Baixe Cálculo numérico e modelagem matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 9 Introdução Neste capítulo vamos, recordar os conceitos estudados em Lógica Matemática de álgebra booleana desenvolvidos por George Boole em meados de 1857. Estes conceitos fazem o elo entre a matemática e os computadores digitais. Os computadores utilizam a lógica binária, presença e ausência de energia, ou seja, verdadeiro e falso. Agora basta associar de maneira adequada os operadores, conjunção, disjunção, negação e outros para termos todas as operações matemáticas que um computador executa. Nosso curso tem como foco conversão de binário-decimal, e como ela acar- reta erros nas operações realizadas por computadores. Ao fi nal deste capí- tulo, você será capaz de identifi car as fases de modelagem e os possíveis erros nelas cometidos e compreender a representação binária e como ocorre a repre- sentação dos valores decimais em um computador. Neste capítulo, estudaremos uma área relativamente nova em relação a toda a história da Matemática, mas não menos importante, para isso é importante conhecer sobre valor posicional de um algarismo no sistema de numeração de base dez. Outro importante conceito é a notação científi ca, pois com esse tipo de notação trabalhamos com o posicionamento da vírgula e a potência de 10, muito útil em nosso curso de Cálculo Numérico. 1.1 Erros na fase de modelagem Para melhor compreender em quais momentos, durante a resolução de um problema, podem ocorrer erros, vamos representá-los por meio de um esquema, conforme a fi gura a seguir. Problema físico Modelo matemático Modelagem Resolução Solução O erro pode ocorrer na fase de modelagem, por exemplo, se o problema exige que tenhamos uma precisão de várias casas decimais não conseguimos medi-los de maneira precisa dependendo do modelo que se tenha. Erros e representação numérica 1 CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO 10 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Outro exemplo que podemos citar são os modelos que matemáticos estudados no Ensino Médio desprezam, como o atrito, a resistência do ar, entre outras variá- veis que em problemas reais influenciam diretamente no resultado final. Exemplo Considerando a equação F = m ⋅ a, sendo F a força medida em Newtons, m a massa em quilograma e a a aceleração em metros por segundo, se desejarmos medir a forma de um objeto em queda livre, sabemos que a aceleração é apro- ximadamente 9,8 m/s e sua massa igual a 5 Kg. Facilmente respondemos que a sua força é F = 9,8 × 5 = 49 N. Entretanto, existe variação na gravidade em função da altitude em relação ao nível do mar, temos também que considerar a resistência do ar, entre outros fatores, portanto embora os cálculos estejam corretos temos erros na modelagem problema. O que ocorreu no problema citado acorre em qualquer área do conhecimento. 1.2 Erros na fase de resolução Os erros também podem ocorrer na fase de resolução devido a alguma aproximação realizada pelo computador devido às restrições de representação, como, por exemplo, o número π, e, 2 e outros irracionais e alguns racionais. Estes números não podem ser representados exatamente e o erro cometido propaga nas operações aritméticas. No computador ainda temos o problema da conversão em binário-decimal, em que os números binários não representam todos na forma decimal. Para melhor compreender essas situações vamos estudar como transformar números da forma decimal-binária e vice-versa. 1.2.1 Conversão de bases As máquinas digitais convertem todos os dados para binário (0 ou 1, presença ou ausência de energia) realizam as operação, transformam em decimal para que possamos compreender, todos os cálculos são realizados utili- zando a Álgebra Booleana. Um número N qualquer pode ser descrito numa base β de acordo com a seguinte expressão polinomial: m m 1 1 1 2 m m 1 1 o 1 2 n nN a a ... a a a a ... a − − − − − − − −= β + β + + β + + β + β + + β Para compreender melhor, primeiro veremos um exemplo com a base decimal com a qual estamos mais acostumados. Deste momento em diante, nesta disciplina todos os números serão repre- sentados entre parênteses com um índice indicando em qual base está o CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 13 Exemplo Transforme o número (37,375)10 em binário. Solução Primeiro vamos transformar a parte inteira, ou seja, o 37. 37 18 9 4 2 0 0 0 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 1 Assim, na parte inteira temos (100101)2, mas ainda falta a parte fracio- nária. Tomando apenas esta faremos como no exemplo anterior. 0,375 x 2 0 ,750 0,750 x 2 1,500 0,500 x 2 1,000 Então a representação binária do número (37,375)10 é (100101,011)2. 1.2.2 Erros de arredondamento Durante o processo de conversão binário decimal, podem ocorrer alguns erros, pois na forma binária não é possível representar todos os números da reta real. Também existem casos em que um número exato na forma decimal não possui tal representação na forma binária. Por exemplo, o número (0,1)10, em binário é uma dízima periódica, ou seja, não pode ser representada exatamente com uma quantidade fi nita de símbolos. Existem também os números em decimal que não possuem representação binária, então fazemos uma aproximação. Exemplo Vamos representar o número (0,1)10 na forma binária. 0,1 x 2 0,2 0,2 x 2 0,4 0,4 x 2 0,8 0,8 x 2 1,6 0,6 x 2 1,2 0,2 x 2 0,4 0,4 x 2 0,8 0,8 x 2 1,6 0,6 x 2 1,2 CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO 14 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Observe que neste ponto o (0,4)10 começa a se repetir formando assim uma dízima periódica em binário. Neste caso, existe a necessidade de arredondar ou truncar, pois temos uma quantidade finita de posições para representar o número. A representação binária que obtivemos para (0,1)10 é (0,000110011...)2, fazendo a transformação inversa do último número considerando apenas as nove primeiras casas chegamos ao decimal (.09960937500)10, o qual possui um erro de (0.000390625)2 que dependendo da aplicação pode ser um problema. Vimos como os números são representados em máquinas digitais, agora, vamos compreender como são armazenados e como podemos operá-los. 1.3 Representação em ponto flutuante Todo dia utilizamos calculadoras e nem imaginamos que elas podem cometer erros e muito menos nos preocupamos sobre como suas operações são reali- zadas. Nelas são utilizadas, por exemplo, a representação em aritmética de ponto flutuante. A seguir temos um exemplo. Exemplo O número 15.200.000.000 na calculadora é representado por 1,52 x 1010. Observe que a vírgula