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Disciplina: Mecânica dos Fluídos

Prof.: Aristeu da Silveira Neto Experiência nº. 3

Nomenº.
Bruno Alexandre Roque85732
Guilherme Augusto de Oliveira85733

Equação de Bernoulli Uberlândia, Novembro de 2008.

Resumo

Uma contração ao longo de um tubo pode provocar uma queda de pressão no interior do mesmo. Essa mesma queda de pressão pode ser calculada pela equação de Bernoulli, que é muito famosa e muito usada,apesar de algumas restrições. Esta terceira experiência teve como objetivo a comprovação, por meios experimentais, desta equação, bem como a validade da mesma.

Para o uso da mesma, fizeram-se algumas hipóteses, para facilitar os cálculos, pois estes fatores impossibilitam a utilização da equação. Descreveu-se com riqueza de detalhes os equipamentos utilizados nesta prática experimental, bem como o procedimento prático necessário para a realização desta experiência..

Foram feitos gráficos relacionando, para cada vazão, as pressões estáticas, dinâmicas e totais e as posições relativas das sondas do tubo de Venturi.

Com a análise dos gráficos e alguns cálculos complementares, e apesar da obtenção e alguns erros extremamente grandes (na ordem de 200%), observou-se que, para algumas vazões e regiões do tubo de venturi, houve um resultado próximo do teórico (erro na ordem de 5%).

1 – Lista de símbolos02
2 - Introdução04
3 - Estabelecimento do problema a ser estudado05
4 - Desenvolvimento teórico - Modelo matemático06
5 - Descrição dos equipamentos utilizados12
6 – Procedimento experimental16
7 - Análise dos resultados obtidos16
8 – Conclusão26

1. Lista de Símbolos

V = velocidade da água [m/s]; ρρρρ = massa específica da água = 1000[kg/m³] z = altura em relação ao nível de referência [m] P = Pressão [Pa] A = Área [m²] Q = vazão volumétrica [m³/s] v = volume [m³] x = distância relativa entre as sondas do tubo de Venturi [m]

2. Introdução

Nesta terceira prática laboratorial, foi feita a análise experimental do escoamento de água que se estabelece em um difusor convergente (tubo Venturi), por meio de leituras de pressão estática e dinâmica do escoamento e cálculo do campo de velocidade média através da equação de Bernoulli.

A Equação de Bernoulli é utilizada para, entre outras aplicações em hidráulica, quantificar velocidades de escoamentos estacionários de descarga de reservatórios, estimar a velocidade de um escoamento através de uma restrição à sua passagem e medir velocidades de escoamentos e os correspondentes caudais, dimensionar asas de aviões, vaporizar um fluido, explicar a circulação sanguínea.) A aplicação da Equação de Bernoulli está portanto, presente quer nas operações de previsão feitas pelo Engenheiro, quer nas correspondentes operações de verificação e experimentação em geral. Aspectos estes que constituem as duas faces do mundo em que um Engenheiro se movimenta.

As equações presentes no desenvolvimento teórico obedecem as hipóteses feitas no roteiro desta prática laboratorial (regime permanente, escoamento incompressível e não-viscoso), e foram demonstradas com o auxilio do livro texto White, T, Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1999.

Para a realização deste experimento, foram utilizadas, as bancadas: hidráulica de base e a de

Bernoulli, tais itens serão descritos no decorrer deste relatório. A água escoa através do tubo de Venturi, que possui uma entrada em alta pressão e restringe a sua área da seção, desta forma a pressão em áreas menores é menor, porém há um aumento na velocidade do escoamento da água nessas áreas.

Mediu-se a vazão através do tubo, analisando a pressão em dois pontos distintos. A leitura da pressão estática foi feita pela observação do nível da água em tubos finos graduados, enumerados de 1 a 6, que ficam acima do Venturi. Fez-se a leitura da pressão total. A partir destes dados, foram montados gráficos relacionando as pressões em função das posições da tomada de valor da mesma, analisaram-se tais curvas e confrontaram-se os resultados teóricos e os experimentais. O desenvolvimento dos cálculos teóricos e experimentais será detalhado no decorrer deste relatório, com o intuito de facilitar o entendimento do leitor.

