Baixe Noções de Física Quântica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 1 UFRN / CCET / DFTE Novas Concepções da Física 2009.1 / Turma 01 Prof. Márcio R G Maia Texto 4 Noções de Física Quântica I. Introdução: Duas das mais fantásticas revoluções da história da Ciência ocorreram na Europa no início do séc. XX. A primeira iniciou-se em 1905 quando Einstein formulou sua Teoria da Relatividade Especial, a qual veio reformular inteiramente as concepções vigentes sobre a natureza do espaço e do tempo. Por volta de 1915, esta teoria foi estendida pelo próprio Einstein com a publicação dos primeiros trabalhos acerca da Teoria da Relatividade Geral. A segunda grande revolução, iniciada também na primeira metade do séc. XX, levou à formulação do que hoje chamamos Teoria Quântica (ou Mecânica Quântica, ou, ainda, Física Quântica). Esta teoria é necessária quando tentamos entender os fenômenos atômicos e subatômicos. O termo ‘Física Moderna’ refere-se, em geral, a estas duas grandes teorias da Física – Teoria da Relatividade e Teoria Quântica – cuja formulação iniciou-se na primeira metade do séc. XX. A compreensão dos princípios que fundamentam a tecnologia que está sendo, ou está em vias de ser desenvolvida, depende fortemente do entendimento das idéias básicas dessas teorias. Hoje em dia, reserva-se o nome ‘Física Contemporânea’ para designar as conquistas mais recentes da Física, desenvolvidas a partir da segunda metade do século XX. A Física Quântica surgiu da busca de explicações para uma série de fenômenos que foram descobertos por volta do início daquele século e para os quais a Física Clássica não conseguia dar uma explicação satisfatória. A Teoria da Relatividade foi desenvolvida por um só cientista, Albert Einstein. Os fundamentos da Teoria Quântica (ou Mecânica Quântica) foram estabelecidos, também na primeira metade do século XX, por vários físicos, trabalhando de forma mais ou menos independente: Einstein, Planck, Bohr, Born, de Broglie, Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli. A Relatividade Especial surgiu da necessidade de se estabelecer leis físicas que fossem válidas em todos os referenciais inerciais. A Relatividade Geral surgiu da necessidade de se estabelecer uma teoria da gravitação que fosse compatível com os princípios relativísticos. Nela estão contidos os requisitos para que se estabeleçam leis físicas que sejam válidas em todos os referenciais. A Relatividade muda drasticamente nossos conceitos de tempo e de espaço. Suas previsões, contudo, só diferem significativamente das previsões Newtonianas no domínio das altas velocidades (comparáveis à velocidade da luz) e dos campos gravitacionais muito intensos. A Teoria Quântica surgiu para explicar uma série de resultados experimentais que não eram compatíveis com a Física Clássica. Ela muda radicalmente nosso conceito do que seja a matéria e a luz. Suas previsões, contudo, só diferem das previsões clássicas no domínio do muito pequeno (no nível de moléculas, átomos, partículas subatômicas). Lembremos, contudo, que o comportamento microscópico da matéria reflete-se no seu comportamento macroscópico. A idéia central da Teoria Quântica é a da quantização: Várias grandezas físicas não podem (sob certas condições, ou mesmo de forma geral) variar de forma contínua. Só podem assumir valores discretos, ou quantizados. Por exemplo, a carga elétrica de qualquer corpo é sempre um múltiplo inteiro de uma carga elementar, representada pelo símbolo e, que vale, aproximadamente, 1,6 x 10 – 19 coulombs (este é o módulo da carga do elétron e do próton). Ou seja, q = n e, onde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Outras grandezas físicas que, sob certas condições, são quantizadas: energia, momento linear, momento angular. Outra idéia central da Mecânica Quântica: Só podemos fazer previsões probabilísticas sobre o comportamento dos sistemas físicos, ou seja, ela não é uma teoria determinística. Na tentativa de resolver problemas e resultados experimentais inexplicáveis pela Física Clássica no início do séc. XX, os físicos da época enunciaram alguns postulados e hipóteses que se aplicavam (ou pareciam se aplicar) apenas aos fenômenos particulares em questão e não pareciam estar relacionados entre si. Este conjunto de princípios e hipóteses ficou conhecido como a Velha Teoria Quântica. Por não apresentarem uma ligação clara uns com os outros não se constituíam, na verdade, uma teoria física. 