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Exercıcio 2.3.4 Seja Mn(R) o espaco das matrizes quadradas a : In × In → R. Descreva explicitamente o subespaco E + F M3(R), onde

Exercıcio 2.3.5 Encontre dois subespacos complementares a Sa R2 em cada um dos seguintes casos.

Exercıcio 2.3.6 Encontre dois subespacos complementares a Sa R3 em cada um dos seguintes casos.

Exercıcio 2.3.9 Uma matriz a : In × In → K e simetrica se para todo (i,j) ∈ In × In vale aij = aji, e antisimetrica se aij = −aji. Se Sn ⊆ Mn(K) e o conjunto das matrizes simetricas e An ⊆ Mn(K) o conjunto das matrizes antisimetricas, prove que Mn(K) = Sn ⊕ An.

Exercıcio 2.3.10 Dados u,v ∈ V , prove que 〈u,v〉 = 〈u〉 ⊕ 〈v〉 se e somente se u e v nao sao colineares.

Exercıcios Propostos Problemas Resolvidos

Problema 2.3.4 Para cada A ⊆ R, considere o conjunto

Problemas Propostos 2.4 Espacos afins

Exercıcios Resolvidos Exercıcio 2.4.1 Prove que toda reta e um espaco afim.

Exercıcios Propostos Exercıcio 2.4.1 Prove que todo espaco vetorial e um espaco afim.

Problemas Resolvidos Problema 2.4.1 Prove que a intersecao de dois espacos afins e um espaco afim.

Problemas Propostos

Problema 2.4.1 Seja F ⊆ V . Prove que F v V se e somente se para todo u,v,w ∈ F e todo α,β,γ ∈ K tais que α + β + γ = 1 vale αu + βv + γw ∈ F.

Problema 2.4.2 Prove que a intersecao de uma famılia nao vazia de espacos afins e um espaco afim.

Problema 2.4.3 Dado A ⊆ V nao vazio, defina o espaco afim gerado por A, denotado por [A], como sendo o menor espaco afim de V que contem A. Construa os seguintes espacos afins,

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