Finalmente, após a análise dos resultados obtidos, foram feitas afirmações e hipóteses para justificar a diferença de resultados entre os dois modelos e chegou-se a importantes conclusões, que serão explicitadas em momento oportuno.

3. Estabelecimento do problema a ser estudado

O experimento realizado nesta prática laboratorial busca provar a equação de Bernoulli, que representa o princípio da conversão da energia total (vide figura 3.1) sobre um escoamento reversível, ou seja, um escoamento sem efeitos viscosos e sem transferência de calor.

Fig. 3.1 - Princípio de Bernoulli

4. Desenvolvimento teórico – Modelo matemático

Estreitamente relacionada à equação da energia para o escoamento permanente, existe uma relação entre pressão, velocidade e elevação para um fluido sem atrito, conhecida como equação de Bernoulli. Tal equação é muito famosa e largamente usada, mas é preciso estar atento para as restrições impostas por ela.

Sabe-se que todos os fluidos são viscosos, logo todos os escoamentos apresentam, ainda que mínimo, um atrito. Para o uso eficaz da equação de Bernoulli, deve-se restringi-la a regiões de escoamento com atrito desprezível. Observando a figura 4.1, vê-se um volume de controle formado por um tubo de corrente elementar, fixo, de área variável A(s) e comprimento d(s), onde s é uma coordenada natural na direção das linhas de corrente. As propriedades (ρ, P, V) podem variar com s e com o tempo, mas admite-se que são uniformes sobre a seção transversal A.

A orientação θ do tubo de corrente é arbitrária, com uma variação de elevação estabelecida por dz = ds.sen(θ). O atrito no tubo de corrente está mostrado, mas é desprezado - uma hipótese altamente restritiva.

Figura 4.1 – Equação de Bernoulli para um escoamento sem atrito ao longo de uma linha de corrente. (a) Forças e fluxos; (b) Forças líquidas de pressão após a subtração de P.

A conservação da massa, definida pela equação:

A equação 4.1, para o volume de controle elementar considerado anteriormente, conduz a:

(4.2) Onde m = ρρρρ.A.V e dv = A.ds. Logo, a forma desejada para a conservação da massa é:

A relação 4.3 não requer a hipótese de escoamento sem atrito. Escreve-se agora a relação de quantidade de movimento linear:

(4.4) Com (5.4), na direção das linhas de corrente:

Onde Vs = V, pois s está na direção da própria linha de corrente. Se desprezarmos a força cisalhante nas paredes (escoamento sem atrito), as forças se devem à pressão e à gravidade. A força de gravidade na direção da linha de corrente é igual ao correspondente componente do peso do fluido dentro do volume de controle:

Com o auxilio da figura 4.1, a força de pressão é mais facilmente visualizada. Na figura, subtraindo-se antes um valor uniforme p de todas as superfícies, isso não alterará a força de pressão resultante. A força de pressão ao longo da lateral inclinada do tubo de corrente tem um componente na direção das linhas de corrente, que atua não sobre A, mas sobre o anel externo correspondente à variação de área dA. A força de pressão resultante é, portanto:

Substituem-se esses dois termos de força na relação de quantidade de movimento:

O primeiro e o ultimo termos da equação (4.8) se cancelam, em virtude da relação de continuidade (4.3). Dividindo os termos remanescentes por ρA e reorganizando, obtém-se a forma:

A equação (4.9) é a equação de Bernoulli para o escoamento sem atrito, não-permanente, ao longo de uma linha de corrente. Tal forma diferencial pode ser integrada entre dois pontos 1 e 2 quaisquer, sobre a linha de corrente:

Para as integrais restantes da equação (4.10), adequa-se a equação as hipóteses feitas no roteiro fornecido pelo L.T.C. M para a experiência número 3:

• Regime permanente; • Escoamento incompressível e não-viscoso.