que separa a parte fracionária no número 15.200.000.000 está a direita do último zero. Para facilitar a escrita e diminuir o espaço necessário para a representação deslocamos a vírgula dez casas para a esquerda e multiplicamos por uma potência de dez para não alterarmos o valor do número, neste caso, 1010. Conhecendo a base em que se está representando o número, os valores dos números significativos, no exemplo anterior, 152 e o expoente da base. Essa forma de representar os números otimiza a forma de representar os números quando a quantidade de símbolos a ser armazenado é limitado. A seguir, temos a definição do sistema de ponto flutuante para qualquer base de numeração. Definição Um sistema de ponto flutuante F ⊂ IR é um subconjunto dos números reais cujos elementos tem a forma: e 1 2 3 tF (.d d d ...d )= ± β sendo i0 d , i 1,..., t≤ < β = A aritmética de ponto flutuante F é caracterizada por quatro números inteiros: base β (binária, decimal, hexadecimal e etc..); precisão t (número de algarismos da mantissa); limites do expoente e ( min maxe e e≤ ≤ ). CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 15 Assim F é definido por F min max( , t,e ,e )β . A mantissa está sempre entre –1 e 1. Para garantir a representação única para cada y ∈ F, faz-se uma norma- lização no sistema de forma que d1 ≠ 0 para y ≠ 0. No exemplo, a seguir, veremos como representar um número no sistema de ponto flutuante. Exemplo Considere o número (0,00021456)10, vamos representá-lo em uma máquina com as seguintes características β = 10, t = 4 e –9 ≤ e ≤ 9. Solução Para representar nesta máquina o número vamos utilizar a equação e 1 2 3 tF (.d d d ... d )= ± β Como d1 ≠ 0, β = 10, como a mantissa deve estar entre –1 e 1 devemos deslocar a vírgula três casas para a direita. 0,21456 × 10–3 Mas nossa máquina representa apenas 4 dígitos na mantissa então trun- camos o último ficando com o número 0,2145 × 10–3 Utilizamos o mesmo processo para representar números inteiros, como no exemplo a seguir. Exemplo Considere o número (21,004567)10, vamos representá-lo em uma máquina com as seguintes características β = 10, t = 4 e –9 ≤ e ≤ 9. Solução Novamente devido às restrições da mantissa vamos reposicionar a vírgula de modo que para d1 ≠ 0 a mantissa esteja entre –1 e 1. 0,21004567 × 102. A nossa máquina representa apenas 4 dígitos na mantissa temos. 0,2100 × 102 Observe que neste último exemplo alguns algarismos foram ignorados, acar- retando um erro, assim a quantidade de símbolos na mantissa determina a capa- cidade de armazenamento de um número em uma máquina digital. Para valores binários funciona da mesma maneira e assim como na represen- tação decimal também ocorrem erros. Em uma máquina digital, em seu projeto, está implícita a base do sistema de numeração e por isso não há necessidade de armazená-la. Para representar em uma máquina digital devemos reservar um CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO 18 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS O expoente tem representação (100)2, mas dispomos de apenas duas casas para a representação, nesse caso houve um underflow. Fazendo o mesmo processo para (10000)2, temos: 0,1 x 25 e (5)10 = (101)2 SM MANTISSA SE EXP 0 1 0 0 0 0 ? ? Como o expoente extrapolou a capacidade da máquina de representação para mais, dizemos que ocorreu um overflow. 1.5 Erros Como vimos anteriormente em cálculos computacionais, os valores em geral são aproximados, assim, é importante saber o quanto uma medida está próxima de um valor “exato”. Assim utilizamos o erro para medir a diferença entre o valor exato e o aproximado. Seja: x ∆ aproximação para x. O erro absoluto de x é dado por: Ae x x= − No entanto, o erro absoluto nem sempre é eficiente considere o seguinte caso: Na construção de uma casa, o mestre-de-obras mede o ângulo formado entre a parede e o solo e obtêm 89° graus, sendo o ideal 90°, entretanto esse erro é insignificante tendo em vista a altura da parede uma casa, que em média tem seis metros de altura. Considerando o mesmo erro em um observatório no ajuste do ângulo do telescópio pode significar milhares ou até milhões de quilômetros entre dois astros. Nestes casos o erro absoluto de 1° tem significado muito diferente dependendo da situação. Assim o erro relativo é definido conforme a expressão: R x x e x − = O erro relativo é útil quando |x| é uma boa medida do tamanho da quantidade. Exemplo Seja o valor π = 3,141592 considerado como “valor exato”. Vamos calcular o erro cometido no cálculo do comprimento de circunferências em dois casos: π = 3,14, raio = 4 m π = 3,141, raio = 20 m CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 19 Solução Nos dois casos, vamos calcular o erro absoluto e relativo, sabendo que o comprimento da circunferência é dado por: C = 2πr. Calculando o valor exato: Ce = 2 x 3,141592 x 4 Ce = 25,132736 m C1 = 2 x 3,14 x 4 C1 = 25,12 m eA1 = |x – x| eA1 = |25,132736 – 25,12| eA1 = 0,012736 Calculando o erro relativo: R1 R1 25,132736 25,12 e 25,132736 e 0,000506 − = = Fazendo o mesmo para letra b temos, calculando o valor exato: Ce = 2 x 3,141592 x 1000 Ce = 628,3184 m eA2 = |x – x| eA2 = |6283,1840 – 6282,000| eA2 = 1,184 Calculando o erro relativo: R2 R2 R2 x x e x 6283,1840 6282,000 e 6283,1840 e 0,0001884 − = − = = Comparando o erro absoluto da letra a e b observamos que o erro é maior na letra b. Enquanto que o erro relativo da letra b é menor que o erro relativo em a. O que isto significa? Significa que eA2 = 1,184 é menos significativo quanto comparado com a magnitude do comprimento. CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO 20 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Agora sabemos qual é a base do sistema de numeração utilizada pelo computador, como eles são representados dentro da máquina, sabemos sobre alguns problemas que podem ocorrer durante esse processo, como underflow e overflow e aplicaremos esses conceitos na determinação de zeros reais de funções reais, assunto do nosso próximo capítulo. Determinar as raízes de algumas funções de forma analítica pode ser muito complexo e por isso optamos por encontrar o valor aproximado de métodos numéricos. Referências BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher. Editora da USP, 1972. RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa- cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. Anotações CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 23 y y a a b b f(x) x x Figura (a) Figura (b) x 1 x 2 Na figura a, f(a) > 0 e f(b) > 0, e temos duas raízes reais, e na figura b não temos nenhuma raiz real, portanto quando encontramos f(a) ⋅ f(b) > 0, nada podemos afirmar. Existe uma vasta teoria a respeito de equações algébricas no que diz respeito ao isolamento de suas raízes que não está no escopo de nosso curso. Para isolar a raiz de uma função utilizaremos o método gráfico que pode ser utili- zado tanto para equações algébricas quanto para equações transcendentais. 