2 Posteriormente, Schrödinger e Heisenberg apresentaram uma formalização ampla e consistente que unificava estes princípios e hipóteses mais ou menos desconexas. Surgiu então a moderna Mecânica Quântica. De fato, Schrödinger e Heisenberg construíram formalizações diferentes, mas equivalentes, para a Mecânica Quântica. Estes formalismos são conhecidos hoje como formulação de Schrödinger e formulação de Heisenberg. Na Mecânica Quântica, uma nova constante da natureza desempenha um papel essencial, assim como a velocidade da luz é crucial na Relatividade: trata-se da chamada constante de Planck (h): h = 6,626 X 10 – 34 Joule . segundo. A constante de Planck sempre aparece nas equações fundamentais da Física Quântica. Em muitas ocasiões ela surge nessas equações dividida por 2 π. Isso ocorre com tanta freqüência, que os físicos inventaram um novo símbolo para representar essa combinação, o “h cortado”: sJ10X055,1 2 h 34 ⋅= π = −h . II. Radiação de corpo negro: Todos os corpos irradiam continuamente energia na forma de ondas eletromagnéticas de diversas freqüências, dependendo da sua temperatura. Isso pode ser explicado classicamente como sendo o resultado das acelerações de cargas elétricas devido à agitação térmica (cargas aceleradas emitem ondas eletromagnéticas). Daí o nome radiação térmica para esse tipo de radiação. Um corpo negro é um corpo que seja emissor e absorvedor perfeito (ideal). Um corpo desse tipo absorveria toda radiação incidente sobre ele, bem como emitiria toda a radiação que ele gerasse. Um ‘corpo negro’ não significa, necessariamente, um corpo pintado de preto. Embora idealizado, existem, na prática, sistemas físicos que se comportam essencialmente como corpos negros (veja abaixo). A radiação emitida por um corpo negro é chamada de radiação de corpo negro e depende apenas da temperatura do corpo negro. Uma boa aproximação de um corpo negro é uma cavidade, nas paredes da qual tenha sido feito um orifício bem pequeno (Fig. 1). (‘Bem pequeno’ aqui significa um orifício cuja área seja muito menor que a área da superfície interna da cavidade.) Por que? Bem, imagine que luz (radiação eletromagnética qualquer) penetre na cavidade através desse buraquinho. Em cada uma das reflexões no seu interior parte da luz é absorvida, de tal forma que, após inúmeras reflexões, praticamente toda a energia que penetrou pelo orifício foi absorvida. Assim, a cavidade se comporta como um corpo negro ideal. A radiação contida no interior da cavidade entrará em equilíbrio térmico com as paredes internas. Qualquer luz que saia pelo buraco será, então uma amostra da radiação de corpo negro emitida. Devido a esse exemplo, a radiação de corpo negro é, às vezes, chamada de radiação de cavidade. Fig. 1 Uma cavidade comporta-se como um corpo negro. O ponto importante a ter em mente é que a radiação emitida por um corpo negro (ou por uma cavidade nas condições acima) independe do material de que o corpo é feito; depende apenas da temperatura. A Fig. 2 mostra uma grandeza proporcional à intensidade da radiação de corpo negro em função da freqüência. Fig. 2 Gráfico de uma grandeza proporcional à intensidade da radiação emitida por um corpo negro em função da freqüência. 