas Resolvidos

1. Mostre que se c = λa + b entao Sa ∩ Sb = Sa ∩ Sc. 2. Interprete este resultado em termos de sistemas de equacoes lineares.

Problema 2.2.2 Dado um conjunto X e A ⊆ X, escrevemos

3. WA∪B = WA ∩WB. Problema 2.2.3 Sejam a,b,c ∈ Kn e suponha que existam λ,µ ∈ K tais que c = λa + µb.

1. Mostre que Sa ∩ Sb ∩ Sc = Sa ∩ Sb. 2. Interprete este resultado em termos de sistemas de equacoes lineares.

2. Calcule a intersecao deste subespacos para determinar 〈X〉.

3. Use o metodo aplicado nos exercıcios acima para determinar 〈X〉 e compare seu resultado com o resultado anterior.

Problemas Propostos 2.3 Soma de subespacos vetoriais Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 2.3.1 Determine explicitamente quais dos seguintes casos a uniao Sa ∪ Sb e um subespaco de R3.

Exercıcio 2.3.2 Seja Mn(R) o espaco das matrizes quadradas a : In × In → R. Mostre explicitamente que o conjunto E ∪ F ⊆ M3(R), onde

nao e fechado pela adicao.

Exercıcio 2.3.3 Descreva explicitamente o subespaco Sa+Sb R3 em cada um dos seguintes casos.

(Parte 4 de 5)

Comentários