2.2 Método gráfico Antes de comentarmos sobre o método é importante termos em mente alguns tipos de gráficos. Você se lembra do gráfico da função f(x) = xa ou da função f(x) = tg(x)? Agora vamos recordar alguns desses gráficos. Na tabela a seguir temos alguns gráficos importantes, veja: FUNÇÃO GRÁFICO f(x) = sen(x) y 1 –1 1 2 3 4 5 6 xπ 2 π f(x) = cos(x) y 1 –1 1 2 3 4 5 6 xπ 2 π CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO 24 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS FUNÇÃO GRÁFICO f(x) = tg(x) –1 –1 –2 –3 –4 1 1 2 3 4 5 y 2 3 4 5 6 7 8 x2 π 3 2 π f(x) = logaxa>1 –1 –2 –3 1 1 2 3 y 2 3 4 5 6 7 8 x f(x) = logax0 < a < 1 –1 –2 –3 1 1 2 3 y 2 3 4 5 6 7 8 x CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 25 FUNÇÃO GRÁFICO f(x) = eax a > 0 1 –1 1 3 4 5 6 7 2 2 y –4 –3 –2 –1 x f(x) = eax a < 0 1 1 –1 –1 –2 2 2 3 3 4 4 5 6 7 Para encontrar o intervalo [a, b] que contenha a raiz fazemos um esboço do gráfico da função f(x) e verificamos aproximadamente onde ela se anula. CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO 28 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Assim, podemos escolher como intervalo, por exemplo, [0, 1], lembrando que o enunciado pede a primeira raiz positiva. Cuidado, não representa uma raiz de f(x)! 2.3 Métodos de refinamento Durante o processo de refinamento necessitamos saber qual a diferença entre a raiz aproximada e a raiz exata. Para realizar essa avaliação utilizamos um dos três critérios a seguir. 1º Critério: nf(x ) ≤ ε 2º Critério: n n 1x x −− ≤ ε 3º Critério: n n 1 n x x x −− ≤ ε Nos critérios apresentados nx representa a enésima aproximação da raiz. Nos critérios 1 e 2 podemos ter a situação representada pelos gráficos da figura a seguir. f(x) xx Figura 1 xx Figura 2 A figura 1 apresenta um problema quando utilizamos o primeiro critério para avaliar se um determinado valor está ou não próximo de uma raiz, pois apesar do valor de f(x) estar próximo de zero percebemos que ainda está relati- vamente longe da raiz exata. A figura 2 temos um problema semelhante com o critério 2, a diferença é que x está próximo da raiz, mas f(x) não se aproxima de zero. Em muitos casos verificamos se os dois critérios são satisfeitos evitando conclusões equivocadas. O terceiro critério nos fornece a distância relativa da raiz e se comporta de forma semelhante ao segundo. Agora que conseguimos separar uma raiz de uma função e avaliar o quanto x está próximo da raiz, vamos estudar técnicas que melhorem esse resultado que inicialmente é simplesmente visual e nos fornece apenas uma aproximação inicial. CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 29 2.4 Métodos de refinamento Métodos de refinamento aproximam da raiz através de um processo mate- mático que se repete por uma quantidade finita de vezes. Esse processo cria uma sequência de valores que se aproximam da raiz exata até que um critério de avaliação seja satisfeito. Vamos estudar inicialmente um método simples, mas bastante eficiente, o método da bisseção. 2.4.1 Método da Bisseção Seja uma função contínua no intervalo [a, b] e que nesse intervalo possua um ξ tal que f(ξ) = 0. O método da bisseção consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais, a ba, 2 +      e a b ,b 2 +      elegendo para o próximo passo o intervalo que satisfaz a condição do teorema 1. O processo se repete com o novo intervalo até que o valor esteja tão próximo da raiz quanto se deseja. A figura, a seguir, apresenta o esquema gráfico do método da bisseção. y a x1 x3 x2 b x y = f(x) Nós conhecemos como o método da bisseção atua, agora vamos ver como esse processo pode ajudar-nos a refinar um intervalo inicial até que tenhamos a raiz aproximada tão próxima da exata quanto possível. Para isso seguimos alguns passos. Passo 1: determinar um intervalo [a, b] que possua uma única raiz. Passo 2: fazer k kk 1 a b x 2+ + = , dividindo [a, b] em dois subintervalos iguais [a, xk] e [xk, b], se f(a) . f(xk) < 0, o intervalo que contém a raiz é [a, xk], caso contrário o intervalo que contém a raiz é [xk, b]. Passo 3: verificar se qualquer valor dentro do intervalo satisfaz a precisão desejada utilizando um ou mais dos critérios apresentados. Caso contrário volte ao passo 2. CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO 30 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Exemplo Calcule a raiz da equação f(x) = x2 + lnx com ε ≤ 0,1, sabendo que ela possui apenas uma raiz no intervalo [0,5; 1,0]. Solução Como o problema garante que existe apenas uma raiz no intervalo [0,5; 1,0], vamos passar ao segundo passo. Fazendo 1 0,5 1 x 0,75 2 + = ⇒ e f(a) . f(x1) f(0,5) . f(0,75) < 0 Portanto, nosso novo intervalo é [0,5; 0,75], para facilitar o processo podemos escolher qualquer valor no intervalo e escolhemos 2 0,5 0,75 x 0,625 2 + = ⇒ f(0,625) = –0,7937 |f(0,625)| = 0,7937 Como |f(0,625)| > 0,1, voltamos ao passo 2 escolhendo um novo intervalo [0,5; 0,625] ou [0,625; 0,750]. Novamente: f(a) . f(x2) f(0,5) . f(0,625) > 0 Como o resultado é maior que zero e existem apenas dois intervalos, conclu- ímos que o intervalo que contém a raiz é [0,625; 0,750], avaliamos novamente o quanto estamos perto da raiz: 3 0,625 0,750 x 0,6875 2 + = ⇒ , fazendo f(0,6875) = 0,097. Avaliando o valor da função temos: f(0,6875) < ε e 0,097 < 0,1. Assim podemos parar, pois está tão próximo da raiz quanto foi solicitado no enunciado do problema. Assim, x = 0,6875. 