5 IV. O postulado de de Broglie e a dualidade onda partícula: O fato de a luz apresentar um caráter dual, isto é, poder apresentar tanto características de onda como de partícula, levou Louis Victor de Broglie, em 1924, a considerar a hipótese de que os entes que normalmente consideramos como sendo partículas (elétrons, nêutrons, prótons, etc.) também apresentarem essa natureza dual: eles poderiam apresentar também aspectos ondulatórios. Se quisermos descrever uma partícula como uma onda, precisamos descobrir quem seria o comprimento de onda correspondente. Para descobrir isso, vamos voltar a analisar o comportamento dos fótons. Segundo a proposta de Einstein, a energia de um fóton de freqüência f é dada por E = hf. Por outro lado, segundo a Teoria da Relatividade, existe a seguinte relação entre a energia relativística total E de uma partícula, o módulo do seu momento linear relativístico p e sua massa de repouso: E2 = p2 c2 + m2 c4. Ainda segundo a Relatividade, uma partícula massiva não pode alcançar a velocidade da luz. Como os fótons propagam-se exatamente a essa velocidade, sua massa de repouso deve ser nula: mfóton = 0. Assim, para um fóton E 2 = p2 c2 ⇒ E = p c. Usando as relações E = hf e c = f λ, achamos h f = p c ⇒ h c / λ = p c ⇒ λ = h p (momento de um fóton). Louis de Broglie propôs que a relação acima também se aplica à matéria, de modo que, para os entes que nos acostumamos a chamar de partículas, podemos associar um comprimento de onda dado por p h =λ (comprimento de onda de de Broglie). Não percebemos diretamente a ‘natureza quântica da realidade’ no mundo macroscópico devido ao fato de h ser muito pequena. Davisson e Germer, em 1927, realizaram a primeira experiência de difração de elétrons. Eles aceleraram e fizeram incidir feixes de elétrons sobre uma amostra de níquel. Um detector móvel permitia determinar a posição dos elétrons dispersados pelo níquel. O resultado mostrou que os elétrons apresentavam regiões de máximo e de mínimo, evidenciando o fenômeno da difração. A figura de difração obtida é muito semelhante àquela resultante da difração de raios-X. A natureza ondulatória dos elétrons foi confirmada independentemente no Reino Unido por G. P. Thomson, filho de J. J. Thomson (Fig. 5). Experiências posteriores com outras partículas (como nêutrons) também confirmaram esses resultados. Fig. 5 Difração de elétrons V. O Princípio da Incerteza de Heisenberg: Nenhuma medida de uma grandeza física é exata. Qualquer medida que obtivermos estará sempre afetada por uma incerteza. O cuidado com que a medição é executada, o método empregado e a qualidade do instrumento usado podem diminuir essa incerteza, mas nunca eliminá-la totalmente. Conseqüentemente, a especificação completa do valor de uma grandeza requer: • um número (e uma direção e sentido, no caso de grandezas vetoriais); • uma unidade (exceto no caso de grandezas adimensionais, como o coeficiente de atrito, por exemplo); • uma indicação da incerteza associada ao valor encontrado. O termo ‘incerteza’ expressa bastante bem a idéia que queremos passar: ele implica que sabemos que o valor de uma grandeza está dentro de um certo intervalo, mas que nós não podemos ter certeza do seu valor verdadeiro. O fato de, tradicionalmente em Ciência, o termo erro ser usado no lugar de incerteza, pode gerar uma certa confusão. Erro aqui não tem o mesmo sentido que a palavra erro usada na linguagem comum, ou seja, não quer dizer que alguém fez algo errado ou que necessariamente cometeu uma besteira na hora de efetuar uma medição ! O resultado de uma medição de uma grandeza física g deve, então, ser escrita como g∆gmedida ±= . Na expressão acima, g representa o valor mais provável da grandeza e ∆g é a incerteza associada com a medição. Ambos podem ser determinados por métodos estatísticos. Por exemplo, se o resultado da medição de uma massa estiver escrito como m = 2,453 kg ± 0,002 kg; isso quer dizer que o valor da massa está compreendido entre 2,451 kg e 2,455 kg, mas que o valor mais provável é 2,453 kg. 6 A idéia de incerteza tem uma grande importância na Física Quântica, devido ao chamado Princípio de Incerteza de Heisenberg. Se quisermos descrever o movimento de uma bola de tênis, por exemplo, não necessitamos recorrer a medidas ultra precisas. