Baixe Biografias da matematica e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Abel, Niels Henrik (1802-1829) Abel foi o mais famoso matemático norueguês. Ao ler as obras de Newton, d'Alembert, Lagrange, Laplace e Euler, sentiu-se motivado a estudar matemática. Estudou na Universidade de Cristiânia (atual Oslo) e graduou-se em 1822. Durante os anos de estudo, trabalhou para encontrar uma solução genérica para as equações cúbicas. Publicou trabalhos nos quais solucionava equações integrais e algébricas. Em 1824, provou a impossibilidade de se resolver equações cúbicas em geral. Abel viajou para Berlim e trabalhou com Crelle, que publicou algumas de suas obras e apoiou suas pesquisas. Ele também viajou para Paris e encontrou-se com Cauchy, que não se mostrou muito receptivo com relação ao seu trabalho. De volta à Noruega, Abel sofreu com doenças, pobreza e dívidas pessoais consideráveis. Morreu jovem, sem nunca cumprir o potencial evidenciado com seu brilhante trabalho sobre funções e resolução de equações. Agnesi, Maria Gaetana (1718-1799) Maria Agnesi foi a primeira mulher no mundo ocidental a ser chamada de "matemática" no sentido exato do termo. Seu pai encorajou seu interesse em assuntos científicos ao garantir-lhe professores ilustres como tutores e ao fornecer-lhe uma biblioteca substancial e um centro de estudos em sua própria casa. Desde a infância manifestou grande interesse pela matemática e, aos14 anos, solucionou problemas difíceis sobre geometria analítica e balística. Aos 17 anos, escreveu um comentário crítico sobre o Traité analytique des sections coniques de L'Hospita Aos 20 anos, Agnesi era uma cientista com vários trabalhos publicados e, aos 30, já era membro honorário da Universidade de Bolonha. Uma década de trabalho árduo culminou com a publicação de seu livro de cálculo Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italianaem 1748. O livro foi aclamado pelos círculos acadêmicos de toda a Europa. O objetivo do livro era dar um tratamento completo e abrangente à álgebra e ao cálculo. Newton ainda estava vivo quando Agnesi nasceu, de forma que o desenvolvimento dos cálculos diferencial e integral ainda estava em progresso durante a vida dela. O livro de Agnesi incluía álgebra, geometria analítica, cálculo diferencial, cálculo integral, séries infinitas e a solução de equações diferenciais elementares. Nos dias de hoje, Agnesi é lembrada principalmente pela curva em forma de sino chamada de "Bruxa de Agnesi". Esse nome, encontrado apenas em textos em inglês, é resultado de uma tradução errada. O nome dado por Agnesi à curva era versiera (curva). John Colson, famoso matemático de Cambridge que achou o texto de Agnesi tão importante que aprendeu italiano apenas para traduzi-la, "para o benefício da juventude britânica", provavelmente confundiu a palavra versiera com avversiera, que significa "bruxa". Alberto da Saxônia (c. 1316-1390) A família de Alberto, os Ricmestorp, constituía-se de prósperos proprietários de terra. Ele estudou na Universidade de Paris e ganhou fama como professor da faculdade de artes dessa mesma universidade. A obra de Alberto, composta durante os anos em que ele lecionou em Paris, consistia principalmente de livros de problemas e questões sobre os tratados de Aristóteles e alguns sobre lógica e outras questões matemáticas. Ele escreveu sobre a quadratura do círculo e sobre outros problemas geométricos. Também publicou livros de física e de mecânica, sendo que o Tractatus proportionum tornou-se o mais popular e famoso. Em Paris, conheceu o matemático Oresme, com quem trabalhou. Também dedicou-se aos negócios relacionados à Igreja durante o papado de Urbano V, sendo posteriormente designado bispo, o que fez com que sua carreira como matemático tivesse fim. Principal obra: Tractatus proportionum Alembert, Jean Le Rond d' (1717--1783) O francês d'Alembert foi abandonado pelos pais naturais ainda bebê, vindo a viver com pais adotivos. Freqüentou o Collège de Quatre- Nations, estudando os clássicos, direito e medicina. Mais tarde, foi autodidata em matemática. Seu début no cenário científico ocorreu em 1739, quando enviou seu primeiro trabalho para a Academia de Ciências. Durante os dois anos seguintes, enviou à Academia mais cinco trabalhos que tratavam dos métodos de integrais de equações diferenciais e do movimento dos corpos em um meio resistente. Embora tenha recebido pouca educação científica formal, fica claro que ele tinha familiaridade com a obra de Newton, L’Hospital, and the Bernoullis. D'Alembert continuou a realizar pesquisas avançadas e publicou muitos trabalhos sobre matemática e física matemática. Sua principal obra foi o Traité de dynamique, de 1743, que fez das equações diferenciais parciais uma parte do cálculo. Ele considerou a derivada um limite dos cocientes de diferença, o que o colocou à frente de seus colegas quanto ao entendimento do cálculo. Também contribuiu para resultados importantes nos campos da geometria, dos números complexos e da probabilidade. Principal obra: Traité de dynamique Citação: "A álgebra é muito generosa. Ela sempre me dá mais do que peço". Babbage, Charles (1792--1871) O inglês Charles Babbage freqüentou o Trinity College, em Cambridge, e foi um excelente aluno de matemática. Estudou Leibniz, Agnesi, Lagrange, and Maclaurin. , tendo ajudado a traduzir o livro de cálculo de Lacroix do francês para o inglês. Seus projetos foram os precursores dos computadores atuais. Ele construiu uma pequena máquina diferencial em 1822 e depois começou a trabalhar em uma versão ampliada, nunca finalizada. Babbage publicou um livro intitulado On the economy of machinery and manufactures, que introduziu o conceito que hoje chamamos de "pesquisa de operações". Barrow, Isaac (1630--1677) Isaac Barrow nasceu em Londres e estudou no Trinity College, em Cambridge. Graduou-se em 1649 e 1652, e tornou-se palestrante da universidade. Durante sua época, a tradução que fez da obra de Euclides tornou-se muito popular. Barrow deixou a Inglaterra por cinco anos, viajando pela Europa e pela Ásia. Durante suas viagens, seu interesse pela matemática aumentou. Quando voltou à Inglaterra, tornou-se professor de geometria e mais tarde o primeiro professor "lucasiano" (da cátedra fundada por Henry Lucas) de matemática em Cambridge. Barrow ficou conhecido por combinar trabalhos de outros, como Descartes, Wallis e Gregory, e por unificar idéias e resultados matemáticos. Ele aplicou com êxito sua geometria e seu cálculo à óptica, embora seus trabalhos nessa área sejam menores quando comparados com a obra de Newton, que se seguiu. Em 1669, Barrow renunciou à cátedra de professor lucasiano, cedendo-a a Newton. Bernoulli, Daniel (1700--1789) Daniel Bernoulli foi o segundo filho do matemático Johann Bernoulli. Em 1713, começou a estudar lógica. Durante a juventude, seu pai lhe ensinou matemática. Em 1724, Bernoulli publicou Exercitationes mathematicae, obra que atraiu atenção considerável. Essa publicação valeu-lhe uma colocação na Academia de São Petersburgo. Em São Petersburgo, ele se mostrou criativo e produtivo como cientista. Publicou diversos livros e artigos sobre matemática e mecânica. Sua principal obra, Hydrodynamica, foi finalizada em 1734, mas só foi publicada em 1738. Principais obras: Exercitationes mathematicae, Hydrodynamica Berkeley, George (1685--1753) George Berkeley nasceu na Irlanda e estudou em Dublin, no Kilkenny College e no Trinity College. Desde jovem sentiu-se influenciado pelos escritos de Descartes e de Newton. Após trabalhar em Trinity, viajou por toda a Europa durante oito anos. Em 1721, escreveu De motu, obra que rejeitava a física de Newton. Mais tarde viajou para as Américas, fundando um colégio nas Bermudas e por fim vindo a viver em Newport, Rhode Island. Retornando a Dublin, foi sagrado bispo anglicano. A maior contribuição de Berkeley foi o livro The Analyst or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. O matemático infiel ao qual ele se referia era Halley. O livro atacava o fraco fundamento do cálculo e ridicularizava as derivadas de ordem superior. Questionava as fluxões de Newton e as diferenciais de Leibniz. Como resultado, fez com que os matemáticos trabalhassem mais para justificar e explicar seus resultados. Principais obras: De motu, The Analyst Citação: "O método das fluxões (do cálculo diferencial) é a chave para auxiliar os matemáticos modernos a desvendar os segredos da geometria e, conseqüentemente, da natureza". Bernoulli, Jakob (1654--1705) Jakob Bernoulli nasceu na Suíça e graduou-se em 1671, após estudar filosofia e teologia por gosto do pai, e matemática e astronomia, contra sua vontade. Sua máxima tornou-se Invito patre sidera verso ("Contra a vontade de meu pai, estudo as estrelas") à medida que começou a pesquisar a matemática e a astronomia por conta própria. Sua busca levou-o para a Holanda, onde encontrou o matemático Jan Hudde, e para a Inglaterra, onde encontrou Robert Boyle e Robert Hooke. O resultado dessas viagens foi sua teoria sobre o movimento dos cometas e a teoria da gravidade. Como resultado desse trabalho, Bernoulli contribuiu para o Acta eruditorum com artigos sobre álgebra. Trabalhando nos problemas relativos à óptica e à mecânica, Bernoulli contribuiu para importantes desenvolvimentos no campo da geometria infinitesimal e do cálculo. Ele mostrou seu domínio de cálculo com sua análise das soluções dadas por Huygens em 1687 e por Leibniz em 1689 para o problema da curva em um campo gravitacional. Foi nessa análise que ele utilizou o termo integral. Ele também estudou a catenária, a função que determina a forma de uma cadeia ou fio suspenso. Bernoulli também utilizou as coordenadas polares em diversos problemas aplicados solucionados por ele. Infelizmente, Jakob mantinha um relacionamento tenso com seu irmão mais novo, o matemático Johann Bernoulli. Ele lecionou na Basiléia de 1683 até sua morte. Foi o primeiro matemático da família Bernoulli, que se tornou a família mais conhecida na história dos matemáticos Bernoulli, Johann (1667--1748) Johann Bernoulli nasceu na Suíça e freqüentou a Universidade da Basiléia. Sua dissertação de doutorado discorria sobre matemática a despeito do seu título médico, utilizado para esconder seus estudos matemáticos do pai, que queria que ele se tornasse médico. Ele estudou matemática em segredo, com seu talentoso irmão Jakob, que ocupou a cátedra de matemática da Universidade da Basiléia. Daquela época em diante, os irmãos dedicaram-se à matemática infinitesimal e foram os primeiros a compreender por completo a apresentação de Leibniz do cálculo diferencial. Os irmãos Bernoulli trabalhavam às vezes nos mesmos problemas, o que se mostrou desastroso em vista de suas características ciumentas e melindrosas. Em 1691, Bernoulli esteve em Paris, onde apresentou e defendeu o novo cálculo de Leibniz. Durante esse período ele também encontrou L'Hospital, o matemático francês mais famoso na época. L'Hospital pediu a Bernoulli que o instruísse com relação ao novo cálculo. Em 1695, Johann foi nomeado professor de matemática na Universidade de Groningen, na Holanda. L'Hospital pediu a Bernoulli que continuasse lhe ensinando por correspondência após Bernoulli deixar a Holanda e mais tarde voltar para a Basiléia. Logo após a morte de Jakob Bernoulli, Johann sucedeu o irmão na cátedra na Basiléia. A crítica de Bernoulli com relação ao methodus uncrementorum de Taylor foi um ataque ao método das fluxões, à medida que Bernoulli se envolveu na disputa entre Leibniz e Newton. Em 1727, após a morte de Newton, Bernoulli foi considerado o principal matemático da Europa. Ele também ensinou seu sucessor quando instruiu Leonhard Euler na Universidade da Basiléia. O filho de Johann foi o matemático Daniel Bernoulli, que também discutiu com Johann a respeito de questões matemáticas. Principais teoremas: a regra de L'Hospital, as séries de Taylor. Citação: "A quantidade aumentada ou diminuída por uma quantidade infinitamente pequena não é aumentada ou diminuída". George David Birkhoff (1884-1944) Birkhoff freqüentou Harvard e a Universidade de Chicago, onde doutorou-se em 1907 com sua dissertação sobre as equações diferenciais. A maior parte de sua obra foi escrita em Harvard, onde se tornou catedrático em 1919. Suas maiores contribuições ocorreram no campo dos sistemas dinâmicos (equação de diferenças) e equações diferenciais. Ele ampliou a obra de Poincaré. Também trabalhou no problema da conjectura das quatro cores (cores máximas necessárias para colorir um mapa desenhado no plano e dividido em um número qualquer de regiões) e aplicou a matemática à estética na arte, na poesia e na música. Cardano, Girolamo (1501--1576) Cardano foi encorajado a estudar tanto os clássicos quanto a matemática por seu pai, que era amigo de Leonardo da Vinci. Ele iniciou seus estudos universitários em 1520 em Pávia, completando-os em Pádua em 1526. Em 1534, tornou-se médico e professor de matemática em Milão. Em poucos anos Cardano transformou-se no mais famoso médico da cidade. Em 1539, enquanto aguardava a publicação de Practica arithmetica, seu primeiro livro sobre matemática, soube que Tartaglia conhecia o método de resolução para equações cúbicas (ou do terceiro grau). Cardano conseguiu obter essa informação de Tartaglia, prometendo não revelá-la. Ele cumpriu a promessa durante seis anos, mas publicou o método em 1545 em seu Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus, comumente chamado de Ars magna. Cardano escreveu mais de 200 trabalhos sobre medicina, matemática, física, filosofia, religião e música, embora hoje sua fama permaneça consolidada por suas contribuições no campo da matemática. Em Practica arithmetica, consagrada ao cálculo numérico, ele revelou sua grande capacidade matemática ao resolver muitos problemas algébricos complexos. Sua principal obra, Ars magna, apresentava muitas idéias novas sobre a álgebra, incluindo a solução das cúbicas e das quárticas. Além de suas contribuições em álgebra, Cardano também realizou grandes contribuições no campo da probabilidade, da mecânica e da astronomia. Principais obras: Ars magna; Practica arithmetica. Cavalieri, Bonaventura (1598--1647) Cavalieri nasceu em Milão, na Itália. Ainda jovem começou a estudar geometria, tendo absorvido rapidamente as obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio e Pappus. Mais tarde estudou e trabalhou com Galileu, que o encorajou a estudar o cálculo. Os dois matemáticos correspondiam-se por carta. Cavalieri aprendeu os fundamentos do cálculo e desenvolveu suas idéias sobre o métodos dos indivisíveis, o que representou sua maior contribuição para o estudo da matemática. Ele descobriu que se duas figuras planas podem ser comprimidas entre linhas retas paralelas de tal forma que tenham seções verticais idênticas em cada segmento, então as figuras têm a mesma área. Esse teorema fez com que Cavalieri conseguisse o posto de professor universitário na Universidade de Bolonha em 1629. Ele foi responsável pela introdução dos logaritmos como ferramenta computacional nas escolas da Itália. Entre suas outras áreas de interesse incluíam-se as seções cônicas, a trigonometria, a astronomia e a óptica. .Cauchy, Augustin-Louis (1789--1857) Cauchy nasceu em Paris, no ano em que teve início a Revolução Francesa. Gozou os benefícios de uma educação privilegiada. Ainda garoto, encontrou-se com diversos cientistas famosos. Laplace era seu vizinho e Lagrange era seu admirador e patrocinador. Após completar o ensino elementar em casa, ingressou na École Centrale. Após alguns meses de preparação, foi admitido na École Polytechnique em 1805, para estudar engenharia. Nessa época ele já havia lido Mécanique celeste, de Laplace, e Traité des functions analytiques, de Lagrange. Em 1811, Cauchy resolveu um problema desafiador lançado por Lagrange. Em 1816 ganhou um concurso da Academia Francesa sobre a propagação das ondas na superfície de um líquido; os resultados agora são clássicos no campo da hidrodinâmica. Ele inventou o método das características, importante na análise das equações diferenciais parciais. Ainda em 1816, quando Monge e Carnot foram expulsos da Academia de Ciências, Cauchy foi indicado como membro substituto. Durante toda a sua carreira, foi nomeado inspetor, professor adjunto e finalmente catedrático da École Polytechnique. Suas obras clássicas Cours d'analyse (Course on analysis, de 1821) e Résumé des leçons... sur le calcul infinitésimal (de 1823) foram suas maiores contribuições no campo do cálculo. Ele foi o primeiro a definir completamente as idéias de convergência e de convergência absoluta das séries dos infinitos. Iniciou a rigorosa análise do cálculo. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistêmica para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier das equações diferenciais. Durante o período político turbulento que a França vivia, ele esteve periodicamente no exílio. Lecionou na Universidade de Turim, na Suíça, de 1831 a 1833, durante o exílio da França. Foi professor de mecânica celestial na Sorbonne. Cauchy foi muito prolífico em suas publicações, tendo escrito muitos artigos e livros. Principais teoremas: teorema de valor médio, teorema de valor intermediário. Principais obras: Cours d'analyse; Résumé des leçons... sur le calcul infinitésimal. John Colson (morto em 1760) Colson foi um matemático britânico que considerou o livro de cálculo de Agnesi tão importante que aprendeu italiano apenas para traduzi-lo para o inglês. Ele acreditava que o livro de Agnesi era excelente e atrairia mais pessoas a estudar matemática. Acreditava especialmente que Agnesi, como modelo para as mulheres jovens, atrairia as mulheres para o estudo do assunto. No decorrer de seu trabalho, ele traduziu erroneamente a palavra "curva" como "bruxa". Essa tradução errada fez com que a curva em forma de sino de Agnesi fosse chamada de "a bruxa de Agnesi". Cayley, Arthur (1821-1895) Aos 17 anos, Cayley ingressou no Trinity College, em Cambridge, graduando-se em 1842. Tornou-se tutor e advogado, mas primeiramente realizou pesquisas e escreveu trabalhos sobre matemática. Foi muito prolífico, tendo escrito mais de 300 trabalhos sobre matemática durante um período de 14 anos. Em 1863, tornou-se professor "sadleriano" (da cátedra fundada por Sadler) em Cambridge. Em 1876 publicou um livro intitulado Treatise on elliptic functions. Também trabalhou nos determinantes e elaborou uma teoria para as operações matriciais. Cayley era amigo de J. J. Sylvester e foi para a América a convite dele, para uma palestra na Universidade Johns Hopkins, em 1882. Cayley aparece como o quarto autor mais prolífico na história da matemática, sendo superado apenas por Euler, Erdos e Cauchy. Na época de sua morte, ele tinha publicado mais de 900 trabalhos que cobriam muitas áreas da matemática pura, dinâmica teórica e astronomia. Ele originou a noção de matrizes em 1858 e nos anos seguintes contribuiu enormemente para o desenvolvimento da teoria matricial. A maior parte do seu trabalho foi teórica, e sua obra mais significativa não foi usada com propósitos práticos até 1925, quando físicos utilizaram seus resultados no