2.4.2 Análise da convergência do método da bisseção A análise da convergência dos métodos iterativos permite avaliar previa- mente algumas características adicionais do método em relação ao problema estudado, como a quantidade de iterações necessárias até que o critério de parada seja satisfeito. Podemos notar que se f(x) for contínua no intervalo [a, b] e f(a) . f(b) < 0 no desenvolvimento do método da bisseção, geramos uma sequência xk que CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 33 O n pertence aos naturais, portanto devemos fazer 10 iterações para encon- trar a raiz com a precisão desejada. Saiba mais Neste sítio encontramos um programa denominado Visual Cálculo Numé- rico (VCN), este programa possibilita aplicar e comparar vários métodos de encontrar a raiz numérica de uma função, um programa simples usar verifique. Verifique mais sobre esse assunto no sítio <http://www.geocities. com/programa_vcn/>. Seguiremos nossos estudos de zeros reais de funções abordando outros métodos de refinamento da solução, no próximo capítulo, o que aumentará a nossa capacidade de avaliar e interpretar resultados e resolver os problemas. Referências BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher, Editora da USP, 1972. RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa- cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. Anotações CAPÍTULO 2 « CÁLCULO NUMÉRICO 34 7º PERÍODO + MATEMÁTICA + UNITINS CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 35 Raízes reais de funções, método de Newton 3 Introdução Neste capítulo estudaremos o método da iteração linear (MIL) e o método de Newton para determinar raízes aproximadas de funções. O método da iteração linear é importante mais devido aos conceitos envolvidos do que a própria praticidade do método, pois é baseado nos conceitos deste método que vamos defi nir o método de Newton. Ao fi nal deste capítulo você será capaz de determinar a raiz aproximada de uma função e analisar e conhecer as propriedades do método de Newton e da posição falsa para encontrar a raiz aproximada de uma função. Para um bom desenvolvimento dos conceitos abordados neste capítulo é importante ter compreendido como isolar uma raiz, os conceitos de critério de parada suas vantagens e desvantagens. Os conceitos de funções sua classi- fi cação e familiaridade com suas propriedades também são importantes. A derivada primeira e segunda de funções desempenha um papel importante na compreensão dos conceitos. 3.1 Método da iteração linear Seja f(x) uma função contínua em [a,b] com α ∈ [a,b] tal que f(α) = 0. O Método da Iteração Linear consiste em alterar a equação f(x) = 0 de modo que se obtenha a função x = ϕ(x) denominada função de iteração. O MIL cria uma sequência [xk] de aproximações para raiz utilizando a função iteração xk+1 = ϕ(xk), pois a função ϕ(x) é tal que f(α) = 0, se e somente, se α = ϕ(α). Dada uma função f(x) existem várias possibilidades de função iteração, ou seja, esta não é a única. Exemplo Considere a função f(x) = x2 + x – 6, encontre as funções iteração. Solução Nesse exemplo, podemos citar algumas funções iterações. a) ϕ1(x) = 6 – x 2 CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO 38 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Para a função de iteração 2(x) 6 xϕ = − , o processo se aproxima da raiz. 3.3 Estudo da Convergência Vimos que uma função f(x) possui várias funções iteração e que nem todas geram uma sequência que converge para a raiz. Então como escolher a função iteração para termos certeza que encontraremos a raiz aproximada de f(x)? O teorema, a seguir, mostra os critérios para escolher a função iteração de modo que a mesma gere uma sequência que converge para a raiz da função. Teorema 1 Seja ϕ(x) uma função de iteração para f(x)=0 e uma raiz de f(x) = 0 isolada no intervalo [a,b] e centrada em α, se a) ϕ(x) e ϕ'(x) são contínuas em [a,b]; b) |ϕ'(x)| ≤ M < 1 ∀x∈ [a,b] c) x0 ∈ [a,b] Assim a sequência {x0, x1, x2, ..., xk+1} gerada pela função de iteração xk+1 = ϕ(xk) converge para a raiz α. O M no teorema anterior é um valor 0 < M < 1. Agora vamos utilizar o teorema para verificar as funções iteração do exemplo anterior e utilizar os critérios do teorema para identificar qual função iteração ϕ(x) converge. Verificando ϕ1(x) o exemplo anterior temos: ϕ1(x) = 6 – x 2. Considerando o teorema devemos encontrar um intervalo [a, b], centrado em α, que satisfaça as condições a e b do teorema. a) ϕ1(x) = 6 – x 2 e ϕ'1(x) = –2x, toda função polinomial é contínua no conjunto dos Reais. b) 1 1 1 '(x) 1 2x 1 x 2 2 − ϕ < ⇒ < ⇒ < < . Não há um intervalo [a, b] centrado na raiz, tal que |ϕ'1(x)| < 1 ∀x∈ [a, b], portanto ϕ1(x) não satisfaz a condição b do teorema. Verificando ϕ2(x): No exemplo anterior temos a função de iteração 2(x) 6 xϕ = − . O método de Iteração Linear converge para a raiz α = 2? De acordo com o teorema, devemos encontrar um intervalo [a,b], centrado em α, que satisfaça as condições a e b do teorema. CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 39 2(x) 6 xϕ = −a) e ' 2 1 (x) 2 6 x − ϕ = − são contínuas em S = {x∈R | x < 6}. ' 2 1 (x) 1 1 5,75 x 5,75 2 6 x ϕ < ⇒ < ⇒ − < < − b) . Assim podemos escolher um intervalo [a,b] de modo que este esteja centrado na raiz, tal que |ϕ' 2 (x)|<1 ∀x∈ [a, b], portanto ϕ 2 (x) satisfaz a condição b do teorema e então podemos afirmar que o processo converge. Agora vamos estudar o método de Newton que é uma variação do MIL, no qual a função iteração é uma função em particular. 3.4 Método de Newton O método de Newton é um processo mais elaborado e envolve o cálculo da derivada da função f(x) em questão. Esse método converge para a raiz de maneira muito rápida para valores próximos da raiz, mas possui algumas restrições a serem consideradas. O método parte de um ponto inicial próximo da raiz, mas o intervalo inicial com apenas uma raiz não é indispensável. A partir de um ponto inicial o próximo é determinado pela seguinte equação. n n 1 n n f(x ) x x f '(x )+ = − sendo x n+1 o próximo ponto. Para utilizar o método de Newton realizamos os seguintes passos: Passo 1: determinar um intervalo [a, b] que possua uma única raiz. Passo 2: fazer nn 1 n n f(x ) x x f '(x )+ = − . Passo 3: verificar se qualquer valor dentro do intervalo satisfaz a precisão desejada utilizando um ou mais dos critérios apresentados. Caso contrário volte ao passo 2. Exemplo Calcular a raiz de f(x) = x3 – x2 – 4 que se encontra no intervalo [1; 2,5], com precisão de ε < 0,01. Neste processo vamos primeiro encontrar f'(x), assim temos: f'(x) = 3x2 – 2x. Como os pontos dos extremos do intervalo pertencem ao intervalo, vamos escolher o valor x 0 = 2,5. CALCULO_NUMERICO.indd 39 1/4/aaaa 13:17:09 CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO 40 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Substituindo na expressão: n n 1 n n 0 1 0 0 1 1 f(x ) x x f '(x ) f(x ) x x f '(x ) f(2,5) x 2,5 f '(2,5) x 2,10909 + = − = − = − = Como não vamos trabalhar com o intervalo durante o processo utilizaremos o critério 1 para verificar a aproximação. Assim temos: 1 f(x) f(x ) 0,01 f(2,1090) 0,01 ≤ ε ≤ ≤ Como f(2,1090) > 0,01, devemos voltar ao passo 2 e repetir o processo utilizado a abscissa x2. Assim: 1 2 1 1 2 2 f(x ) x x f '(x ) f(2,10909) x 2,10909 f '(2,10909) x 2,0068 = − = − = Realizando o passo 3, temos que: |f(2,0068)| > 0,001 Portanto, repetimos novamente o passo 2, lembrando que voltamos ao passo 2 sempre que |f(xk)| > 0,01. 