Obedecendo estas hipóteses, tem-se:

Na forma correspondente à equação (4.1), cada um dos termos apresenta as seguintes denominações:

• O termo (ρρρρ.V²)/2 representa a chamada pressão dinâmica do escoamento,ou energia cinética por unidade de volume; • O termo p representa a chamada pressão estática do escoamento;

• o termo ρgz representa a energia potencial por unidade de volume.

À quantidade:

Habitua-se chamar pressão total ou pressão de estagnação, isto é, num ponto da mesma linha de corrente em que a velocidade se anula.

A equação (4.1) é igual a que consta no roteiro da experiência.

A seguir, serão citadas brevemente algumas aplicações mais usuais da equação de Bernoulli:

Asas de aviões

Esse conhecimento permite o entendimento da aerodinâmica da asa de um avião. Em relação ao avião, o ar situado ao redor das asas se move para trás. O formato da asa do avião faz com que o ar que passa em cima dela se movimente mais depressa do que o ar que passa embaixo. Isso ocorre devido às diferentes curvaturas na parte superior e inferior da asa. Assim, as moléculas de ar que passam por cima da asa o fazem com uma velocidade maior do que aquelas que passam por baixo, porque devem percorrer uma distância maior no mesmo intervalo de tempo. O caminho percorrido por cada partícula do ar é chamado linha de corrente. Na figura, aparecem duas linhas de corrente.

Fig. 4.2 – Ilustração de um perfil de asa

Como em cima a velocidade é maior, a pressão é menor. E em baixo a velocidade é menor, logo a pressão é maior, favorecendo a subida do avião.

Vaporização

Bem como o spray funciona da seguinte forma: um jato de ar é “soprado” na extremidade aberta de um tubo mergulhado em líquido. Então, a pressão nesse ponto diminui, e a diferença depressão no outro extremo (ar dentro do tubo) empurra o líquido para cima. Ao chegar ao topo, a superfície líquida é convertida em gotículas, que se espalham com o jato de ar.

Velejar

A idéia de que "o vento bate e empurra o veleiro" só é verdadeira quando se veleja a favor do vento (popa rasa). Em todas as outras situações deve-se regular (trimar) nossas velas para que o ar possa fluir suavemente pelos dois lados de sua curvatura. O fluxo de ar em volta do pano curvo da vela cria uma zona de baixa pressão no lado externo da vela para a qual o veleiro é sugado.

Fig. 4.2 – Ilustração de um veleiro

5. Descrições dos equipamentos utilizados

Para a realização desenvolvimento desse experimento, foram utilizadas as bancadas hidráulicas de base e de Bernoulli. A figura 6.1 apresenta um esquema da montagem do aparato experimental:

Fig. 5.1 – Esquematização do aparato experimental

1) Válvula de entrada: Entrada da água, oriunda da bancada hidráulica de base, no sistema.

2) Tubo Venturi: A água, ao escoar pelo tubo, terá a sua pressão e velocidade de escoamento alterado. Fornece as pressões estáticas.

3) Tubo de Acrílico: Transporte da água pelo aparato experimental.

4) Tubo flexível: Saída da água oriunda do sistema.

5) Tubos medidores de pressão, interligados a um manômetro, fornecem a pressão estática em diferentes seções do Venturi

6) tubo de aço, ligado a um manômetro,fornece a pressão total

Figura 5.2 – Bancada hidráulica de base

A bancada hidrostática é a alimentadora de água ao aparato de Bernoulli, e a receptora da água retirada da mesma. Assim, a bancada Bernoulli é posicionada sobre a bancada hidráulica de base para o desenvolvimento da prática experimental.