campo da mecânica quântica. A partir de 1950, as matrizes desempenharam um papel importante em muitas áreas, incluindo ciências sociais, economia e negócios. Principais obras: Treatise on elliptic functions. Citação: "Como tudo o mais, assim é a teoria matemática: a beleza pode ser percebida, mas não explicada". Courant, Richard (1888--1972) Courant completou seu doutorado na Universidade de Göttingen em 1910. Ele estudou com Hilbert e no final sucedeu Klein na faculdade de Göttingen. Fundou o Instituto de Matemática de Göttingen e o dirigiu de 1920 a 1933. Seu trabalho de pesquisa envolveu a física matemática. Courant deixou a Alemanha em 1933 e foi para a Universidade de Nova York. Fundou um centro de pesquisas matemáticas na universidade, hoje chamado de Courant Institute. Dedekind, Richard (1834--1916) Dedekind cresceu na Alemanha e em 1850 ingressou na Universidade de Göttingen. Lá ele estudou com Bernhard Riemann e Carl Gauss. Começou proferindo palestras sobre probabilidade e mais tarde estudou seriamente a teoria dos números. Tornou-se professor da Brunswick Polytechnic e permaneceu lá durante muitos anos. Como Gauss, ele preferia estudar os aspectos teóricos da teoria dos números. Sua obra sobre números irracionais deu ao assunto um fundamento lógico. Nos últimos anos de vida, Dedekind trabalhou com Cantor no conceito dos infinitos. Euclides (c. 365 - 300 a.C.) Euclides viveu em Alexandria, no Egito, e foi o mais talentoso e influente matemático de sua época. Era mais jovem do que Platão e Aristóteles, mas era mais velho do que Arquimedes. Embora seja provável que tenha sido educado em Atenas, ele ensinou no Museum de Alexandria, um instituto de pesquisa que enfatizava a ciência e a literatura. Euclides registrou, coletou e ampliou a matemática do mundo antigo. Foi um dos matemáticos mais influentes de todos os tempos e um autor prolífico. Euclides é mais conhecido por seu trabalho no campo da geometria, apresentado na obra clássica intitulada The elements. Esse livro lançou a base para a geometria e em geral para a matemática axiomática. Todos os fatos deveriam ser provados dedutivamente como afirmações de teoremas e proposições. O raciocínio pode depender apenas das suposições feitas inicialmente (isto é, as definições e axiomas) e dos teoremas e proposições relevantes anteriormente estabelecidos. The elements é uma obra subdividida em 13 livros e tem início com definições e axiomas, incluindo o famoso postulado paralelo, que afirma que apenas uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer. Esse postulado é um componente definitivo para a geometria euclidiana. Os livros foram traduzidos para diversos idiomas e utilizados como textos sobre matemática por mais de dois mil anos. Além dessa obra, Euclides escreveu outros livros sobre geometria, incluindo a teoria das cônicas, e sobre astronomia, óptica, música; muitas dessas obras encontram-se perdidas. Euclides deu seu nome a vários conceitos matemáticos, incluindo o algoritmo euclideano. Foi chamado de "Pai da Geometria". Quando perguntado se havia um caminho mais rápido para aprender geometria do que lendo The elements, Euclides replicou: "Não há estrada real para a geometria". The elements representou uma compilação do matemático teórico mais importante da época e provavelmente continha a primeira obra e idéias de Pitágoras, Hipócrates, Platão, Aristóteles e Eudoxo; sua realização principal, no entanto, é o grande pensamento sistemáico de Euclides. Teorema principal: Infinitude dos primas. Principal obra: The elements. Citações: "As leis da natureza são nada mais que pensamentos matemáticos de Deus". "Não há estrada real para a geometria". Eudoxo (408-335 a.C.) Eudoxo viveu em Cnido (atual Turquia) e viajou para Atenas para encontrar Platão. Também foi para o Egito para fazer observações astronômicas e aprendeu a astronomia. Fundou uma escola e ensinou a seus alunos matemática, astronomia e filosofia. Desenvolveu a teoria da proporção e contribuiu para o Livro 5 de Euclides. Utilizou o método de exaustão para obter resultados em integrais e encontrar áreas. Desenvolveu provas para fórmulas para calcular os volumes dos cones e dos prismas. Euler, Leonhard (1707-1783) Nascido na Basiléia, Suíça, Leonhard Euler foi a figura matemática dominante do seu século e o matemático mais prolífico de que se tem notícia. Era também astrônomo, físico, engenheiro e químico. Foi o primeiro cientista a dar importância ao conceito de função, estabelecendo desse modo uma base sólida para o desenvolvimento do cálculo e de outras áreas da matemática. A coleção completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de oitenta volumes. Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analítica, da trigonometria, do cálculo e da teoria dos números. Euler’s collected books and papers (over 870 articles and books) fill over 80 volumes. He made tremendous contributions to analytic geometry, trigonometry, calculus, and number theory. Ainda jovem, Euler demonstrou um futuro promissor como matemático, apesar de seu pai preferir que estudasse teologia. Felizmente, Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemática. Graduou-se pela Universidade da Basiléia, defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton. Euler conseguiu uma posição em São Petersburgo e durante alguns anos foi médico na marinha russa. Em 1733, tornou-se professor de matemática na Academia de Ciências de São Petersburgo. Em 1736 publicou a obra Mechanica, em dois volumes, na qual aplicou sistematicamente o cálculo à matemática de uma massa e incorporou muitas equações diferenciais novas à mecânica. Em 1738, perdeu a vista direita. Em 1741, conseguiu uma posição como diretor matemático da Academia de Ciências de Berlim. Lá desenvolveu alguns trabalhos, como a tradução e a melhoria de Principles of Gunnery, de Robin; a publicação de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess, de 1768 a 1772; e o ensino de Lagrange por correspondência. Em 1766, Euler retornou à Rússia a convite de Catarina, a Grande. Em 1771, perdeu a visão no olho esquerdo, ficando completamente cego. Seu trabalho foi do cálculo e da análise à medida que publicou sua trilogia, Introductio in analysin infinitorum, Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis. Esses trabalhos, que perfaziam um total de seis volumes, fizeram da função uma parte central do cálculo e tratavam de álgebra, trigonometria, geometria analítica e teoria dos números. Por meio desses tratados, Euler influenciou grandemente o ensino da matemática. Diz-se que todos os livros didáticos de cálculo desde 1748 são essencialmente cópias de Euler ou cópias de cópias dele. Algumas de suas contribuições para as equações diferenciais são as seguintes: a redução da ordem, o fator integrante, coeficientes indeterminados, a teoria das equações lineares de segunda ordem e soluções das séries de potências. Ele também incorporou o cálculo vetor e as equações diferenciais em seus trabalhos. Euler deu à geometria analítica moderna e à trigonometria o que o livro Elements, de Euclides, deu à geometria, e a tendência resultante de apresentar a matemática e a física em termos matemáticos prosseguiu desde então. Euler enriqueceu a matemática com muitos conceitos, técnicos e notações ainda em uso nos dias de hoje. Ele deu ordem ao caos da notação matemática. Estabeleceu a maior parte da notação que utilizamos hoje (seno, co-seno, e, "pi", "i", sigma, f para função). A contribuição de Euler para a teoria dos números e para a física foram igualmente impressionantes. Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies), de 1765, ele fundou as bases da mecânica contínua e da teoria lunar. Sua influência no campo da física matemática foi tão difusa que a maior parte das descobertas não é creditada a ele. No entanto, temos as equações de Euler para a rotação de um corpo rígido, fluxo de um fluido ideal incompressível, flexão de vigas elásticas e carregamentos para empenamento de colunas. "Ele calculava sem esforço aparente, como os homens respiram, ou como as águias se sustentam no vento". Euler foi o Shakespeare da matemática - universal, ricamente detalhista e incansável. Teoremas principais: adição de séries; teorema das pontes de Königsberg. Principais obras: Introductio in analysin infinitorum; Institutiones calculi differentialis; Institutiones calculi integrali; Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum; Mechanica; Letters to a German princess Fermat, Pierre de (1601-1665) Fermat nasceu no seio de uma próspera família francesa. Estudou os clássicos e aprendeu latim, grego, italiano e espanhol. Um dos maiores matemáticos do século dezessete, Fermat hesitou em publicar sua obra e raramente escreveu descrições completas até para uso próprio. A maior parte de sua obra foi registrada em correspondências trocadas com seus amigos matemáticos Gassendi, Huygens e Mersenne. Ele foi um dos co- fundadores, junto com Descartes, da geometria analítica. Beneficiou-se lendo as obras de Viète. O livro de Fermat Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to plane and solid loci) continha um sistema mais direto e claro do que o La géométrie, de Descartes. Fermat ficou famoso por sua obra sobre a teoria dos números. Seu famoso "último teorema" não demonstrado (considerando a equação xn + yn = zn, não existem valores inteiros para x, y e z que a satisfaçam, quando n é um número inteiro maior do que 2) é conhecido por uma observação que ele colocou na margem de um livro. Após muitos matemáticos talentosos terem durante o período de cem anos