2 3 2 2 3 3 f(x ) x x f '(x ) f(2,0068) x 2,0068 f '(2,0068) x 2,000028 = − = − = Fazendo, |f(2,000028)| < 0,001 Portanto a raiz aproximada é: x3 = 2,000028. Neste exemplo, podemos observar que para valores próximos da raiz, o método converge mais rapidamente. Então surge uma pergunta. O método de Newton converge para qualquer intervalo que possui uma única raiz? CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 43 Introdução à interpolação 4 Introdução Os conceitos básicos de interpolação polinomial é aproximar uma função f(x) através de uma função p(x), geralmente polinomial. Os maiores interesses nessa aproximação são: a) Determinar valores intermediários aproximados entre dados exatos. A temperatura de uma determinada região é medida três vezes ao dia, as oito horas, as doze e as dezoito horas. A interpolação nos permite conhecer os valores intermediários aproximados, isto é, a temperatura as dez, por exemplo. b) A função possui uma lei de formação tal que algumas operações como diferenciação e integração são complexas ou impossíveis de serem realizadas. A integração da função 2xf(x) e= . Em outros casos para acelerar os cálculos podemos transformar uma função transcendental em um polinômio de grau n, mais prático e rápido de ser computado o valor de p(x). Ao fi nal deste capítulo você deverá ser capaz de defi nir interpolação polino- mial e encontrar o polinômio interpolador através de sistemas lineares. Os conceitos de funções polinomiais sua classifi cação e familiaridade com suas propriedades. A derivada primeira e segunda de funções também desem- penha um papel importante na compreensão dos conceitos. Neste capítulo utili- zaremos sistemas lineares para encontrar o polinômio interpolador e por isso é importante ter em mente os conceitos relacionados a sistemas lineares. 4.1 Problema da Interpolação A interpolação polinomial consiste em determinar os coefi cientes de um poli- nômio de grau n, tal que os pontos de uma determinada tabela satisfaçam o polinômio. Considere a tabela a seguir com (n + 1) pontos distintos: x x1 x1 x2 ... xn f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(x4) A interpolação polinomial de f(x) consiste em encontrar uma função p(x), tal que: CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO 44 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS 0 0 1 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n p(x ) f(x ) p(x ) f(x ) p(x ) f(x ) p(x ) f(x ) p(x ) f(x ) p(x ) f(x ) − − = = = = = = ⋮ f(x) f(x0) x0 x1 x2 x3 xn–1 xn x f(x1) f(x2) f(x3) f(xn–1) f(xn) p(x) A forma geral de um polinômio é dada por: 0 1 2 n 1 n n 0 1 2 n 1 np (x) a x a x a x ... a x a x − −= + + + + + Vamos aproximar f(x) por um polinômio de grau menor ou igual a n, de modo que f(xk) = pn(xk) k = 0, 1, 2, ..., n. Baseados nessa condição, montamos o sistema a seguir: 2 n 1 n o 1 0 2 0 n 1 0 n 0 0 2 n 1 n o 1 1 2 1 n 1 1 n 1 1 2 n 1 n o 1 2 2 2 n 1 2 n 2 2 2 n 1 n o 1 n 1 2 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2 n 1 n o 1 n 2 n n 2 n n a a x a x ... a x a x f(x ) a a x a x ... a x a x f(x ) a a x a x ... a x a x f(x ) a a x a x ... a x a x f(x ) a a x a x ... a x a x f(x − − − − − − − − − − − − − + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = ⋮ n )              As variáveis deste sistema são: a0, a1, a2, ... an, pois os valores de x e f(x) conhecidos a partir da tabela, assim temos um sistema linear com n + 1 variáveis e n + 1 equações. Escrevendo na forma matricial temos: 2 n 1 n 0 00 0 0 0 2 n 1 n 1 11 1 1 1 2 n 1 n 2 22 2 2 2 2 n 1 n n 1 n 1n 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1 n n nn n n n a f(x )1 x x x x a f(x )1 x x x x a f(x )1 x x x x a f(x )1 x x x x a f(x )1 x x x x − − − − − −− − − − −                     =                              ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ A matriz de coeficientes é denominada como matriz de Vandermonde. A matriz de Vandermonde, para x0, x1, x2, ..., xn distintos, possui det(A) ≠ 0 podemos mostrar esta propriedade mostrando que suas linhas são vetores line- armente independentes, assim o sistema linear possui solução única. Devido a esta propriedade existe um único polinômio, de grau menor ou igual a n, tal que: pn(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, ..., n. CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 45 Exemplo Determine o polinômio que interpole os pontos da tabela a seguir. x –1 0 2 f(x) 4 1 –1 k 0 1 2 Solução Como o polinômio tem grau menor ou igual a 2 temos a forma geral p2(x) = a0 + a1x + a2x 2. A nossa tarefa e determinar os valores de a0, a1 e a2. Satisfazendo as seguintes condições: 2 2 0 0 1 0 2 0 0p (x ) a a x a x f(x )= + + = 2 2 1 0 1 1 2 1 1p (x ) a a x a x f(x )= + + = 2 2 2 0 1 2 2 2 2p (x ) a a x a x f(x )= + + = Considerando o sistema na forma matricial temos: 2 0 0 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 x x a f(x ) 1 x x a f(x ) 1 x x a f(x )           =              Substituindo os dados da tabela encontramos o sistema: 0 1 2 1 1 1 a 4 1 0 0 a 1 1 2 4 a 1 −           =           −      Resolvendo o sistema, chegamos a solução: 0 1 2 1a 7a 3 a 2 3          −=            E o polinômio interpolador é 22 7 2 p (x) 1 x x 3 3 = − + Verificando os pontos fornecidos na tabela: p2(–1) = 4 p2(0) = 1 p2(2) = –1 CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO 48 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Utilizando o polinômio interpolador para determinar ln (2). 2 2 2 2 2 p (x) 0,669596 0,721463716x 0,051872116x p (x) 0,669596 0,721463716 2 0,051872116 2 p (x) 0,5658443666 = − + − = − + ⋅ − ⋅ = ln(2)=0,5658443666 Calculando o erro, temos: R 0,69314718 0,5658443666 E 100 18,4% 0,693114718 − = × = No item c o erro foi menor, pois interpolamos por um polinômio do segundo grau, também denominada interpolação quadrática. Assim vimos que a precisão do polinômio interpolador depende da distância entre os pontos interpolados e da quantidade de pontos interpolados. 4.2 Erro na interpolação O erro na interpolação faz sentido apenas quando conhecemos a função f(x), pois para dados tabelados não temos uma referência para o erro. Neste caso o erro é estudado mais pelo seu valor teórico do que pela prática do mesmo. A seguir enunciamos o teorema que define o erro na interpolação. Teorema Seja p um polinômio de grau n que interpola f em x0, x1, ..., xn, f é uma função definida em um intervalo [a, b] que contém os n+1 pontos. Se f é (n+1) vezes diferenciável em [a, b], então para t ∈ [a, b] o erro é dado por: n 1 0 1 n e(x) f(x) p(x) f ( ) e(x) (x x )(x x )...