Baixe Apostila preparatória para Vestibular e outras Provas em PDF para Atualidades, somente na Docsity! Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1 AULA 01 ARITMÉTICA BÁSICA 1. Múltiplo de um número Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações: • O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo. • Os números da forma 2k, k ∈ N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares. 2. Divisor de um número Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c. Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações: • O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio. 2.1. Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim: a) Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos. Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo 90 possui 12 divisores 3. Critérios de divisibilidade 3.1. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128. 3.2. DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. 3.3. DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. 3.4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210. 3.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. 3.7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000. 3.8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289. 3.9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. 4. Números Primos Um número p, p ≠ 0 e p ≠ 1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... Observação: Um número é denominado composto se não for primo. 5. Mínimo Múltiplo Comum Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2: 6 – 8 3 – 4 3 – 2 3 – 1 1 – 1 2 2 2 3 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 6. Máximo Divisor Comum Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 2 Exercícios de Sala  01) ( UFSC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é: 02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 e) 230 03) O número de divisores naturais de 72 é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Tarefa Mínima  01) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine: a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C 02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 720 c) 120 d) 340 e) 230 03) Determine o número de divisores naturais dos números a) 80 b) 120 04) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 05) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m b) 18 m c) 24 m d) 30 m e) 36 m Tarefa Complementar 06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas 07) Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá: a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 4 cm 08) Sejam os números A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52 Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente: a) 180 e 60 b) 180 e 600 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60 e) n.d.a. 09) ( Santa Casa-SP ) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 10) ( PUC-SP ) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 b) 401 c) 362 d) 201 c) n.d.a. 11) ( PUC-SP ) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter? 12) ( UEL-PR ) Seja p um número primo maior que 2. É verdade que o número p2 – 1 é divisível por: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13) Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale: 14) (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito é: a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos com as três vigas é: a) 18 b) 21 c) 210 d) 180 e) 20 Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5 Exemplo 1: | x | = - 3 S = ∅ Exemplo 2: |x + 2| = -10 S = ∅ 2.4. Inequação Modular Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | ≤ k, | x | > k, | x | ≥ k denominam-se inequações modulares. Tipos de inequações modulares: • Exemplos: | x | < 3 → – 3 < x < 3 | x | < 10 → – 10 < x < 10 • Exemplos: | x | > 3 → x < – 3 ou x > 3 | x | > 10 → x < –10 ou x > 10 Exercícios de Sala  01) Calcule o valor das expressões abaixo: a)       +      − 3 1 5 2 8 1 4 3 b)       +      − 3 41: 5 32 02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 – 4 = 0 III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais 03) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7 c) |x2 –5x | = 6 d) |x + 2| = –3 e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0 Tarefa Mínima  01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: a) {x ∈ N| x é divisor de 12} b) {x ∈ N| x é múltiplo de 3} c) {x ∈ N| 2 < x ≤ 7} d) {x ∈ Z| - 1 ≤ x < 3} e) {x| x = 2k, k ∈ N} f) {x| x = 2k + 1, k ∈ N} 02) As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... são respectivamente: 23 23 20 43 23 43a) e b) e c) e100 99 99 99 99 198 1 1 2 1d) e e) e3 10 10 5 03) ( ACAFE ) O valor da expressão , 1 2. − − c cba quando a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a: 04) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 c) |x – 2| = -3 d) |x |2 + 3 |x| - 4 = 0 é: 05) A solução da inequação 5)12( 2 ≤−x a) {x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6} c) {x ∈ ℜ| x ≤ 3} d) {x ∈ ℜ| x ≤ 7} e) {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2} Tarefa Complementar  06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,666..., b = 1,333... e c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a: 07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x.y é racional b) y.y é irracional c) x + y racional d) x - y + 2 é irracional e) x + 2y é irracional 08) ( FUVEST ) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy? a) à esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1 • | x | = k, com k = 0, então: x = 0 • | x | = k, com k < 0, então: não há solução | x | < k, com k > 0, então: − k < x < k | x | > k, com k > 0, então: x <− k ou x > k Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6 09) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39. 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar, então a é par. 04. O número 257 +− é real. 08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o número 247 é um número primo. 10) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira: 987 654 321 181716 151413 121110 ...... ...... ....19 O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente: a) 2 e 2 b) 3 e 3 c) 2 e 3 d) 3 e 2 e) 3 e 1 11) A expressão|2x – 1| para x < 2 1 é equivalente a: a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1 d) 1 + 2x e) – 1 12) Assinale a alternativa correta: a) Se x é um número real, então 2x ≠ |x | b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real. 13) ( UFGO ) Os zeros da função f(x) = 2 1 5 3 x − − são: a) −7 e −8 b) 7 e −8 c) 7 e 8 d) −7 e 8 e) n.d.a. 14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação 1)1( 2 ≤+ x ? a) {x ∈ R | - 5 ≤ x ≤ - 1} b) {x ∈ R | - 4 ≤ x ≤ 0} c) {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 0} d) {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 0} e) Todos os conjuntos anteriores 15) ( ITA-SP ) Os valores de x ∈ R para os quais a função real dada por f(x) = |6|12||5 −−− x está definida, formam o conjunto: a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5,0] ∪ [1, ∞) d) (-∞, 0] ∪ [1, 6] e) [-5, 0] ∪ [1, 6] AULA 03 EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES 1. Definição Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero. 2. Resolução Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9. Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes. PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b então para ∀m → a + m = b + m Se: a = b então para ∀m ≠ 0 → a . m = b . m 4. Inequações do 1º grau Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas. Uma inequação é dita do 1º grau se pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0 Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b então para ∀m → a + m > b + m Se: a > b então para ∀m > 0 → a . m > b . m Se: a > b então para ∀m < 0 → a . m < b . m Exercícios de Sala  01) Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0, com a ≠ 0 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) 10 4 32 3 1 = − + + xx d) 502x = 500x e) 0.x = 0 f) 0.x = 5 g) 8 3x 2 1x ≥ − Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7 02) Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20 03) Resolva em R, o seguinte sistema:    =+ =− 232 13 yx yx Tarefa Mínima 01) Resolver em R as equações: a) 6x – 6 = 2(2x + 1) b) 2(x + 1) = 5x + 3 c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 d) 2(x – 2) = 2x – 4 e) 3(x – 2) = 3x f) 4 1 32 1 =+ − xx 02) A solução da equação x 2 1x 3 x = − + é: a) x = – 2 b) x = – 3 c) x = 3 d) x = 2 e) x = 1 03) ( FGV–SP ) A raiz da equação 1 4 12x 3 1x = + − − é: a) um número maior que 5 b) um número menor que – 11 c) um número natural d) um número irracional e) um número real 04) Determine a solução de cada sistema abaixo: a)    =+ =− 3 32 yx yx b)    =− =+ 1 5 yx yx c)    =+ =+ 122 13 yx yx 05) Resolva em R as inequações: a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b) 2 3x 4 10x ≤ + c) 4 1 2 x 3 1 <− Tarefa Complementar 06) O valor de x + y em    =− =+ 14y7x 213y2x é: 07) Obtenha o maior de três números inteiros e consecutivos, cuja soma é o dobro do menor. 