falhado em demonstrá-lo, esse famoso teorema foi recentemente provado por Andrew Wiles, de Princeton. O nome de Fermat caiu em relativa obscuridade até o final de 1800 e foi a partir de uma edição de suas obras publicadas na virada do século que a verdadeira importância de suas realizações tornou-se clara. Além de seus trabalhos no campo da física e da teoria dos números, Fermat concebeu o conceito de que a área sob uma curva poderia ser vista como o limite das somas das áreas do retângulo (como vemos hoje) e também desenvolveu um método para encontrar os centros das formas demarcadas por curvas no plano. A fórmula padrão para calcular o comprimento Guido Fubini (1879-1943) Fubini freqüentou a escola secundária em Veneza, Itália, onde se mostrou um aluno brilhante de matemática. Mais tarde concluiu seu doutorado em geometria pela Scuola Superiore di Pisa. Em seguida trabalhou nas funções harmônicas em espaços curvos. Ele lecionou na Universidade de Catânia, na Sicília, e mais tarde nas universidades de Gênova e de Turim. Os interesses de Fubini eram amplos, da geometria diferencial à análise e aplicação das equações diferenciais. Durante a Primeira Guerra Mundial utilizou seu trabalho em benefício do exército italiano nas áreas de precisão de artilharia, propagação acústica e circuitos elétricos. Durante a Segunda Guerra, quando o fascismo tomou conta da Itália, ele foi forçado a renunciar a sua posição em Turim e a deixar a Itália. Acabou emigrando para os Estados Unidos com a família, onde lecionou por alguns anos, até sua morte. O trabalho de Fubini em cálculo envolveu a integral de Weierstrass, as integrais de superfície e as séries de Taylor. Diz-se que ele foi uma das mentes mais originais no campo da matemática durante a primeira metade do século vinte. Galilei, Galileu (1564-1642) Galileu foi um matemático e astrônomo italiano que tentou aplicar a matemática às áreas de trabalho que desenvolvia: astronomia, física da cinemática e resistência dos materiais. Devido ao trabalho essencial desenvolvido por Galileu nessas áreas, ele é considerado o fundador da mecânica e da física modernas. Sem recursos para freqüentar a Universidade de Pisa, foi autodidata em matemática, estudando Euclides e Arquimedes. Baseando-se nos trabalhos de Arquimedes, Galileu melhorou os conceitos e os resultados no campo da hidrostática. Em pouco tempo, tornou-se professor de matemática na Universidade de Pisa e depois na Universidade de Pádua. Nessa última, desenvolveu as conclusões do movimento de queda livre sob a ação da gravidade e o movimento dos planetas. Seu trabalho sobre astronomia foi publicado em seu famoso livro Sidereus nuncius (The starry Messenger). Principal obra: Sidereus nuncius Citações: "Quando o bom senso faltar, a razão deve intervir". "Se eu iniciasse novamente meus estudos, seguiria a orientação de Platão e começaria com a matemática". "Os infinitos e os indivisíveis transcendem nossa compreensão finita. O primeiro devido à sua magnitude; o segundo, devido à sua limitação. Imagine o que eles representam quando combinados." Gauss, Carl Friedrich (1777-1855) Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha, e estudou na Universidade de Göttingen. Contribuiu tanto para a matemática pura quanto para a aplicada. Suas conquistas na ciência e na medicina são extraordinárias, desde a invenção do telégrafo elétrico (com Wilhelm Weber em 1833) até o desenvolvimento da teoria da órbita dos planetas e o desenvolvimento da precisa teoria da geometria não-euclidiana. Gauss exigia que suas publicações e provas de teoremas fossem perfeitas e a ele credita-se muitos avanços na álgebra, na teoria dos números, nas equações diferenciais e em cálculo. Seu principal trabalho intitula- se Disquisitiones arithmeticae (de 1801), além de Theoria motus corporum celestium (de 1809) Gauss foi professor de matemática em Göttingen e sua presença fez da instituição o centro do mundo matemático. Ele, porém, mantinha-se distante e inacessível, principalmente dos calouros. Foi responsável pela apresentação da primeira prova satisfatória do Teorema Fundamental da Álgebra. Suas descobertas eram tão importantes e numerosas que ele era freqüentemente chamado de "Príncipe da Matemática". Gauss provou o teorema da divergência enquanto trabalhava na teoria da gravitação, mas suas anotações só foram publicadas muito tempo depois, o que fez com que outros recebessem crédito por ela. Hoje o teorema é, algumas vezes, chamado de Teorema de Gauss. Ele estabeleceu a teoria potencial como um ramo coerente da matemática e reconheceu que a teoria de funções de uma variável complexa era a chave para a compreensão de muitos resultados necessários nas equações diferenciais aplicadas. Gauss considerava a matemática uma ciência e a aritmética seu componente mais importante. Principais teoremas: teorema da divergência. Principais obras: Disquisitiones arithmeticae; Theoria motus corporum celestium. Citações: "Na matemática, não há controvérsias verdadeiras". "Tenho o resultado, mas ainda não sei como obtê-lo." Green, George (1793-1841) Green era um cientista autodidata de Nottingham, Inglaterra, e foi o responsável pelo Teorema de Green. Seu trabalho nos fundamentos matemáticos da gravitação, da eletricidade e do magnetismo foi publicado em 1828, em um pequeno livro intitulado An essay on the application of mathematical analysis to electricity and magnetism. O livro vendeu 52 cópias (menos de cem exemplares foram impressos) e foi vendido principalmente aos seus amigos pessoais e aos seus patrocinadores. Poucas semanas antes da morte de Green, em 1841, William Thomson viu uma referência ao livro de Green, cuja cópia conseguiu obter em 1845. Empolgado pelo que leu, Thomson apresentou as idéias de Green a outros cientistas e o livro foi publicado novamente em uma série de artigos para revistas científicas. O legado de Green foi a base para o trabalho de Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros que elaboraram a teoria atual do eletromagnetismo. Principal obra: An essay on the application of mathematical analysis to electricity and magnetism. Gibbs, Josiah Willard (1839-1903) Gibbs nasceu em Connecticut e seu pai era professor de literatura em Yale. Ele estudou em Yale, mas durante a gradução era conhecido mais como um aluno da área de humanas do que como um matemático. Entretanto, durante sua pós-gradução, também em Yale, trabalhou em um problema de ciência aplicada e considera-se que o primeiro doutorado em engenharia e o segundo em ciência, nos Estados Unidos, foram conferidos a ele. Depois, Gibbs foi para a Europa, onde ficou estudando e trabalhando em física matemática durante três anos. Quando voltou para Yale, tornou-se professor de matemática Suas contribuições ocorreram no campo da termodinâmica, da eletromagnética e da mecânica estatística, mas é pelo seu trabalho inicial que Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial. Aristóteles utilizou vetores para descrever os efeitos das forças, e a idéia de transformar vetores em componentes geométricos paralelos ao eixo das coordenadas foi inspirada em Descartes. A álgebra dos vetores utilizada atualmente foi desenvolvida simultânea e independentemente, na década de 1870, por Gibbs e pelo físico e matemático inglês Oliver Heaviside. Os trabalhos desses dois matemáticos surgiram de complicadas teorias matemáticas desenvolvidas alguns anos antes pelo matemático irlandês William Hamilton e pelo geômetra alemão Hermann Grassmann. O quatérnion de Hamilton e as formas algébricas de Grassmann ainda são usados, mas principalmente em trabalhos mais teóricos. A análise de vetor é usada com mais freqüência e é importante, de diversas formas, em cálculo e em outros ramos da matemática. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descrevia a convergência e o fenômeno de Gibbs das séries de Fourier. Grassmann, Hermann (1809-1877) Grassmann nasceu na Prússia (atual Polônia) e freqüentou a Universidade de Berlim. Apesar disso, foi autodidata em matemática e em física, tornando-se professor do ensino médio e trabalhando em suas pesquisas sem receber qualquer tipo de apoio. Em 1844, publicou Die lineale Ausdehnungslehre, que apresentava novos conceitos sobre cálculo geométrico. Grassmann foi o responsável pela apresentação do espaço vetorial n-dimensional e por novos conceitos e estruturas na álgebra linear. Infelizmente, o livro de Grassmann era difícil de ser lido, o que fez com que fosse completamente ignorado por outros matemáticos. Decepcionado com a rejeição, afastou-se da matemática, apesar de periodicamente revisitar a ciência para tentar revitalizar seu trabalho. Infelizmente, apenas após sua morte outros avançada do século vinte. Após cem anos, muitos desses problemas ainda não foram solucionados, mas desafiaram muitos matemáticos neste século. Hermite, Charles (1822-1901) Apesar de ter nascido em uma região disputada tanto pela França quanto pela Alemanha, Hermite considerava-se francês. Estudou no Collège Henri IV, no Collège Louis-le-Grand e na École Polytechnique de Paris. Após se formar, tornou-se professor e examinador, onde ensinou Picard, Borel e Poincaré. Foi um excelente professor e um escritor prolífico, além de um dos fundadores da teoria analítica dos números que utiliza o cálculo para investigar as propriedades dos números. Ele é reconhecido pela transcendência do número "e". Os números que são as soluções de equações polinomiais com coeficientes racionais são denominados algébricos: -2 é algébrico porque satisfaz a equação x + 2 = 0 e rad (3) é algébrico porque satisfaz