Geometria descritiva aplicada aos sólidos geométricos

Geometria descritiva aplicada aos sólidos geométricos

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Paulo Sérgio Brunner Rabello

Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal

Fluminense

Ex-Professor da Universidade Santa Úrsula

Livre-Docente em Construção Civil

Especializado em Geometria e Representação Gráfica

Este livro pode ser considerado como uma aplicação da

Geometria Descritiva Básica às figuras geométricas clássicas, especificamente, poliedros, superfícies curvas (cilindros, cones e esferas) e hélices cilíndricas.

Inicialmente, é dada uma idéia geral do que sejam curvas e superfícies, caracterizando e classificando suas diversas formas, descrevendo seus elementos geométricos mais importantes e comentando suas principais propriedades. A preocupação, no caso, foi dar ao leitor uma idéia geral sobre tais assuntos, facilitando o entendimento dos capítulos seguintes.

Foi introduzido, também, o conceito de superfície linear que é definida como superfície gerada (ou constituída) por linhas. A partir daí, são consideradas superfícies retilíneas àquelas geradas exclusivamente por retas.

Superfícies curvilíneas são aquelas geradas exclusivamente por curvas, entendendo-se como superfícies curvirretilíneas aquelas que podem ser geradas, tanto por retas, quanto por curvas.

A denominação superfície regrada como sinônimo de superfície retilínea deve ser evitada, pois se trata de um equívoco. Afinal, se uma superfície qualquer obedece a uma determinada regra, esta superfície geométrica pode ser considerada regrada.

No estudo dos poliedros foi adotada a classificação do eminente professor Alcyr Pinheiro Rangel por concordarmos com a idéia de que prismas e pirâmides, por exemplo, que têm leis de geração específicas e bem definidas, sejam jogados na vala comum dos poliedros irregulares.

São estudados detalhadamente alguns poliedros regulares (tetraedro, octaedro e cubo), o cuboctaedro, os prismas e as pirâmides, incluindo seções planas, planificação das superfícies e transformadas das seções.

O dodecaedro e o icosaedro, regulares, assim como os poliedros estrelados, foram simplesmente mencionados, pois a representação de tais figuras, além de exigir um longo texto explicativo e um tempo de execução muito maior que os demais, não traz contribuição significativa para o objetivo deste trabalho.

Os cones e os cilindros são caracterizados a partir das definições de superfícies cônicas e de superfícies cilíndricas, de diretrizes circulares, respectivamente, sem deixar de mencionar que tais superfícies podem ser tratadas como curvilíneas ou como superfícies de revolução.

A esfera é definida como lugar geométrico e, também, como superfície de revolução.

Além do estudo detalhado das projeções destas figuras, foram estudadas, também, as seções planas, a planificação de suas superfícies, as transformadas das respectivas seções e os casos de tangência de planos a estas superfícies.

A hélice cilíndrica e os respectivos helicóides (desenvolvível, de plano diretor e de cone diretor) são do maior interesse para as áreas das engenharias civil e mecânica e para a arquitetura e, por isso, são estudados detalhadamente.

As hélices cônicas e esféricas são apenas mencionadas. Para complementar o trabalho, foi inserido um capítulo destinado ao estudo das interseções de superfícies. Por ser um assunto extremamente importante e relativamente complexo, foi dado um tratamento especial de modo a torná-lo possível de ser absorvido sem maiores dificuldades. Para tanto, as figuras foram colocadas em posições privilegiadas em relação aos planos de projeção possibilitando utilizar procedimentos semelhantes em qualquer caso.

Como dissemos na apresentação do livro Geometria Descritiva

Básica, longe da pretensão de ser um tratado sobre o assunto, esperamos que as pessoas que derem continuidade ao estudo da Geometria Descritiva encontrem nesse trabalho uma fonte confiável de consulta e aos mais experientes no assunto, que formulem suas críticas e sugestões para que possamos oferecer, no futuro, um trabalho melhor.

Finalizando, cabe, mais uma vez, um agradecimento especial aos ilustres professores Mendel Coifman, Léa Santos de Bustamante, Norbertino Bahiense Filho, Alcyr Pinheiro Rangel e José Luiz Marques Coelho da Silva.

Aos meus pais, David e Lavínia, que me puseram no mundo e, com carinho, apoio e dedicação sem limites, fizeram de mim um homem tolerante, de caráter, um cidadão que se orgulha de suas origens, de sua família e de seus amigos..

Aos meus mestres, especialmente Haroldo Lisboa da

Cunha, Léa Santos de Bustamante, Mendell Coifman, Alcyr

Pinheiro Rangel e José Luiz Marques Coelho, que, com paciência e dedicação me despertaram o gosto pelas Ciências Exatas e, mais particularmente, pelas Geometrias.

Cabo Frio, 5 de junho de 2006

Curvas e Superfícies CAPÍTULO I

Poliedros CAPÍTULO I

Cones

CAPÍTULO IV Cilindros

CAPÍTULO V Esfera

Hélice Cilíndrica

CAPÍTULO VII Interseção de Superfícies

Capítulo I

CURVAS E SUPERFÍCIES 1.0 - CURVAS 1.1 - Definições

Genericamente, pode-se definir linha como sendo a figura descrita pela trajetória de um ponto em movimento contínuo no espaço.

Se a cada dois pontos infinitamente próximos, o ponto muda de direção, a linha é uma curva.

Se, durante todo o movimento, o ponto não muda de direção, a linha é uma reta.

Se, por outro lado, ao descrever uma linha, o ponto muda de direção em espaços de tempo fixos ou intermitentes, a linha é chamada poligonal.

Como será visto mais tarde, uma linha pode ser obtida por interseção de duas superfícies ou por projeção de uma outra linha.

1.2 - Classificação 1.2.1 - Quanto à Geração

Curvas gráficas são aquelas em que o movimento do ponto é arbitrário e, portanto, não obedecem a qualquer lei de geração. São também chamadas curvas não geométricas.

Curvas geométricas são aquelas que obedecem a uma lei de geração e podem ser representadas por uma equação algébrica ou transcendente. A curva, nesse caso, traduz o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem a essa equação.

1.2.2 - Quanto à Curvatura

Curvas planas são aquelas cujos pontos são todos coplanares. O círculo e as cônicas (elipse, parábola e hipérbole) são exemplos típicos de curvas planas (figs.1, 2 e 3).

fig. 1 fig. 2

fig. 3

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