(x x ) (n 1)! + = − ξ = − − − + x ∈ [a, b] e ξ a abscissa do ponto máximo de fn+1. Exemplo Determine a função do erro cometido na aproximação de f(x) = ex por um polinômio interpolador que passa pelos pontos A(0, 1) e B(1; 2,718) no inter- valo [0, 1]. Solução Para calcular o erro cometido pelo polinômio interpolador, utilizamos a equação n 1 0 1 n f ( ) e(x) (x x )(x x )...(x x ) (n 1)! + ξ = − − − + , portanto não é necessário deter- minar p(x). CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 49 Temos dois pontos a interpolar assim n = 1. Calculando f''(x). f(x) = ex f''(x) = ex n 1 0 1 n '' 0 1 1 2 f ( ) e(x) (x x )(x x )...(x x ) (n 1)! f ( ) e(x) (x x )(x x ) (1 1)! e e(x) (x 0)(x 1) 2 e e(x) (x x) 2 + ξ = − − − + ξ = − − + = − − = − Portanto, o erro cometido no intervalo [0, 1] é determinado através da expressão 2 e e(x) (x x) 2 = − . Saiba mais No sítio <http://www.linux.ime.usp.br/~cef/mac499-04/monografias/elisa/ monografia/> encontramos uma monografia que utiliza interpolação poli- nomial para alterar uma imagem e analisar seu padrão é um exemplo claro de como a matemática se aplica em vários campos de atuação. Visite, leia mais sobre o assunto, aprofunde seus conhecimentos. No próximo capítulo, conheceremos outros métodos para encontrar o poli- nômio interpolador, o método de Newton que utiliza diferenças divididas e o método de Lagrange, embora os métodos utilizem conceitos diferentes todos eles chegam ao mesmo polinômio. Referências BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher. Editora da USP, 1972. RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa- cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. Anotações CALCULO_NUMERICO.indd 49 1/4/aaaa 13:18:35 CAPÍTULO 4 « CÁLCULO NUMÉRICO 50 7º PERÍODO - MATEMÁTICA + UNITINS CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 53 Para ilustrar como utilizar o método de Newton para calcular o polinômio interpolador vamos fazer um exemplo. Exemplo Encontre o polinômio Pn(x) com n ≥ 2 que interpole os pontos tabelados abaixo, utilizando a forma de Newton. x –1 0 2 f(x) 4 1 –1 Solução Como no método do sistema linear, o primeiro passo é estimar o polinômio que queremos encontrar determinando o valor de n que nesse exemplo é 2. De acordo com o método de Newton temos o seguinte polinômio. 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1P (x) f(x ) f[x , x ](x x ) f[x , x , x ](x x )(x x )= + − + − − O próximo passo é calcular as diferenças divididas. Inicialmente vamos colocar os valores da abscissa na tabela. A ordem da diferença dividida é igual a n, colocando o valor de x na primeira coluna e como f[xi] = f(xi), segunda coluna são os valores de y. X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 –1 4 f[x1, x0] 0 1 f[x2, x0] f[x2, x1] 2 –1 Os termos seguintes são calculados de acordo com as fórmulas. 1 0 1 0 1 0 f[x ] f[x ] 1 4 3 f[x , x ] x x 0 ( 1) 1 − − − = = = − − − 2 1 2 1 2 1 f[x ] f[x ] 1 1 2 f[x , x ] 1 x x 2 0 2 − − − − = = = = − − − 2 1 1 0 2 1 0 2 0 f[x , x ] f[x , x ] 1 ( 3) 2 f[x , x , x ] x x 2 ( 1) 3 − − − − = = = − − − Completando a tabela temos: X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 –1 4 –3 0 1 2/3 –1 2 –1 CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO 54 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Substituindo na fórmula de Newton: 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1P (x) f(x ) f[x , x ](x x ) f[x , x , x ](x x )(x x )= + − + − − 2 2 2 2 2 P (x) 4 3(x 1) (x 1)(x) 3 2 2 7 2 P (x) 4 3x 3 x x 1 x x 3 3 3 3 = − + + + = = − − + + = − + Determine uma aproximação para ln(2) por meio da forma de Newton, utili- zando as informações da tabela a seguir: x 1 4 6 5 f(x) 0 1,3862944 1,7917595 1,6094379 Neste caso, o nosso n é igual a 3 e, portanto o polinômio interpolador tem a seguinte forma geral: 1 2 3 3 0 1 2 3P (x) a a x a x a x= + + + Pela fórmula de Newton os coeficientes e o polinômio são 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 P (x) f(x ) f[x , x ](x x ) f[x , x , x ](x x )(x x ) f[x , x , x , x ](x x ) (x x )(x x ) = + − + − − + − − − Montando a tabela de diferenças divididas temos: X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3 x0 0 f[x1, x0] x1 1,3862944 f[x2, x1, x0] f[x2, x1] f[x3, x2, x1, x0] x2 1,7917595 f[x3, x2, x1] f[x3, x2] x3 1,6094379 Calculando as diferenças divididas e colocando na tabela temos o seguinte resultado: X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3 1 0 0,46209813 4 1,3862944 –0,051873116 0,20273255 0,0078655415 6 1,7917595 –0,020410950 0,18231160 5 1,6094379 CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 55 O polinômio obtido com os dados é: 3P (x) 0 0,46109813(x 1) 0,051873116(x 1)(x 4) 0,0078655415(x 1)(x 4)(x 6) = − − − − − + + − − − P3(2) = 0,62876869 Erro = 9,3% Vimos como determinar o polinômio utilizando o método de Newton, vale ressaltar que, independente do método, já mostramos que para um dado conjunto de dados distintos temos um único polinômio. Como nos outros métodos este apresenta vantagens e desvantagens na quantidade de operações e complexidade dos cálculos. 5.2 Erro pelo método de Newton Para dados tabelados não temos como determinar o erro, pois não conhe- cemos a função, mas se tivermos conhecimento desta podemos determinar o erro máximo ocorrido na interpolação dentro do intervalo pré-estabelecido. O erro de interpolação é dado por: en( x ) = f( x ) – pn(x) Como o polinômio interpolador passa necessariamente pelos pontos dados, nestes pontos o erro é zero, mas para valores intermediários temos: en ( x ) = f [x0 , ... , xn, x ] ( x – x0 ) ... ( x – xn ) Por meio do teorema, a seguir, veremos que esse erro é apenas uma maneira diferente de calcular o erro estudado no capítulo anterior, assim sendo considere o seguinte teorema: Teorema Seja f(x) derivadas contínuas até ordem . Sejam , pontos distintos da função. Seja o polinômio que interpola f(x) nestes pontos. Então, o erro de truncamento da interpolação polinomial vale: (n 1) n 0 1 n 0 n f ( (x)) E ( x ) (x x ) (x x ) (x x ) , (x) [x , x ] (n 1)! + ξ = − − − ξ ∈ + ⋯ 5.3 Forma de Interpolação Polinomial de Lagrange Seja uma tabela com n + 1 dados {xi,f(xi)}. Vamos encontrar um polinômio que satisfaça as condições antes mencionadas por meio do método de Lagrange. A equação para o método de Lagrange é n 0 0 1 1 n np (x) L (x) f(x ) L (x) f(x ) L (x) f(x )= ⋅ + ⋅ + + ⋅⋯ CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO 58 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Temos a seguinte forma geral e substituindo os valores da tabela determinamos: 1 0 0 1 x x x 3 