a equação x ^ 2 - 3 = 0. Números não algébricos são denominados transcendentais, um termo cunhado por Euler para descrever números como "e" e "pi", que parecem "transcender o poder dos métodos algébricos". Mas foi apenas cem anos após a morte de Euler que Hermite provou a transcendência do "e". Poucos anos depois, C.L.F. Lindemann provou a transcendência do "pi". Hoje contamos com definições mais completas. As funções polinomiais e racionais com coeficientes racionais são algébricas, assim como todas as somas, produtos, cocientes, potências racionais e raízes racionais de funções algébricas. As funções que não são algébricas são denominadas transcendentais. As seis funções básicas da trigonometria são transcendentais, assim como os inversos das funções trigonométricas e as funções logarítmicas e exponenciais. Hermite mostrou que a equação do quinto grau pode ser solucionada por meio de funções elípticas. Apesar do seu trabalho teórico, os polinômios e funções de Hermite são muito úteis para solucionar a equação da onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. Hipócrates de Quios (c. 470--c. 410 A.C.) O matemático grego Hipócrates, que ensinou em Atenas, trabalhou em muitos problemas clássicos de geometria, tais como a quadratura do círculo. Muito de seus estudos na geometria estavam inseridos na obra denominada Elements of geometry, que foi perdida, mas que foi publicada nos dois primeiros volumes da obra Elements, de Euclides. O livro de Hipocrátes também apresentava soluções para equações do segundo grau e métodos rudimentares de integrais. Hudde, Johan van Waveren (1633-1704) O matemático holandês Hudde aprendeu matemática em Leiden e estudou métodos para encontrar o máximo e o mínimo. Também desenvolveu resultados fundamentais na teoria das equações. Investigou o fenômeno das múltiplas raízes de um polinômio e desenvolveu procedimentos como o cálculo para descobrir essas propriedades. Hudde aplicou seus estudos à óptica. Leibniz utilizou os trabalhos de Hudde para ajudar a compreender os conceitos que o primeiro desenvolveu posteriormente em cálculo. Após desenvolver trabalhos como matemático por alguns anos, Hudde tornou-se prefeito de Amsterdã. Huygens, Christiaan (1629-1695) Nascido em Haia, Holanda, Huygens estudou matemática na Universidade de Leiden. De família próspera, pôde realizar suas pesquisas matemáticas sem apoio adicional ou salário. Viajou pela Europa e fixou residência em Paris de 1666 a 1680. Seguidor de Descartes, publicou importantes resultados geométricos em Theoremata de quadratura hyperboles, ellipses et circuli e De circuli magnitudine inventa (1654). Mais tarde, estudou a probablidade e publicou Tractatus de ratiociniis in aleae ludo (1657). Huygens abordou o problema de que um relógio de pêndulo cujo prumo faz um movimento de arco circular tem uma freqüência de movimento que depende da amplitude do movimento. Quanto mais amplo o movimento, mais tempo é necessário para que o prumo retorne ao centro. Isso não acontece se o prumo for construído para fazer um movimento cicloidal. Em 1673, movido por uma necessidade de realizar determinações precisas da longitude no mar, Huygens projetou um relógio de pêndulo que seguia esse movimento. O prumo foi preso por um arame fino, restrito por proteções que faziam com que subisse conforme se movimentava. Porém, sua mais notável contribuição foi a teoria ondulatória da luz. Seu trabalho de óptica o auxiliou na astronomia com um telescópio mais potente. Foi usando esse telescópio, mais novo e melhor, que Huygens descobriu os anéis de Saturno, que não podiam ser distinguidos por meio dos demais telescópios até então existentes. Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804-1851) Jacobi, um dos cientistas alemães de maior êxito do século dezenove, desenvolveu a teoria dos determinantes e das transformações em uma ferramenta importante para a avaliação da integral múltipla e para a resolução das equações diferenciais, além de aplicar métodos de transformação para estudar as integrais como aquelas que surgem no cálculo do comprimento do arco. Assim como Euler, Jacobi era um escritor que produzia bastante, um perito em cálculo, em matemática e em diversas áreas aplicadas Citação: "O verdadeiro fim da ciência é a honra da mente humana". Kepler, Johannes (1571-1630) O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler foi o primeiro cientista a solicitar explicações físicas dos fenômenos celestes. Suas três leis do movimento dos planetas, resultados do trabalho de toda sua vida, mudaram a astronomia e tiveram um papel fundamental no desenvolvimento da física de Newton e do cálculo. Seu trabalho favoreceu o descrédito do modelo geocêntrico de Ptolomeu e a aceitação da teoria heliocêntrica de Copérnico. Kepler estudou na Universidade de Tübingen (1589 - 1594) e foi um aluno brilhante. After graduating, Kepler taught mathematics at Graz. Após se formar, ensinou matemática em Graz. Depois, mudou-se para Praga para auxiliar o astrônomo Tycho Brahe, a quem sucedeu e razão pela qual teve acesso às observações astronômicas recolhidas por Brahe. Kepler começou a construir as Tábuas Rudolfinas, que forneceram observações planetárias bastante precisas. Ele utilizou os dados da órbita de Marte para determinar que ela era elíptica, sendo que o Sol ocupa um dos focos. A primeira e a segunda lei de Kepler (órbitas elípticas, igualdade das áreas varridas pelos movimentos de planetas) foram publicadas no seu livro Astronomia nova (New astronomy, de 1609). Kepler elogiou os avanços realizados no Starry messenger de Galileu, publicado um ano depois. Seu livro Harmonice mundi (Sobre a harmonia do mundo) apresentava sua terceira lei (proporção cubo:quadrado). Alguns dos resultados apresentados em seus livros são muito semelhantes aos descobertos depois e utilizados no cálculo integral. Principais obras: Astronomia nova; Harmonice mundi. Citações: "Onde há matéria há geometria". "Feliz é o homem que se dedica ao estudo dos céus... esse estudo lhe trará a felicidade". Kirchhoff, Gustav Robert (1824-1887) Kirchhoff foi aluno de Gauss e contribuiu para resultados importantes no campo da física. O conjunto de equações diferenciais, denominado "Leis de Kirchhoff", trata de corrente, voltagem e resistências de circuitos elétricos. Em 1875, foi indicado para a cátedra de física matemática na Universidade de Berlim. Principal obras: quatro volumes de Vorlesungen uber mathematische Physik (1876-1894). Klein, Christian Felix (1849-1925) Nascido em Düsseldorf, Alemanha, Klein estudou na Universidade de Bonn. Pretendia ser físico mas após terminar a faculdade, interessou-se pela geometria, interesse que manteve por toda a vida. Tornou-se professor da Universidade de Erlangen em 1872. Seus trabalhos e percepções unificaram a então estilhaçada geometria. Editor de revistas e palestrante, foi aos Estados Unidos diversas vezes e teve grande influência na vitalização da matemática naquele país. Em 1886, tornou-se professor em Göttingen e foram seus esforços que transformaram essa universidade em um centro de Citação: "Enquanto a álgebra e a geometria seguiam caminhos separados, o progresso de ambas era lento e suas aplicações eram limitadas. Porém, quando essas ciências se uniram, complementaram-se, contribuindo com nova vitalidade e progredindo em ritmo acelerado". Laplace, Pierre-Simon (1749-1827) Matemático e astrônomo, Laplace nasceu na Normandia, França. Estudou na Universidade de Caen e aos 19 anos mudou-se para Paris para lecionar na École Militaire. De 1795 a 1799, foi professor da École Polytechnique. No início, Laplace causou impacto por solucionar um problema complexo de gravitação mútua que frustrou tanto Euler como Lagrange. Ele era um dos cientistas mais influentes de sua época e era chamado de "Newton da França" pelos seus trabalhos e contribuições para a compreensão da estabilidade do sistema solar. Ele generalizou as leis da mecânica para serem aplicadas no movimento e propriedades de corpos celestes. Também é famoso pelos grandes tratatos: Mécanique céleste (1799--1825) e Théorie analytique des probabilités (1812), que se desenvolveram, em grande parte, por meio das técnicas matemáticas que Laplace havia desenvolvido quando mais jovem. Entre essas técnicas encontram-se as funções geratrizes, os operadores diferenciais e as integrais definidas. Principais obras: Mécanique céleste; Théorie analytique des probabilités. Citações: "Leia Euler, leia Euler, ele é o mestre de todos nós." "Sabemos muito pouco, mas o que desconhecemos é imenso". "Todos os efeitos da natureza não passam de resultados matemáticos de um número restrito de leis imutáveis" Legendre, Adrien-Marie (1752-1833) A educação matemática recebida por Legendre era muito mais avançada que a oferecida pelas escolas parisienses do século dezoito. Ele teve a sorte de contar com Joseph-François Marie, professor de pós-graduação, como seu professor de matemática quando ainda era aluno do ensino fundamental. Legendre era muito inteligente e se formou muito jovem. Logo depois, ensinava matemática na École Polytechnique. Em 1782, ganhou um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim. Naquele ano, o assunto da premiação era ligado à balística exterior: "Determine a curva descrita por balas de canhão e bombas, considerando a resistência do ar, e apresente as regras para obter as variações correspondentes às diferentes velocidades iniciais." Legendre desenvolveu essas equações a partir do excelente trabalho realizado com as equações diferenciais. Legendre encontrou e desenvolveu os polinômios, que hoje levam seu nome, em sua pesquisa sobre a atração gravitacional de elipsóides. Ele dedicou 40 anos de sua vida à pesquisa das integrais elípticas. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha. Ainda bem jovem, pôde dispor da biblioteca montada pelo pai. Em contato com uma ampla gama de autores clássicos, tornou-se um leitor voraz para o resto da vida. Aos 15 anos, ingressou na Universidade de Leipzig, onde recebeu a maior parte de sua educação formal. Seu interesse pela matemática surgiu pelas inúmeras citações sobre a importância dessa matéria nos trabalhos filosóficos. Depois, freqüentou a Universidade de Altdorf, próxima a Nuremberg, onde se formou doutor em Direito. Em Paris, trabalhou nessa área para financiar seus estudos matemáticos. Leibniz somou seqüências de números poligonais recíprocos e, seguindo o trabalho de St. Vincent, somou e analisou as seqüências geométricas. Estudou as funções trigonométricas a partir dos trabalhos de Huygens. Em 1671, desenvolveu uma máquina que conseguia não só somar e subtrair, mas também multiplicar, dividir e extrair raízes quadradas. A calculadora de Leibniz funcionava com engrenagens e oferecia um alcance de um comando para outro. Essa foi a primeira calculadora para uso geral e seus princípios ainda são usados nas máquinas de calcular mecânicas. No final de 1675, Leibniz estabeleceu as bases do cálculo diferencial e do cálculo integral. Para o cálculo, desenvolveu a notação atual e vários métodos computacionais para a derivada e para a integral. Apesar de ele nunca ter considerado uma derivada um limite, descobriu muitos dos resultados que hoje estudamos em cálculo. Com Newton, Leibniz divide os créditos como aquele que desenvolveu o cálculo. Principais teoremas: teorema fundamental do cálculo; séries para o "pi". Citações: "O que ele realizou foi a melhor parte, se levarmos em conta a matemática dos primórdios do mundo e a da época de Newton." "É perda de tempo que homens inteligentes gastem horas como escravos fazendo cálculos, o que poderia ser seguramente feito por qualquer outra pessoa se as máquinas fossem utilizadas". L'Hospital, Guillaume de (1661-1704) No final de 1600, John Fernoulle descobriu uma regra para calcular os limites das frações cujos numeradores e denominadores fossem próximos de zero. Hoje a regra é conhecida como "Regra de L´Hospital". L´Hospital era um nobre francês que escreveu um texto de introdução ao cálculo no qual a regra era apresentada pela primeira vez. A regra de L´Hospital freqüentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas vezes, funciona onde outros métodos falharam. Em 1691, Johann Bernoulli concordou em aceitar um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L'Hospital para solucionar os problemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto. Um desses problemas intitulava-se "problema 0/0", solucionado por Bernoulli. Quando L´Hospital publicou seu livro de cálculo em 1696, a regra de "0/0" era apresentada como um teorema. Ele reconheceu sua dívida para com Bernoulli e, para não se intitular único autor, não colocou seu nome no livro. Entretanto, Bernoulli acusou L´Hospital de plágio por publicar no livro os resultados que ele obtivera. Principal obra: o primeiro livro de cálculo (Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des linges courbes). Lindemann Carl Louis Ferdinand (1852-1939) Lindemann estudou matemática em Göttingen, onde recebeu o título de doutor sob a orientação de Felix Klein. Escreveu artigos sobre diversas áreas da matemática e hoje é lembrado pelo seu trabalho sobre a transcendência do "pi", de 1882. Esse trabalho solucionou, de forma definitiva, o antigo problema da quadratura do círculo. Lindemann também realizou trabalhos no campo da história da matemática. Foi um instrutor atuante e um dos fundadores do moderno sistema educacional alemão, tendo supervisionado mais de 60 alunos de doutorado. Principal teorema: transcendência do "pi." Mach, Ernst (1838-1916) O físico austríaco Ernst Mach contribuiu enormemente para a aplicação da matemática no campo da óptica, da mecânica e da propagação da onda. Estudou na Universidade de Viena e lecionou na Universidade de Graz, na própria Universidade de Viena e na Charles University de Praga. Sua contribuição mais importante veio da análise das ondas sonoras e da propagação das ondas utilizando técnicas ópticas e fotográficas para produzir modelos de equação diferencial. Mach exigiu que todos os seus resultados fossem verificados fisicamente. Suas teorias sobre a inércia foram importantes e inspiraram os trabalhos de Einstein sobre a relatividade. Citação: "Por mais estranho que possa soar, o poder da matemática reside na sua evasão de todo pensamento desnecessário e na sua maravilhosa falta de operações mentais." Maclaurin, Colin (1698-1746) Em 1709 Maclaurin ingressou na Universidade de Glasgow, onde encontrou-se com Robert Simson, professor de matemática. Em 1715 ele defendeu sua tese On the power of gravity (Sobre o poder da gravidade), obtendo o doutorado. Em 1617 Napier inventou um dispositivo mecânico feito de osso no qual os números eram estampados. Quando combinados apropriadamente, "os ossos de Napier" podiam realizar a multiplicação. Os ossos de Napier foram utilizados por Oughtred em 1630 na invenção da régua de cálculo. Ele também realizou outros trabalhos matemáticos, incluindo a trigonometria esférica e o desenvolvimento da notação decimal. Principais obras: Mirifici logarithmorum canonis descriptio; Mirifici logarithmorum canonis constructio. Newton, Isaac (1642-1727) Em sua juventude na Inglaterra, Newton interessou-se pelos dispositivos mecânicos e suas teorias subjacentes. Na realidade ele construiu lanternas e moinhos-de-vento projetados por ele. Entre os livros que Newton estudou estavam Optics, de Kepler, The elements, de Euclides, e La géométrie, de Descartes. Ele também estudou as obras de Glanvillee, Boyle e a astronomia copérnica de Gassendi, que foram então publicadas com Sidereus nuncius de Galileu e Dioptrice de Kepler. Newton ingressou no Trinity College, em Cambridge, graduando-se em 1665. Quando tinha 26 anos, Newton foi nomeado professor "lucasiano" (da cátedra fundada por Henry Lucas) em Cambridge, o que fazia com que tivesse de dar pelo menos uma aula por semana. Ele já havia desenvolvido muito de cálculo e obtivera muitos resultados importantes no campo da física. Por volta de 1680, quando Newton estava escrevendo Principia, ele raramente deixava seu quarto. Ele se correspondia direta e indiretamente com cientistas de toda a Inglaterra e do continente europeu, incluindo Boyle, Collins, Flamsteed, David Gregory, Halley, Hooke, Huygens, Leibniz e Wallis. Halley desempenhou um papel significativo ao fazer com que Newton escrevesse Principia. Newton era um erudito com grande intelecto e capacidade tremenda para resolução de problemas. Entre 1670 e 1680, ele construiu sua reputação como um gênio científico. Foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Sua influência na matemática foi tão grande que a matéria é às vezes dividida entre a matemática "pré-newtoniana" e a "pós-newtoniana". As contribuições de Newton incluíram a teoria da gravitação universal, as leis do movimento, métodos de cálculo e a composição da luz branca. Ele é considerado por muitos o maior cientista que já existiu. Principal teorema: teorema do binômio. Principal obra: Principia (título completo: Philosophiae naturalis principia mathematica). Citação: "Se consegui ver mais além foi porque estava sentado nos ombros dos gigantes". "É a glória da geometria o fato de, a partir de poucos princípios, (...) sermos capazes de realizar tanto." "It is the glory of geometry that from so few principles, … it is able to accomplish so much." Oresme, Nicole (c. 1320-1382) O francês Oresme ingressou na Universidade de Paris por volta de 1340, estudando teologia e artes liberais. Mais tarde tornou-se professor e reitor da mesma universidade. Serviu a realeza como professor e como erudito e, por isso, obteve apoio para suas pesquisas. Traduziu Aristóteles para o francês e por fim tornou-se bispo. Começou a pensar em matemática e em particular em taxas de variação, como velocidade e aceleração. Seu trabalho intitulado De configurationibus (por volta de 1350) continha resultados no campo da geometria e foi o primeiro a apresentar gráficos de velocidades. O argumento que utilizamos para mostrar a divergência das séries harmônicas foi delineado por Oresme nessa publicação. Ele foi um popularizador da ciência e não acreditava no modelo geralmente aceito de Alberto da Saxônia da queda livre. Ele preferia o modelo de Aristóteles da aceleração constante, que se tornou popular entre os eruditos de Oxford por volta de 1330, e que foi por fim aprimorado e testado por Galileu trezentos anos mais tarde. Em outra obra, Algorimus proportionum (Algorithms on ratios), ele utilizou notação exponencial fracional e criou uma álgebra exponencial. Principal teorema: Divergência das séries harmônicas. Principais obras: De configurationibus; Algorimus proportionum. Ostrogradsky, Mikhail Vasilievich (1801-1862) Ostrogradsky foi o primeiro matemático a publicar a prova do teorema da divergência. Ele deixou a Rússia e seguiu para Paris em 1822, após seu título acadêmico na Universidade de Cracóvia ter sido negado por um ministro de assuntos religiosos devido ao seu ateísmo. Lá ele encontrou Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy. Na metade de 1820, enquanto trabalhava na teoria do calor, formulou o teorema da divergência como