08) ( UFSC ) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x + 3 ≥ 2 e 2x - 1 ≤ 17; é: 09) As tarifas cobradas por duas agências de locadora de automóveis, para veículos idênticos, são: • agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado. • Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetro rodado. Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO. 10) ( UFSC ) A soma dos dígitos do número inteiro m tal que 5 m + 24 > 5500 e 5 8 − m + 700 > 42 – m, é: 11) ( UFSC ) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é: 12) ( UFSC ) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será: 13) ( UFSC ) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21? 14) ( UNICAMP ) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 15) ( UEL-PR ) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem? AULA 04 EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 1. Resolução 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 = − c x2 = a c − Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 10 Exemplo 3: Dada a função f(x − 1) = x2. Determine f(5). Resolução: f(x −1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 − 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5). Exercícios de Sala  01) Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio 02) Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada função: a) y = 2x + 1 b) y = 72 7 −x c) y = 23 −x d) y = 22 3 − +− x x 04) ( ) 2x -1, se x 0 5, se 0 x 5 2x 5x 6, se x 5 Seja f x  =    ≤ < ≤ − + > . Calcule o valor de: )6( )()3( f ff π+− Tarefa Mïnima  01) ( UNAERP-SP ) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R → R ? a) b) c) d) e) 02) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 2} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A função é crescente em todo seu domínio 03) Determine o domínio das seguintes funções a) y = 93 2 −x b) y = 3−x c) y = 2 6 − +− x x d) y = 3 5−x 04) ( UFSC ) Considere as funções f: R → R e g: R → R dadas por f(x) = x2 − x + 2 e g(x) = − 6x + 5 3 . Calcule f( 2 1 ) + 4 5 g(−1). 05) ( UFPE-PE ) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 11 Tarefa Complementar  06) ( UFC-CE ) O domínio da função real y = 7 2 − − x x é: a) {x ∈ R| x > 7} b) {x ∈ R| x ≤ 2} c) {x ∈ R| 2 ≤ x < 7} d) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x > 7} 07) Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0 08) ( USF-SP ) O número S do sapato de uma pessoa está relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu pé pela fórmula S = 4 285 +p . Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm d) 29,5 cm e) 27,2 cm 09) ( FUVEST ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x e) f(x) = 1,03x 10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a: a) 3.f(x) b) 3 + f(x) c) f(x3) d) [f(x)]3 e) f(3) + f(x) 11) ( FGV-SP ) Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 1ª . Parcela fixa de R$ 10,00; 2ª . Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu: a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh c) menos de 65 kWh d) entre 65 e 80 kWh e) entre 80 e 110 kWh 12) ( PUC-Campinas ) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros percorridos foi: 13) ( UFSC ) Dadas as funções f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x − 1 e h(x) = 7 − x, o valor em módulo da expressão: ( )14 4 2 1 h g f ( )    −     − 14) ( UFSC ) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) − 15. Determine o valor de f(0). 15) ( UDESC ) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condições, f(3x + 2) é igual a: AULA 06 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 1. Função Polinomial do 1º Grau Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b. 1.1. Forma: f(x) = ax + b com a ≠ 0. a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. 1.2. Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo. Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico. • Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer Interceptos: x = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b). • Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas ( − b a ,0). O ponto que o gráfico corta o eixo x é chamado raiz ou zero da função. RESUMO GRÁFICO f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 função crescente função decrescente Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1. Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 12 gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1). Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. – 3x + 1 = 0 x = 3 1 Logo o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas ( 3 1 , 0) D = ℜ C.D. = ℜ Im = ℜ 2. Função Constante Uma função f de R em R é constante se, a cada x ∈ R, associa sempre o mesmo elemento k ∈ R. D(f) = R e Im (f) = k 2.1 Forma: f(x) = k 2.2. Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2 D = ℜ C.D. = ℜ Im = {2} Exercícios de Sala  01) Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área. 02) ( PUC-SP ) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter: ) ) ) ) )= < > < − > −2 2 2 2 2a k b k c k d k e k3 3 3 3 3 03) ( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8). Tarefa Mínima  01) Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1 02) ( FGV-SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em módulo: 03) ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é: 04) ( UFMA ) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, −3), então f(x) é: a) f(x) = x − 3 b) f(x) = x − 4 c) f(x) = 2x − 5 d) f(x) = −2x − 1 e) f(x) = 3x − 6 05) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de π π − − t ftf )()( com t ≠ π Tarefa Complementar  06) ( UCS-RS ) Para que – 3 seja raiz da função f(x) = 2x + k, deve-se ter a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2 07) ( UFPA ) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a − 2b é igual a: a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a. Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 15 03) ( UFSC ) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é: 04) ( ACAFE-SC ) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-∞, 4] d) [-3, 1] e) [-5, 3] 05) ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-se: a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas. Tarefa Complementar  06) ( UFSC ) Seja f: R → R, definida por: f(x) = - x 2 , determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: 01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem. 02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais. 08. f(x) é decrescente em [0, +∞ ) 16. Im(f) = { y ∈ R | y ≤ 0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x. 07) ( ESAL-MG ) A parabola abaixo é o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta: a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 0 08) Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto? 09) ( UFPA ) As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são: a) (-1, 4) b) (1, 2) c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0) 10) ( UFPA ) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x2 −mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é: a) { ± 7} b) { 0 } c) { ± 2 } d) { ± 2 7 } 11) ( Mack-SP ) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(−1, −4). O valor de k + m em módulo é: 12) ( UFSC ) Dada a função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c. 13) A equação do eixo de simetria da parábola de equação y = 2x2 - 10 + 7, é: a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7 c) x = 2,5 d) y = 3,5 e) x = 1,8 14) O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é: a) – 3 b) – 4 c) – 2 d) 2 e) – 1 15) ( UFSC ) Marque no cartão a única proposição CORRETA. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é: 01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x – 2 AULA 08 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE 1. Inequações do 2o Grau Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:        <++ >++ ≤++ ≥++ 0 0 0 0 2 2 2 2 cbxax cbxax cbxax cbxax com a ≠ 0 Para resolver a inequação do 2º grau associa-se a expressão a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. Posteriormente, seleciona-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-solução. Exemplos: Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 16 a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 ≥ 0 S = {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 3} ou S = ]-∞, -1] ∪ [3, +∞[ b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 ≤ 0 S = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5} S = [2, 5] c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0 S = { x ∈ R | 1 < x < 4} S = [1, 4] 2. Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma: a) f(x).g(x) ≥ 0 b) f(x).g(x) > 0 c) f(x).g(x) ≤ 0 d) f(x).g(x) < 0 Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação. Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0 S = { x ∈ R | x < 1 ou 2 < x < 3} 3. Inequações Tipo Quociente Inequação quociente é qualquer inequação da forma: a) f(x) g(x) 0 b) f(x) g(x) > 0 c) f(x) g(x) 0 d) f(x) g(x) < 0≥ ≤ Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e em seguida aplicar a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja nos casos acima vamos considerar g(x) ≠ 0 Exemplo: Resolver a inequação 0 2 342 ≥ − +− x xx S = { x ∈ R | 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3} Exercícios de Sala  01) Resolver em ℜ as seguintes inequações: a) x2 – 8x + 12 > 0 b) x2 – 8x + 12 ≤ 0 c) x2 – 9x + 8 ≥ 0 02) O domínio da função definida por f(x) = x x x 2 3 10 6 − − − é: a) D = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 5} − {6}. b) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} − {6}. c) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 5} d) D = {x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 7} − {6}. e) n.d.a. 03) Determine o conjunto solução das seguintes inequações: a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0 b) 4 1072 − +− x xx ≥ 0 Tarefa Mínima  01) Resolver em ℜ as seguintes inequações: a) x2 – 6x + 8 > 0 b) x2 – 6x + 8 ≤ 0 c) – x2 + 9 > 0 d) x2 ≤ 4 e) x2 > 6x f) x2 ≥ 1 02) ( Osec-SP ) O domínio da função f(x) = − + +x x2 2 3 , com valores reais, é um dos conjuntos seguintes. Assinale-o. a) {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3 } b) { x ∈ R | -1 < x < 3 } c) { } d) { x ∈ R | x ≥ 3} e) n.d.a. Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 17 03) Resolva, em R, as seguintes inequações: a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0 b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) ≤ 0 c) (x – 3) (x2 – 16) < 0 d) x3 ≤ x e) x3 – 3x2 + 4x – 12 ≥ 0 04) Resolva, em R, as seguintes inequações: a) 0 16 65 2 2 ≥ − +− x xx b) 0 16 65 2 2 < − +− x xx c) x x x x+ − − ≥ 1 1 0 d) 2 1x − < 1 05) ( ESAG-SC ) O domínio da função y = 1 2 12 − − x x nos reais é: a) (-∞, -1 ) b) (-1, ½] c) (-∞, ½] d) (-∞, -1) ∪ [1/2, 1) e) { } Tarefa Complementar  06) Resolver em ℜ as seguintes inequações: a) x2 – 6x + 9 > 0 b) x2 – 6x + 9 ≥ 0 c) x2 – 6x + 9 < 0 d) x2 – 6x + 9 ≤ 0 07) Resolver em ℜ as seguintes inequações: a) x2 – 4x + 5 > 0 b) x2 – 4x + 5 ≥ 0 c) x2 – 4x + 5 < 0 d) x2 – 4x + 5 ≤ 0 08) ( CESGRANRIO ) Se x2 – 6x + 4 ≤ – x2 + bx + c tem como solução o conjunto {x ∈ ℜ| 0 ≤ x ≤ 3}, então b e c valem respectivamente: a) 1 e – 1 b) – 1 e 0 c) 0 e – 1 d) 0 e 1 e) 0 e 4 09) ( UNIP ) O conjunto verdade do sistema    ≤− <+− 042 0892 x xx é: a) ]1, 2] b) ]1, 4] c) [2, 4[ d) [1, 8[ e) [4, 8[ 10) ( PUC-RS ) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é: a) { – 2 2 ; 2 2 } b) [– 2 2 ; 2 2 ] c) (– 2 2 ; 2 2 ) d) (– ∞; 2 2 ) e) (– ∞; 2 2 ] 11) (ACAFE-SC ) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é: a) positivo para x entre 3 e 8 b) positivo para qualquer que seja x c) positivo para x maior do que 8 d) máximo para x igual a 8 e) máximo para x igual a 3 12) ( FATEC ) A solução real da inequação produto (x2 – 4).(x2 – 4x) ≥ 0 é: a) S = { x ∈ R| - 2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4} b) S = { x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4} c) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou x ≥ 4} d) S = { x ∈ R| x ≤ - 2 ou 0 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4} e) S = { } 13) ( MACK-SP ) O conjunto solução de 5 3 6 < +x x é: a) { x ∈ R | x > 15 e x < - 3} b) { x ∈ R | x < 15 e x ≠ - 3} c) { x ∈ R | x > 0} d) {x ∈ R | - 3 < x < 15} e) { x ∈ R | - 15 < x < 15} 14) ( Cescem-SP ) Os valores de x que satisfazem a inequação (x2 −2x + 8)(x2 −5x + 6)(x2 −16) < 0 são: a) x < −2 ou x > 4 b) x < −2 ou 4 < x < 5 c) −4 < x < 2 ou x > 4 d) −4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < −4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 15) ( FUVEST ) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) – 1< x < 0 d) – 2< x < –1 e) x < –1 ou x > 1 AULA 09 PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 1. Função Par Uma função é par, quando para valores simétricos de x, tem-se imagens iguais, ou seja: f(−x) = f(x), ∀ x ∈ D(f) Uma conseqüência da definição é: Uma função f é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. 2. Função Ímpar Uma função é ímpar, quando para valores simétricos de x, as imagens forem simétricas, ou seja: f(−x) = − f(x), ∀ x ∈ D(f) Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 20 Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em: • Igualdade de potência de mesma base. af(x) = ag(x) ⇔ f(x) =g(x) • Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x) ⇔ a = b sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R*+. 