x 3 L (x) x x 1 3 2 − − − = ⇒ ⇒ − − − 0 1 1 0 x x x 1 x 1 L (x) x x 3 1 2 − − − = ⇒ ⇒ − − Substituindo em: 0 0 1 1p(x) L (x).f(x ) L (x).f(x )= + , temos: Temos: x 3 x 1 p(x) 3 5 2 2 3x 9 5x 5 p(x) 2 2 2x 4 p(x) 2 p(x) x 2 − − = ⋅ + ⋅ − − + − = + + = = + Para melhor compreender o processo vamos fazer outro exemplo interpo- lando os pontos por uma parábola. Exemplo Interpolar pelo método de Lagrange os dados da tabela a seguir. XI f(xi) –1 2 0 5 1 7 Solução O polinômio pelo método de Lagrange é dado por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 i i i 0 2 0 0 1 1 2 2 p x L f x p x L f x L f x L f x = = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∑ Considerando a função ki 0 se,k i 1 se,k i  ≠δ =  = , os polinômios de Lagrange assumem os seguintes valores nos pontos x0, x1, x2. Assim: L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0 L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1 CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 59 Substituindo na fórmula ( ) ( ) ( ) 2 j j 0 j i i 2 i j j 0 j i x x L x x x = ≠ = ≠ − = − ∏ ∏ , encontramos os polinômios de Lagrange L 0 , L 1 e L 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 0 1 0 2 x x x x x 0 x 1 x x L 2x x x x 1 0 1 1 − ⋅ − − ⋅ − − = = = − ⋅ − − − ⋅ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x ( 1) x 1 x 1 x 1 L x 1 10 ( 1) 0 1 − − ⋅ − + ⋅ − = = = − + −− − ⋅ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 2 1 x x x x x ( 1) x 0 x x L 2x x x x 1 ( 1) 1 0 − ⋅ − − − ⋅ − + = = = − ⋅ − − − ⋅ − Assim o polinômio procurado é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 2 p (x) L f x L f x L f x x x x x p (x) f x x 1 f x f x 2 2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + = ⋅ + − + ⋅ + ⋅ Para problemas que envolvem mais pontos seguimos o mesmo raciocínio para encontrar o polinômio interpolador. Saiba mais No sítio <http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/lsousa/Teoria_actualMN/ Cap%C3%ADtulo4-interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf> você terá acesso a um material que aborda os conceitos aqui estudados de uma maneira mais abrangente, consulte este material e aprofunde seus conhecimentos sobre o assunto. Todos os métodos como dito anteriormente chegam aos mesmo polinômio interpolador pois este é único, entretanto eles se diferem no conceito e principal- mente na quantidade de operações necessárias para chegar ao polinômio. Utilizando sistema lineares temos um total de 3 op 2 n N 3 ⋅ = , enquanto que no método de Lagrange ou o de Newton temos um total de 2 op 3 n N 2 ⋅ = , ou seja, uma quantidade inferior de operações. CALCULO_NUMERICO.indd 59 1/4/aaaa 13:21:12 CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO 60 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS No próximo capítulo, estudaremos como calcular integral de valores tabelados e funções que apresentem a integral na forma analítica é complexa ou impossível. Como nos casos que estudamos até agora, este cálculo não é preciso e, podemos determiná-las escolhendo vários pontos ou determinadas regras para obter o resultado que melhor atende às necessidades de um problema específico. Referências BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher. Editora da USP, 1972. RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa- cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. Anotações CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 63 Realizada as devidas alterações podemos integrar a última expressão em função de z. 1 0 0 0 12 0 0 0 0 0 A [y z y ] h dz z A h zy y 2 y A h y 2 ≈ + ∆ ⋅ ⋅   ≈ + ∆    ∆  ≈ +    ∫ Pelas diferenças divididas, temos que: 0 1 0y f(x ) f(x )∆ = − E fazendo a substituição, finalmente temos a regra dos trapézios: b 1 0 0 a 0 1 f(x ) f(x ) A f(x)dx h f(x ) 2 h A f(x ) f(x ) 2  −  = ≈ +    ≈  +   ∫ A representação da expressão é dada pelo gráfico da figura a seguir Em geometria vimos que a área do trapézio é ( )trap h B b A 2 + = , aqui nossa base mede f(x0) e f(x1) e a altura é h, confirmando a equação que encontramos analiticamente. 0 1 h A f(x ) f(x ) 2  ≈ +  CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO 64 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS 6.1.2 Erro de truncamento na regra dos trapézios Na integração numérica assim como no cálculo das raízes de uma função ou na interpolação obtemos resultados aproximados, ou seja, cometemos um erro na regra do trapézio. Vamos definir o erro cometido seguindo os mesmos passos que seguimos para obter a regra do trapézio, neste caso integrando o erro do polinômio interpolador. E z z h f c hdz E h f c z z dz E h f T a b T a b T = − = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ∫ ∫ ( ) ! "( ) "( ) ! ( ) 1 2 1 2 2 3 2 3 "( ) ! "( ) ! c z z E h f c E h T T ⋅ ⋅ −       = ⋅ ⋅ ⋅ −      = − 1 2 3 2 1 2 1 6 12 3 2 0 1 3 3 f c c x x"( ) [ , ]∈ 0 1 Como o sinal do erro é negativo se f'' > 0, cometemos um erro por excesso, ou seja, a área encontrada é maior que a exata, mas se f'' < 0, cometemos um erro por falta, ou seja, a área encontrada é menor que a exata. Exemplo Calcule a integral definida dx x3 3 6, ∫ inicialmente pelo método analítico e em seguida pela regra dos trapézios e o erro cometido. Solução Vamos começar resolvendo pelo método analítico. 3,6 3.6 3 3 dx ln x ln3,6 ln3 0,18232 x = = − =∫ Agora vamos resolver utilizando a regra dos trapézios, definindo o intervalo e calculando h temos: x 0 = 3, x 1 = 3,6, h = x 1 – x 0 = 0,6 Substituindo na fórmula dos trapézios: A h f x f x A A ≈ +  ≈ +       ≈ 2 0 6 2 1 3 1 3 6 0 18333 0 1( ) ( ) , , , CALCULO_NUMERICO.indd 64 1/5/aaaa 08:32:34 CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 65 Para determinar vamos primeiro encontrar a derivada segunda da função 1 f(x) x = . 