Toda a parte externa é construída em fibra, material leve e resistente, com rodas que facilitam seu transporte. Na face superior, onde a prática é realizada, há uma base plana horizontal, e ao seu lado uma parte plana rebaixada. Na parte mais alta, o aparato hidrostático é posicionado, e na parte mais baixa a mangueira é conectada. O tanque de medição volumétrica acomoda taxas de fluxo baixas ou elevadas. Um defletor reduz a turbulência e um tubo remoto com escala dá uma indicação instantânea do nível de água. Um cilindro de medição é incluído na fonte para a medida de taxas de fluxo muito pequenas. Uma válvula na base do tanque é operada por um atuador remoto. Ao abrir a válvula, o volume medido da água retorna ao depósito na base. A água é extraída do tanque do depósito por uma bomba centrífuga e uma válvula de controle montada no painel regula o fluxo.

Um conector rápido da tubulação de liberação situado no alto da bancada permite a troca rápida dos acessórios sem a necessidade de ferramentas. (informações retiradas e traduzidas de http://www.armfield.co.uk/scripts/fcp.pl?words=bench&wt=ew&bl=or&d=/f1_datasheet.html

Figura 5.2 – Figura ilustrativa da bancada Bernoulli

Este aparato para a demonstração da equação de Bernoulli ilustra em quais circunstâncias o teorema pode ser aplicado, pois para algumas situações o teorema pode nos fornecer um estudo inadequado do fluido em questão.

O aparato consiste em uma série de tubos graduados em (mmCA), que estão ligados a um manômetro, que irá medir a pressão estática quando se der o escoamento do fluido pelo Venturi.

Figura 5.3 – Figura ilustrativa de um tubo de Venturi

O Tubo de Venturi é o medidor de vazão diferencial de pressão, também chamado de medidor de vazão por obstrução de área. Consiste em um tubo, onde escoa um fluido. Possui a entrada (como pode-se ver na figura 5.3) em alta pressão e restringe a sua área de seção(vide figura 5.3), desta forma a pressão na área restringida é menor, porém a velocidade do escoamento é maior. Para se determinar a vazão através de um Venturi, é necessário que se tome dois pontos distintos, um de entrada e o outro da área restringida, para fazer as medidas de pressões. A partir desses dados, é possível determinar o valor da pressão estática no Venturi.

O Venturi pode ser usado com êxito para medir vazões de qualquer fluido, com tubulações de diferentes diâmetros, onde a perda de carga é desprezível.

Fig. 5.4 – Ilustração de um escoamento de fluido em um tubo de venturi, retirado de: http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Vazao_Curso_Ford_1.pdf

6. Procedimento experimental

Montado o aparato experimental,como ilustra a figura 5.1, para a coleta dos valores de pressão e vazão, deve-se proceder da seguinte maneira:

1º ) Abre-se a válvula (1) da bancada hidráulica, para o escoamento de água no tubo de Venturi(2).

2º) Espera-se o fluxo de água se normalizar, eliminando do tubo a presença de bolhas de ar, oriundas da turbulência no escoamento.

3º) Verifica-se se o nível mostrado pelos tubos medidores de pressão (5) estão iguais, para que possa ser desprezado termo da energia potencial gravitacional da equação de Bernoulli.

4º) Insere-se o tubo de aço (6), que mede a magnitude da pressão total.

5º)Para dados intervalos de tempo, mediu-se o volume de fluido, através de uma proveta, que passava no Venturi. Tal medição foi feita para diferentes aberturas da válvula de entrada (1).

6º) Faz-se a coleta dos dados (pressão estática e total), para as diferentes vazões.

7. Análises dos resultados obtidos

Como já foi dito anteriormente, a experiência será desenvolvida em um tubo de Venturi. As medidas serão levantadas na seção convergente do mesmo. Para a comprovação experimental da equação (4.1), serão medidas a pressão estática Pe(e); e a pressão total Pt(e). Com isso, calcula-se a pressão dinâmica:

Para esse conjunto de dados mediu-se também a vazão Q(e). A seguir, serão apresentados os dados obtidos teoricamente e experimentalmente.

Tabela 1 – Área das seções consideradas

N.ºda seção

Diâmetro [m]

Distância x[m] Área [m²}

Tabela 2 – Vazão experimental

N.ºda medida

Volume [m³]

Tempo [s]

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