2. Função Exponencial f(x) = ax  (a > 1) → função crescente  (0 < a < 1) → função decrescente 3. Inequação Exponencial Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades. • Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém. af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) • Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade se inverte. af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) Exercícios de Sala  01) ( UFSC ) Dado o sistema 7 1 5 25 2 2 x y x y + + = =     , o valor de y x     4 é: 02) ( UFSC ) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, é: Tarefa Mínima  01) Resolva, em R, as equações a seguir: a) 2 x = 128 b) 2x = 1 16 c) 3x − 1 + 3x + 1 = 90 d) 25.3x = 15x é: e) 22x − 2x + 1 + 1 = 0 02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação 3.9x − 26.3x − 9 = 0, é: 03) Dadas f(x) = 1 2     −x e as proposições: I) f(x) é crescente II) f(x) é decrescente III) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) ∈ f(x) podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras b) somente II é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas e) somente III e IV são verdadeiras 04) Resolva, em R, as inequações a seguir: a) 22x − 1 > 2x + 1 b) (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8 c) 31 4 7 4 7 2      <      −x d) 0,5|x – 2| < 0,57 05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por y = 1 1 3 243   − x , é: a) ( −∞, −5 [ b) ] −5, +∞ ) c) ( −∞, 5 [ d) ] 5, + ∞ ) e) n.d.a. Tarefa Complementar  06) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3 07) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal que 2 2 2 2x x= + , então ( )xx x x 2 é igual a: 08) A maior raiz da equação 4|3x − 1| = 16 09) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação 9 4 3 1 1 2 1 x x − −− = − é: Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 21 10) A soma das raízes da equação 2 3 1 13 2 3 2 1 1     + = − + x x x . é: 11) ( UFMG ) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x números reais e 0 < a ≠ 1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x. 02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 04. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1. 12) Determine o domínio da função abaixo: 7 5)4,1()( 52 −= −xxf 13) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto. 01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0) 02. A solução da equação 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1] 04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im = * +R 08. A função f(x) = ( )x2 é crescente 16. ba ba <⇒>             2 1 2 1 14) Determine o valor de x no sistema abaixo: 1) y e 1(x >>    = = 35 yx yx xy 15) Resolver, em reais, as equações abaixo: a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x AULA 11 LOGARITMOS 1. Definição Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a ≠ 1 e b > 0) loga b = x ⇔ ax = b Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente. Exemplos: 1) log6 36 = x ⇒ 36 = 6x ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2 2) log5 625 = x ⇒ 625 = 5x ⇒ 54 = 5x ⇒ x = 4 Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais: É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630)). Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua representação. Sistemas de Logaritmos Neperianos É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617). 1.1. Condição de Existência Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x tenha-se logaritmando positivo base positiva base diferente de 1 Resumindo b > 0 a > 0 e a 1         ≠ 1.2. Conseqüências da Definição Observe os exemplos: 1) log2 1 = x ⇒ 1 = 2x ⇒ 20 = 2x ⇒ x = 0 2) log3 1 = x ⇒ 1 = 3x ⇒ 30 = 3x ⇒ x = 0 3) log6 1 = x ⇒ 1 = 6x ⇒ 60 = 6x ⇒ x = 0 loga 1 = 0 4) log2 2 = x ⇒ 2 = 2x ⇒ 21 = 2x ⇒ x = 1 5) log5 5 = x ⇒ 5 = 5x ⇒ 51 = 5x ⇒ x = 1 loga a = 1 6) log2 23 = x ⇒ 23 = 2x ⇒ x = 3 7) log5 52 = x ⇒ 52 = 5x ⇒ x = 2 loga am = m 8) 2 2 44 2log2 = ⇒ = ⇒ =x x x 9) 3 3 99 2log3 = ⇒ = ⇒ =x x x 2. Propriedades Operatórias 2. 1. Logaritmo do Produto O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. loga (b . c) = loga b + loga c Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 22 Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 2.2. Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor. loga = c b loga b − loga c Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 2.3. Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. loga xm = m . loga x Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5 b) log3 4-5 = -5 log3 4 Caso Particular a n aa bnb n b log. 1loglog 1 == Exemplo: log10 23 = log10 2 1 3 = 1 3 log10 2 Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18. Resolução: log 18 = log(2.32) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24 Exercícios de Sala  01) Pela definição, calcular o valor dos seguintes logaritmos: a) log21024 b) log 0,000001 c) log2 0,25 d) log4 13 128 02) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de: a) log 6 b) log 8 c) log 5 d) log 18 Tarefa Mínima  01) Determine o valor dos logaritmos abaixo: a) log2 512 b) log0,250,25 c) log7 1 d) log0,25 13 128 02) Determine o valor das expressões abaixo a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 l g aaο , onde 0 < a ≠ 1, é: b) 5625.163 1 982 glglgl οοο +− é: 03) Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor dos logaritmos abaixo: a) log 12 b) log 54 c) log 1,5 d) log 5125 04) ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 05) ( FEI-SP ) A função f(x) = log (50 − 5x − x2) é definida para: a) x > 10 b) −10 < x < 5 c) −5 < x < 10 d) x < −5 e) n.d.a. Tarefa Complementar  06) ( PUC-SP ) Se l g xο 2 2 512 = , então x vale: 07) ( PUC-SP ) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47, então log 6 2 5 é igual a: a) 0,12 b) 0,22 c) 0,32 d) 0,42 e) 0,52 Inclusão para a vida Matemática A PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 25 GABARITO – MAT A AULA 1 1) a) 120 b) 12 c) 240 d) 12 2) b 3) a) 10 b) 16 4) 80 5) e 6) d 7) b 8) d 9) d 10) b 11) 47 12) b 13) 13 14) b 15) b AULA 2 1) a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) {0, 3, 6, 9, 12, 15,....} c) {3, 4, 5, 6, 7} d) {-1, 0, 1, 2} e) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,.....} f) {1, 3, 5, 7, 9, ......} 2) c 3) 3 23 4) a) S = {-10,10} b) S = {-8, 6} c) S = ∅ d) S = {-1,1} 5) a 6) 198 127 7) e 8) b 9) 06 10) a 11) b 12) c 13) d 14) d 15) e AULA 3 1) a) 4 b) 3 1 − c) 7 4 − d) S = ℜ e) S = ∅ f) 10 9 2) b 3) e 4) a) (2,1) b) (3,2) c)       4 1, 4 1 5) a) {x∈ R| x >– 7} b) {x∈ R| x ≥ 2 } c) {x∈ R| x > 6 1 } 6) 08 7) – 1 8) 82 9) x > 100km 10) 16 11) 95 12) 39 13) 92 14) 40 15) b AULA 4 1) a) {2,3} b) {2,4} c) {2, 1/3} d) {2} e) ∅ f) {-5, 5} g) {0,5} 2) a 3) a 4) a 5) – 5 6) S = {0} 7) a 8) 62 9) x = 3 10) a 11) 15 12) 07 13) a 14) 03 15) 05 AULA 5 1) e 2) 31 3) a) {x ∈ R| x ≠ 3} b) {x ∈ R| x ≥ 3} c) {x ∈ R| x ≤ 6, x ≠ 2} d) ℜ 4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4 8) e 9) b 10) d 11) d 12) 21 13) 33 14) 29 15) 2 19 +x AULA 6 1) 2) 02 3) a 4) b 5) 02 6) c 7) d 8) e 9) 01 10) c 11) 99 12) e 13) d 14) d 15) 0,2 AULA 7 1) a) raízes: -1 e 3 vértice: (1, -4) Im = { y ∈ R / y ≥ – 4 } b) raízes: -2 e 4 vértice: (1, -9) Im = { y ∈ R / y ≥ -9 } c) raiz: 1 vértice: (1, 0) Im = { y ∈ R / y ≤ 0 } d) raízes: 0 e 3 vértice: (3/2, -9/4) Im = {y ∈ R/ y ≥ -9/4} 2) 55 3) 27 4) b 5) a 6) 29 7) c 8) 0 e 4 9) e 10) d 11) 01 12) 23 13) c 14) e 15) 08 Matemática A Inclusão para a Vida PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 26 AULA 8 1) a) {x ∈ R | x < 2 ou x > 4} b) {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} c) {x ∈ R | - 3 < x < 3} d) {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 2} e) {x ∈ R | x < 0 ou x > 6} f) {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ 1} 2) a 3) a) ]-4, -1[ ∪ ]1, 3[ b) ]-∞, -4] ∪ [-1, 1] ∪ [3, ∞[ c) ]-∞, -4[ ∪ ]3, 4[ d ) ]-∞, - 1] ∪ [0, 1] e) [3, ∞ [ 4) a) {x ∈ R| x < - 4 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x > 4} b) {x ∈ R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x ∈ R|x < −1 ou 0 ≤ x < 1} d) {x ∈ R|x < 1 ou x > 3} 5) d 6) a) {x ∈ R | x ≠ 3} b) ℜ c) ∅ d) {3} 7) a) R b) R c) ∅ d) ∅ 8) e 9) a 10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a AULA 9 1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4 e) 20 f) 18 g) 8 2) a 3) 81 4) a) f-1(x) = 2 3+x b) f-1(x) = 4x – 2 c) f-1(x) = 2 14 − + x x 5) 01 6) 61 7) 00 8) 99 9) e 10) d 11) 31)() 2)() 2 7)() 1 1 1 ++= += − = − − − xxfc xxfb xxfa 12) c 13) 05 14) 03 15) x2 + 6x + 9 AULA 10 1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 2) 02 3) b 4) a) S = { x∈ R| x > 2 } b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 } d) S = { x∈ R| x < - 5 ou x > 9 } 5) a 6) c 7) 02 8) 01 9) 01 10) 00 11) 03 12) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 13) 30 14) 3 5 3 5 15) a) {-1, 1} b) {0, 1} AULA 11 1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26 2) a) 13 b) 6 3) a) 1, 07 b) 1, 71 c) 0, 17 d) 0, 54 4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r – s – t/3 10) cd ba 32 11) 09 12) 17 13) a 14) a) 1 < x < 3 e x ≠ 2 b) x < - 2 ou 2 < x < 5 e x ≠ 4 15) 14 AULA 12 1) a 2) a 3) a) {– 6} b) {2, -1} c) {27} d) {9} e) { } f) 08 4) 05 5) a) { x ∈ R| x > 6} b) { x ∈ R| 3 < x < 7} 6) 30 7) e 8) 04 9) 31 10) 99 11) 16 12) 25 13) 47 14) 03 15) c