2 3 1 f '(x) x 2 f ''(x) x =− = A função f''(c) assume um valor máximo em módulo para c [3; 3;6]∈ se c = 3, assim temos: 3 T 0,6 2 E 0,00133 12 27 ≤ ⋅ = Como o valor da integral é conhecido, pode-se calcular o erro diretamente: Erro = 0,18333 – 1,18233 = 0,001, valor muito próximo do calculado acima. Exemplo Determine a integral da função utilizando o método analítico e a regra dos trapézios 2 3 4 5f(x) 0,2 25x 200x 675x 900x 400x= + − + − + , no intervalo [0; 0,8], calcule o erro cometido pela diferença entre o método exato e o aproximado. Solução Determinando a integral de forma analítica temos a expressão a seguir: f x dx x x x x x dx f x d ( ) , ( ) , , = + − + − +( ) =∫ ∫ 0 0 8 2 3 4 5 0 0 8 0 2 25 200 675 900 400 x x x x x x x f 0 0 8 2 3 4 5 6 0 0 8 0 2 25 2 200 3 675 4 900 5 400 6 , , , ( ∫ = + − + − +       x dx) , , 0 0 8 1 64053334∫ = Agora vamos calcular através da regra do trapézio: 0,8 0 0,8 0 0,8 0,8 f(x)dx [f(0) f(0,8)] [0,2 0,232] 2 2 f(x)dx 0,1728 ≈ + = + = ∫ ∫ Calculando o erro cometido entre os métodos, temos: T T E 1,64053334 0,1828 E 1,46773334 = − = CALCULO_NUMERICO.indd 65 1/4/aaaa 13:24:07 CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO 68 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS Substituímos os dados da tabela na expressão: 3,6 3,0 0 1 2 3 4 5 6 1 A dx x h A f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) f(x ) 2 h A f(3) 2f(3,1) 2f(3,2) 2f(3,3) 2f(3,4) 2f(3,6) f(3,6) 2 h A f(3) 2f(3,1) 2f(3,2) 2f(3,3) 2f(3,4) 2f(3,6) f(3,6) 2 = ≈  + + + + + +   ≈  + + + + + +   ≈  + + + + + +   ∫ Calculando o erro cometido nessa integração numérica, podemos observar que ele é bem menor que o erro cometido pela regra do trapézio simples. Calculando as derivadas da função f(x) encontramos 1f(x) x = , ' 2 1 f (x) x − = e '' 3 2 f (x) x = . Para x [3, 3,6]∈ o valor máximo em módulo de f''(x) no inter- valo é c = 3, uma vez que a sua derivada não muda de sinal neste intervalo '' 3 2 2 f (3) 273 = = , portanto: 3 5 T 2 (3,6 3) 2 E 3,704 10 2712 6 −−≤ = × ⋅ Nesse último exemplo, podemos notar que o erro é muito menor que no mesmo exemplo utilizando a regra do trapézio simples, isso porque o erro diminui de forma quadrática. Saiba mais No sítio <http://www.wiley.com/college/mat/anton243310/mod2/ap- plet1/applet1.html> temos a representação gráfica e a possibilidade de comparar alguns métodos de integração. O programa funciona direta mente do navegador e é autoexplicativo. Neste capítulo, vimos que a integração numérica é uma ferramenta pode- rosa mesmo encontrando resultados aproximados pois, permite calcular integrais de funções complexas ou mesmo tabeladas com cálculos simples, tão próximo quanto se deseja apenas aumentando a quantidade de pontos considerados no intervalo [a, b]. CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 69 No próximo capítulo, estudaremos sobre o método para o cálculo da inte- gral de forma numérica que utiliza três pontos e assim aproxima-se da função por um polinômio do segundo grau, essa regra é denominada primeira regra de Simpson. Referências BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher. Editora da USP, 1972. RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa- cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997. Anotações CAPÍTULO 6 + CÁLCULO NUMÉRICO 70 7º PERÍODO + MATEMÁTICA +» UNITINS CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 73 Finalmente, podemos resolver a integral e obter a denominada primeira regra de Simpson para integração numérica. 2 2 0 0 0 0 2 2 3 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 z(z 1) A y z y y h dz 2 z z z A h zy y y 2 6 4 1 A h 2y 2 y y 3 −  ≈ + ∆ + ∆ ⋅ ⋅       ≈ + ∆ + − ∆         ≈ + ∆ + ∆    ∫ Os operadores Diferenças Finitas são constantes e por simplicidade na notação vamos substituí-los neste momento. b a 0 1 0 2 1 0 0 1 2 A f(x)dx 1 2 1 A h 2y 2y 2y y y y 3 3 3 h A y 4y y 3 =   ≈ + − + − +    ≈ + +   ∫ O Erro cometido na integração pela Primeira Regra de Simpson é dado por: 5 (IV) T 0 1 h E f (c) c [x , x ] 90 − = ∈ O fato do erro da primeira Regra de Simpson depender da derivada de quarta ordem da função f(x) significa que esta se aproxima de forma exata de polinômios de terceiro grau. Exemplo Utilizando a mesma função dos exemplos, mas calculando através da primeira regra de Simpson, vamos calcular 3,6 3 dx A x = ∫ . Solução Para a primeira regra de Simpson devemos utilizar três pontos igualmente espaçados no intervalo [3, 3, 6], sistematizando os dados em uma tabela temos: i Xi i i 1f(x ) x= 0 3 0,333333 1 3,3 0,303030 2 3,6 0,277778 CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO 74 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS 3,6 3,0 0 1 2 1 A dx x h A f(x ) 4f(x ) f(x ) 3 0,3 A 0,333333 4 0,303030 0,277778 3 = ≈  + +   ≈ + ⋅ +   ∫ A 0,182323≈ Determinando o erro cometido, como nos outros casos vamos calcular primeiro a derivada de quarta ordem da função f(x). 1 f(x) x = , ' 2 1 f (x) x − = , '' 3 2 f (x) x = , ''' 4 6 f (x) x − = e (IV) 5 24 f (x) x = . Para c ∈ [3, 3, 6] o valor máximo do módulo de f(IV) (x), portanto: 5 (IV) t h E f (c) c [3;3,6] 90 ≤ ⋅ ∈ 5 5 t 0,3 24 E 0,2666 10 90 243 − ≤ ⋅ = × Veja que comparando com a regra dos trapézios que utilizamos seis pontos mesmo assim tivemos um erro maior que a primeira regra de Simpson na qual utilizamos apenas três pontos. 7.1.1 Primeira Regra de Simpson – Fórmula Composta Como na regra do trapézio podemos dividir o intervalo em subintervalos menores para melhorar a aproximação. Nesta regra devemos ter o cuidado de termos a quantidade de subintervalos sempre par, ou seja, o n deve ser par, pois a regra de Simpson utiliza três pontos de cada vez no processo. Assim como nos outros métodos estudados até agora os comprimentos dos subintervalos devem ser iguais. Repetindo a expressão para cada grupo de três pontos, temos: b 0 1 2 2 3 4 a n 2 n 1 n h h A f(x)dx f(x ) 4f(x ) f(x ) f(x ) 4f(x ) f(x ) ... 3 3 h f(x ) 4f(x ) f(x ) 3 − − = ≈  + +  +  + +  +    +  + +   ∫ Colocando h 2 em evidência chegamos à expressão: b a 0 1 2 3 4 n 2 n 1 n A f(x)dx h A [f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x ) .... 2f(x ) 4f(x ) f(x )] 3 − − = ≈ + + + + + + + + ∫ CALCULO_NUMERICO.indd 74 1/4/aaaa 13:45:19 CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 75 O erro cometido na integração numérica pela primeira regra de Simpson composta é dada por 5 (IV) T 4 (b a) E f (c) c [a,b] 180n − − = ∈ onde n é o número de subintervalos. Sendo o ponto c a abscissa em x que torna a f(IV) máxima em módulo. Exemplo Determinar pela primeira regra de Simpson a integral da função tabelada. xi 0 2 4 6 8 10 12 f(xi) 0 8 9 7 5 2 0 Solução Para resolver uma integral numérica pela primeira regra de Simpson devemos verificar em primeiro lugar se n é par. Em nosso exemplo, n é igual a seis e por isso podemos aplicar a regra. 0 1 2 3 4 5 6 h I [f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) f(x )] 3 2 I 0 4 8 2 9 4 7 2 5 4 2 0 3 2 I 0 16 18 28 10 8 0 3 2 I 80 3 160 I 3 I 53.333 = + + + + + + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +   = + + + + + +   =    = = O resultado da integral é 53,333. 7.2 Segunda Regra de Simpson Nesta regra, temos uma função f(x) que será aproximada por um polinômio de grau 3. Assim são necessários quatro pontos para a interpolação, ou seja, { }0 1 2 3x , x , x , x , sendo 0x a= e 3x b= . Deste modo temos a seguinte expressão: 3 0 3 0 x x x 3 x A f(x)dx A p (x)dx = ≈ ∫ ∫