Geometria Analítica

Geometria Analítica

Geometria analítica

Distância entre dois pontos

A simples medida da distância entre dois pontos, que envolve a utilização de réguas e escalas, na geometria analítica, se resume a uma fórmula facilmente dedutível:

O triangulo ABC é um triângulo retângulo, portanto vale o teorema Pitágoras, em que a distância AB é a hipotenusa, logo:

Geometria analítica - 1

Equação geral da reta

Sabemos que a distância (d) entre dois pontos dados - A (xA; yA) e B (xB; yB) - num plano cartesiano pode ser calculada pela fórmula:

Então, para conhecer as coordenadas de um ponto P (x; y) equidistante de dois pontos A (-5) e B (4; -2), devemos considerar dAP = dPB:

Elevando ao quadrado os dois membros da equação: (-3 - x)2 + (5 - y)2 = (x - 4)2 + (y + 2)2 Desenvolvendo os quadrados: 9 + 6x + x2 + 25 - 10y + y2 = x2 - 8x + 16 + y2 + 4y + 4 Reduzindo os termos semelhantes:14x - 14 y + 14 = 0

Simplificando: x - y + 1 = 0 Vejamos que significado tem essa equação, atribuindo valores arbitrários a x e calculando y:

x

y

-4

- 3

-3

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

Marcados no plano cartesiano, os pares x e y encontrados representam um reta.

Isso significa que não existe apenas um ponto P equidistante dos pontos A e B, mas infinitos, compondo a mediatriz do segmento , que é uma reta. Assim, que a reta é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados, e sua equação geral pode ser expressa por: ax + by + c = 0 No caso particular da reta que calculamos aqui, x  y + 1 = 0, seus coeficientes são:

Geometria analítica - 2

Equação reduzida da reta - Coeficiente linear

Partindo da equação geral da reta: ax + by + c = 0 Tomemos um caso particular: a reta de equação x - y + 1 = 0. Isolando a variável y, temos uma equação reduzida:y = x + 1 Vejamos o que acontece com essa reta quando varia seu termo independente.

y = x + 1 (____)

y = x ( ___ )

y = x - 1 (......)

x

y

x

y

x

y

-9

-8

--9

-9

-9

-10

-8

-7

-8

-8

-8

-9

-7

-6

-7

-7

-7

-8

-6

-5

-6

-6

-6

-7

-5

-4

-5

-5

-5

-6

-4

-3

-4

-4

-4

-5

-3

-2

-3

-3

-3

-4

-2

-1

-2

-2

-2

-3

-1

0

-1

-1

-1

-2

0

1

0

0

0

-1

1

2

1

1

1

0

2

3

2

2

2

1

3

4

3

3

3

2

4

5

4

4

4

3

5

6

5

5

5

4

6

7

6

6

6

5

7

8

7

7

7

6

8

9

8

8

8

7

9

10

9

9

9

8

E os gráficos correspondentes a cada curva:

A equação y = x representa a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), pois seus pontos têm coordenadas iguais.

A equação y = x + 1 é muito parecida com a anterior, mas o acréscimo de uma unidade positiva ao segundo membro fez com que a reta se deslocasse para cima (no eixo vertical y). Analogamente, o acréscimo de uma unidade negativa ao segundo membro fez com que a reta se deslocasse para baixo.

Nesses casos, as retas conservaram sua inclinação - as três são paralelas -, mas sofreram deslocamentos, de acordo com o sinal do termo independente, que é como se chama o acréscimo feito no segundo membro.

Por causa desse deslocamento, o termo independente da equação de uma reta chama-se coeficiente linear, pois altera apenas sua posição no plano cartesiano, sem interferir em sua inclinação.

Isso vale para qualquer número real não nulo: se ele for positivo, a reta "sobe" no eixo y; se for negativo, ela "desce".

Portanto, se a equação de uma reta tiver a forma ax + by = 0, ou seja, se seu termo independente for nulo, ela sempre passará pelo ponto O (0; 0), a origem

Geometria analítica - 3

Equação reduzida da reta - Coeficiente angular

y = x Vejamos o que acontece com essa reta quando varia o coeficiente do termo em x.

y = x + 1 (____)

y = x (____)

x

y

x

y

x

y

-6

-12

--6

-6

-6

-3

-5

-10

-5

-6

-5

-5/2

-4

-8

-4

-4

-4

-2

-3

-6

-3

-3

-3

-3/2

-2

-4

-2

-3

-2

-1

-1

-2

-1

-1

-1

-1/2

0

0

0

0

-0

-1

1

2

1

1

1

-1/2

2

4

2

2

2

-1

3

6

3

3

3

3/2

4

8

4

4

4

2

5

10

5

5

5

5/2

6

12

6

6

6

3

E os gráficos correspondentes a cada curva:

A equação y = x representa a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), pois seus pontos têm coordenadas iguais. Na equação y = 2x, a multiplicação do termo em x por um coeficiente maior do que 1 fez a reta "girar" no sentido horário; e, na equação , a multiplicação do termo em x por um número positivo menor do que 1, fez com que ela "girasse" no sentido anti-horário. Em qualquer caso, a reta sofre uma inclinação. Por isso, o coeficiente de x na equação reduzida de uma reta se chama coeficiente angular, pois altera seu ângulo de inclinação (considerado, no sentido anti-horário, a partir do eixo horizontal [Ox]). E o que acontecerá com a inclinação de uma reta se seu coeficiente angular for negativo? Para saber, trace num mesmo plano cartesiano as retas representadas pelas duas equações a seguir:

y = x

y = -x

x

y

x

y

-5

-5

-5

5

-4

-4

-4

4

-3

-3

-3

3

-2

-2

-2

2

-1

-1

-1

1

0

0

0

0

1

1

1

-1

2

2

2

-2

3

3

3

-3

4

4

4

-4

5

5

5

-5

A reta de equação y = x é a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), e a reta de equação y = - x é a bissetriz dos quadrantes pares (b24). A primeira é crescente; e a segunda, decrescente. E isso acontece com todas as retas que não são verticais ou horizontais: se seu coeficiente angular é positivo, elas são crescentes; se é negativo, são decrescentes.

Geometria analítica - cônicas

Parábola e hipérbole

Caso você não saiba, parábola, hipérbole e elipse são as chamadas curvas cônicas. Elas recebem esse nome porque resultam de cortes em um cone.Ao cortar um cone na horizontal ou no sentido oblíquo obtemos um círculo ou uma elipse. Veja:

Figura 1 - Cortes de um cone que resultam em círculo e elipse.

Figura 2 - Cortes de um cone que resultam em parábola e hipérbole.

Figura 3 - Parábola: y - x2 = 0

Figura 4 - Hipérbole: y2 - x2 = 1

Veja no texto "Elipse" como as equações reduzidas dessas duas curvas se equiparam às equações da elipse:

Nota: os centros da hipérbole e da elipse possuem coordenadas (0,0), sendo que a parábola tem o seu vértice nesse ponto, enquanto a, b, c, d e k são constantes correspondentes a cada curva.

Geometria analítica - cônicas 2

Estudo de posição relativa de um ponto e uma cônica

No artigo Geometria analítica - cônicas analisamos as fórmulas gerais das cônicas:

Nota: os centros da hipérbole e da elipse possuem coordenadas (0,0), sendo que a parábola tem o seu vértice nesse ponto, enquanto a, b, c, d e k são constantes correspondentes a cada curva.

Posição relativa entre um ponto e uma parábola

Dado um ponto de coordenadas (xp, yp) de um ponto P, a posição desse ponto em relação às cônicas será:a. Se o ponto é externo

b. Para o ponto P interno

Posição relativa entre um ponto e uma elipse:

a. Se o ponto é externo

b. Para o ponto P interno

Posição relativa entre um ponto e uma hipérbole:

a. Se o ponto é externo

b. Para o ponto P interno

Estudando poliedros convexos

Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:CuboVértices: 8Arestas: 12Faces: 6

Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!OctaedroVértices: 6Arestas: 12Faces: 8

Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!Pirâmide quadrangularVértices: 5Arestas: 8Faces: 5

Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?O que aconteceu em todos os casos?O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:

Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler

1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.Resolução:De acordo com o enunciado, temos: A = V + 6Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:V + F = 2 + AV + F = 2 + V + 6 Eliminando V:F = 8O número de faces é igual a 8.2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?Resolução:Do enunciado, sabemos queNúmero de faces: 3 + 2 + 4 = 9Número de arestas: 3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 122 faces com 3 lados: 2 . 3 = 64 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20Somando: 12 + 6 + 20 = 38Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo: A = 38 ÷ 2 = 19.Usando, agora, a Relação de Euler, temos:V + F = 2 + AV + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9 = 12.

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A

B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12

3

= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3

6

= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A

B

= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido

Situação1

Situação2

Situação3

Situação4

Suco puro

 3

 6

 8

 30

Água

 8

16

32

 80

Suco pronto

11

22

40

110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

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