uma ferramenta para transformar as integrais de volume em integrais de superfície. Pappus de Alexandria (c. 290-350) Pappus foi o que chamamos hoje em dia de "comentarista". Embora fosse o principal matemático grego da sua época, a matemática original que ele criou era muito pequena tanto em estatura quanto em quantidade, em especial quando comparada com grandes matemáticos clássicos como Euclides, Arquimedes e Apolônio. A fama de Pappus reside em sua extensa obra denominada The collection, na qual ele reuniu uma lista eclética de obras antigas (algumas atualmente perdidas) de alguns autores muito importantes. Nesse compêndio, ele acrescentou um número considerável de suas próprias explanações e ampliações. The collection contém oito livros, ou capítulos, cada um existindo como uma obra única. Alguns dos tópicos abordados por Pappus são: cônicas, geometria plana, mecânica e, de especial interesse para os alunos de cálculo, linhas retas tangentes a certas curvas. No livro que trata de mecânica, Pappus foi o primeiro a definir o conceito de centro de gravidade. No final do livro 7, "The treasury of analysis", ele descreveu (sem verificar) duas fórmulas que relacionam determinados centros de gravidade a volumes de sólidos de revolução e suas áreas de superfície. As fórmulas oferecem atalhos para cálculos extensos e complexos. Principal obra: The collection. Citação: "As abelhas (...) devido a uma certa idéia geométrica (...) sabem que os prismas de seção hexagonal são maiores do que os de seção triangular e quadrada, e que haverá mais mel armazenado utilizando o mesmo número de material." Pascal, Blaise (1623-1662) Pascal nasceu na França e foi encorajado pelo pai a estudar ciências. Encontrou Fermat e começou a trabalhar nos problemas de ciências aplicadas. Já em 1640 escreveu um ensaio sobre seções cônicas e Descartes elogiou seu trabalho. Mesmo não gozando de boa saúde, Pascal projetou uma "máquina aritmética" para ajudar o pai na arrecadação de impostos. Completou o primeiro modelo em 1642 e construiu mais cinqüenta versões no decorrer da década seguinte. A máquina era uma pequena caixa com oito dígitos, cada um engrenado a um tambor que mostrava os dígitos em uma janela. Pascal também contribuiu para o desenvolvimento do cálculo diferencial. Mais tarde interessou-se pela física de fluidos sob pressão e outros componentes e conceitos de hidrostática. Após sua pouca saúde afetar suas realizações no campo da ciência, ele se interessou por jogos de azar. Isso fez com que estudasse a probabilidade e suas contribuições para os fundamentos do cálculo da probabilidade. A saúde debilitada e o interesse pelos assuntos religiosos fizeram com que não pudesse se dedicar por completo à matemática. No entanto, continuou produzindo resultados importantes no campo da geometria e da álgebra. Citação: "Quando desejamos demonstrar um teorema geral, devemos aplicar a regra geral a um caso particular; porém, se desejamos demonstrar um caso particular, temos de começar com a regra geral. Isso porque sempre achamos obscuro o que queremos provar e achamos claro o que usamos como prova." Charles Emile Picard (1856-1941) Picard freqüentou a École Normale Superieure e era um rapaz que adorava escalar montanhas e viajar. Lecionou na Universidade de Paris e na Sorbonne. Seu método de aproximação sucessiva foi utilizado para mostrar a existência de soluções para as equações diferenciais. Ele continuou o estudo das integrais de superfície iniciado por Abel e Riemann. Aplicou sua matemática à física, à elasticidade, à eletricidade e à condução de calor. Casou-se com a filha de Hermite e ajudou a publicar muitos trabalhos dele. Riemann, Bernhard (1826-1866) Riemann nasceu em Hanover, Alemanha. Foi uma criança brilhante e leu as obras de Euler e Legendre quando ainda era garoto. Ingressou nas universidades de Göttingen e de Berlim. Obteve seu doutorado sob a orientação de Gauss, com uma tese sobre a teoria das variáveis complexas. Também trabalhou com o físico Wilhelm Weber. Durante seus primeiros trabalhos tentou introduzir as idéias fundamentais da geometria diferencial. Continuou estudando e contribuiu no campo da dinâmica, da geometria não- euclidiana e da física computacional. Prosseguiu seus trabalhos como palestrante em Göttingen e por fim tornou-se professor em 1859. Infelizmente, sofria de tuberculose e nos últimos anos de vida só pôde se dedicar ao trabalho algumas horas por dia. Roberval, Gilles Personne de O francês Roberval estudou matemática quando jovem e tornou-se professor de matemática. Trabalhou com Mersenne e Pascal nos primeiros estágios do cálculo tentando compreender as integrais e as derivadas. Tornou-se professor do Collège Royale. Foi capaz de desenvolver habilidade e conhecimento suficientes para integrar o seno (x) e computar a extensão do arco de uma espiral. Principal obra: Traité des indivisibles. Rolle, Michel (1652-1719) O matemático francês Michel Rolle foi um autoditada em matemática. Trabalhou como contador e estudou álgebra e as equações diofantinas sempre que encontrava tempo. Após produzir uma solução para um problema matemático recreacional colocado por Ozanam, recebeu apoio para sua pesquisa matemática e uma colocação no serviço do governo. Em 1690 publicou Traité d'algèbre, que continha avanços na notação e nos métodos para resolução das raízes das equações. No ano seguinte, publicou Démonstration d'une méthode pour resoudre les egalitez de tous les degrez, que continha o teorema que leva seu nome. Quando Rolle publicou seu famoso teorema em 1691, seu objetivo era mostrar que entre cada dois zeros de uma função polinomial há sempre um zero da derivada polinomial. No entanto, ele não confiou nos novos métodos de cálculo e gastou tempo e energia consideráveis denunciando seu uso e atacando o livro de cálculo de L'Hospital. É uma ironia que hoje em dia Rolle seja lembrado por sua contribuição em um campo que tentou desacreditar. Principal teorema: teorema de Rolle (1691). Principais obras: Traité d'algèbre (1690); Démonstration d'une méthode pour resoudre les egalitez de tous les degrez (1691). Runge, Carl (1856-1927) O físico matemático alemão Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolução das equações diferenciais que surgiram em seus estudos do espectro atômico. Esses métodos numéricos ainda são utilizados hoje. Runge utilizou tanta matemática em sua pesquisa que os físicos achavam que ele era um matemático, e realizou tanto no campo da física que os matemáticos pensavam que ele fosse um físico. Runge estudou na Universidade de Munique e mais tarde transferiu-se para a Universidade de Berlim, tornando-se aluno de Weierstrass. Mais tarde trabalhou com Kronecker nos problemas de álgebra. Durante muitos anos lecionou na Technische Hochschule de Hanover e aplicou a matemática aos problemas de física e da química. Em 1904, Felix Klein convenceu seus colegas de Göttingen a criar para Runge o título de único catedrático de matemática aplicada da Alemanha. Ele foi o primeiro e único ocupante dessa cátedra. Mais tarde Runge ajudou Klein a alterar o currículo alemão de matemática para incluir as aplicações. Hoje seu nome está associado aos métodos Runge-Kutta para resolver numericamente as equações diferenciais. M. W. Kutta (1867-1944), outro matemático alemão, também é lembrado por sua contribuição para a teoria Kutta-Joukowski do aerofólio na aerodinâmica. Saint Vincent, Gregory (1584 -1667) Nascido na Bélgica, St. Vincent estudou matemática em Douai. Foi aceito na ordem jesuíta em 1607 e, em 1613, ordenou-se padre. Lecionou matemática no colégio jesuíta da Antuérpia. Lá publicou Theses de cometis e Theses mechanicae. St. Vincent foi para Louvain para lecionar e trabalhar. Pediu aos oficiais da igreja em Roma permissão para publicar seu trabalho sobre quadratura do círculo, mas teve seu pedido negado. Foi chamado a Roma para modificar seu manuscrito; no entanto, foi acometido de um infarto antes de fazê-lo. St. Vincent seguiu para Ghent para escapar da guerra na Europa, deixando para trás seus escritos. Felizmente seus trabalhos foram salvos e devolvidos a ele dez anos depois, em 1641. Finalmente, sua obra, completada muitos anos antes, foi publicada na Antuérpia em 1647 como Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni. Esse livro continha séries geométricas, cônicas, métodos de quadratura (similares ao método de Cavalieri) e quadratura do círculo (o erro na integral utilizada foi identificado por Huygens em 1651). St. Vincent realizou importantes contribuições para o desenvolvimento do cálculo e seus livros foram lidos pelas gerações de matemáticos seguintes, à medida que interligavam idéias e refinavam os conceitos de cálculo. Principal obra: Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni Thomas Simpson (1710-1761) Simpson foi um escritor bem-sucedido, cujo trabalho residiu principalmente no campo da probabilidade. Lecionou na Royal Military Academy de Woolwich. Seus primeiros artigos foram publicados no Ladies' Diary. Mais tarde ele tornou- se editor desse jornal popular. A regra de Simpson de aproximação das integrais definidas foi desenvolvida e utilizada muito antes de ele ter nascido. Trata-se de mais uma bela singularidade da história o fato de que um dos mais hábeis matemáticos do século dezoito seja lembrado não por sua própria obra ou seus textos, mas por uma regra que nunca foi dele, que ele nunca reclamou e que leva seu nome apenas porque ele a mencionou em um de seus livros. Principais obras: A new treatise of fluxions; The laws of chance. Livros didáticos: Álgebra, Geometria e Trigonometria. Sluse, René-François de (1622-1685) Sluse nasceu na Bélgica, no seio de uma família próspera. Obteve seu título de doutor em direito pela Universidade de Roma, em 1643. Após graduar-se, estudou astronomia e matemática, em especial os novos resultados da geometria de Cavalieri. Tornou-se o cânone da catedral de Liège e ocupava-se tanto com suas funções administrativas que tinha pouco tempo para se dedicar ao trabalho científico. Porém, manteve extensa correspondência sobre a matemática com Pascal e Huygens. Ele desenvolveu novos resultados na resolução de equações e cônicas e publicou seus resultados em Mesolabum (1659). O desenvolvimento de Sluse dos métodos genéricos para encontrar tangentes e curvas, aperfeiçoando os resultados de Descartes, fazem dele um pioneiro no desenvolvimento do cálculo. Leibniz tomou conhecimento de muitos resultados no campo da geometria analítica ao ler Sluse. Ele também aplicou seus novos métodos matemáticos à astronomia e à física. Principal obra: Mesolabum (1659) Snel, Willebrord (1580-1626) Snel nasceu em Leiden, Holanda. Seu pai era professor de matemática na Universidade de Leiden e Snel foi seu aluno. Quando o pai morreu, ele sucedeu-o como professor. Viajou por toda a Europa encontrando cientistas como Brahe e Kleper. Muitos dos seus trabalhos aplicavam a matemática à determinação do tamanho e da forma da Terra e à confecção de mapas e pesquisas. Em 1624 ele publicou Tiphys batavus, um livro sobre navegação. Ao aplicar a matemática à astronomia, Snel publicou suas descobertas em dois livros: Cychometricus de circuli dimensione e Concerning the comet. Ele desenvolveu importantes resultados envolvendo a medida da refração da luz à medida que ela se propaga em meios diferentes. Embora não tenha publicado o trabalho, Descartes o fez dez anos depois da morte de Snel e hoje o resultado é conhecido como "lei de Snel." Principais obras: Tiphys batavus; Cyclometricus de circuli dimensione; Concerning the Comet Stevin, Simon (1548-1620) Stevin nasceu na Bélgica. Foi guarda-livros e estudou ciências como autodidata. Aos 35 anos ingressou na Universidade de Leiden. Era engenhoso em seu uso de notação e de símbolos e promoveu a matemática oferecendo uma simbologia mais compreensível. Compreendeu os conceitos de física e de matemática de aceleração devida à gravidade e em seu livro De Beghinselen der Weeghconst (Principles of the art of weighing) promoveu o avanço dos trabalhos de Arquimedes sobre flutuabilidade, alavancas e planos inclinados. Foi um escritor prolífico e solucionador de problemas e ficou conhecido como "Arquimedes holandês". Suas contribuições abarcaram a aritmética, a álgebra, a geometria, a astronomia, a óptica e a física. e Supplementum geometriae em 1593. Essas obras foram as primeiras a introduzir a notação algébrica simbólica e as técnicas para ângulos trissecados. Ele simplificou a notação da álgebra e foi um dos primeiros a utilizar letras para representar números. Seu livro De aquationum recognitione et emendatione foi publicado apenas após sua morte. Ele continha a teoria das equações, incluindo metódos para resolução das polinomiais de segundo, terceiro e quarto graus e a introdução dos termos negativo e coeficiente. Principal teorema: lei dos co-senos. Principais obras: Harmonicum coeleste; Canon mathematicus seu ad triangula; De aquationum recognitione et emendatione; artem analyticem isagoge; Supplementum geometriae Torricelli, Evangelista (1608-1647) O italiano Torricelli freqüentou a Universidade de Roma e foi assistente de Galileu, sucedendo-o como matemático do grão-duque da Toscânia. Ele aplicou a matemática ao jato do fluido e ao movimento dos projéteis. Desenvolveu métodos semelhantes ao cálculo para calcular o comprimento do arco e encontrar os infinitesimais. Ele também fez telescópios e microscópios projetando lentes finas. Von Neumann, John (1903 -1957) Von Neumann nasceu na Hungria e foi educado na Universidade de Budapeste, onde defendeu tese de doutorado em teoria dos conjuntos. Em 1926 foi nomeado professor-assistente na Universidade de Berlim. Trabalhou com teoria dos conjuntos, álgebra, lógica e mecânica quântica. Em 1930 foi para Princeton para lecionar e após completar seu período permaneceu lá para trabalhar e conduzir pesquisas no Institute for Advanced Study. No instituto ele pôde trabalhar em problemas importantes com outros cientistas e matemáticos de renome. Em 1931 publicou The mathematical foundations of quantum mechanics. Em 1937 começou a trabalhar com o United States Army Ordenance Department em balística. Em 1943 tornou-se consultor em desenvolvimento da bomba atômica. Nessa função, trabalhou no desenvolvimento de computadores para cálculos de balística e explosivos. Projetou memórias de computador, dispositivos de hardware e software para armazenar e executar programas. Após a guerra continuou seu trabalho projetando computadores. Continuou trabalhando para o governo americano como membro da Comissão de Energia Atômica. Von Neumann foi um dos maiores matemáticos do século vinte. Ele escreveu: "O cálculo foi a primeira realização da matemática moderna e não se pode superestimar sua importância. Acredito que ele defina de maneira mais precisa do que qualquer outra o início da matemática moderna; e o sistema de análise matemática, seu desenvolvimento lógico, ainda constitui o avanço técnico mais importante dentro do pensamento exato". Deve-se a Von Neumann a invenção da teoria dos gama como uma disciplina matemática. Ele também realizou trabalhos igualmente importantes no campo da matemática aplicada, da análise funcional e da mecânica quântica. Von Neumann desenvolveu um amplo conhecimento do design de computadores e tornou-se um dos fundadores da nova disciplina de ciências da computação. Foi um generalista entre os cientistas contemporâneos, um dos mais respeitados cientistas de sua época. Wallis, John (1616-1703) Wallis nasceu na Inglaterra e estudou no Emmanuel College de Cambridge. Foi um prodígio e ainda menino podia calcular números de cabeça com precisão e velocidade impressionantes. Durante a guerra civil inglesa foi um criptógrafo bem-sucedido e valioso para seu exército. Decifrava os códigos dos inimigos e encriptava as mensagens para seu próprio exército. Mais tarde tornou-se ministro e bispo da igreja, antes de ser nomeado professor "savileano" (da cátedra fundada por Henry Saville) de geometria em Oxford. Em 1655 publicou Arithmetica infinitorum, uma obra importantíssima para o desenvolvimento do cálculo. Seu livro sobre cônicas, Tractatus de sectionibis conicis, foi publicado em 1656 e foi o primeiro a generalizar as cônicas como curvas do segundo grau. Sua obra Algebra: history and practice foi a primeira a apresentar graficamente raízes complexas de equações do quarto grau. Principais obras: Arithmetica infinitorum; Tractatus de sectionibis conicis; Algebra: History and Practice Weber, Wilhelm (1804-1891) Weber estudou na Universidade de Halle. Lecionou física na Universidade de Göttingen e trabalhou com seu amigo Gauss na aplicação da matemática aos campos magnéticos. Por um curto período de tempo mudou-se para a Universidade de Leipzig e depois retornou a Göttingen para trabalhar com Dirichlet como co-diretor do observatório astronômico. Os resultados obtidos por Weber no campo da eletrodinâmica e da estrutura elétrica da matéria ajudaram Maxwell a desenvolver uma teoria eletromagnética da luz. A unidade magnética, um weber, deve seu nome a ele. Weierstrass, Karl (1815-1897) Weierstrass ingressou na Universidade de Bonn para estudar administração pública, mas lá descobriu sua paixão pela matemática. Leu as obras de Laplace, Legendre, Jacobi e Abel. Lecionou durante quatorze anos na escola secundária antes de publicar dois brilhantes trabalhos e receber um convite para lecionar matemática na universidade de Berlim. Em seu trabalho para dar à análise matemática um fundamento lógico, Weierstrass desenvolveu as definições modernas de limite (delta-ipsilon) e de continuidade. Nas aulas proferidas em Berlim na década de 1860, ele também provou diversos teoremas de funções complexas e contínuas. Na primeira metade do século dezenove, a maior parte dos matemáticos acreditava e muitos textos "provavam" que as funções contínuas eram diferenciáveis. Sua idéia de função era limitada a funções definidas por fórmulas algébricas. Weierstrass encontrou contra- exemplos e criou-se uma nova mentalidade a respeito das propriedades das funções. Os padrões rigorosos estabelecidos por ele afetaram consideravelmente o futuro da matemática. Devido a uma séria enfermidade, Weierstrass fazia com que um aluno escrevesse na lousa enquanto ele dava aula. Sua doença, porém, não deteve seu entusiasmo pela matemática. Zenão (c.490 - c.430 a.C.) Zenão de Eléia foi um filósofo. Infelizmente, sabemos pouco sobre sua vida e nenhuma de suas obras sobreviveu. Tomamos conhecimento de sua obra a partir de outras referências. Ele produziu um livro que continha 40 paradoxos, quatro dos quais tiveram efeitos significativos na matemática. A obra de Aristóteles refere-se aos quatro paradoxos de Zenão como "Dicotomia", "Aquiles", "Flecha" e "Estádio". Esses paradoxos envolvem a idéia da soma das séries finitas e da compreensão dos infinitesimais. Aristóteles não foi tomado pelos paradoxos de Zenão e os chamou de "falácias". No entanto, foi só nos tempos modernos e por meio do desenvolvimento do cálculo que os matemáticos desenvolveram a notação e os resultados para lidar adequadamente com as desafiantes contradições de Zenão.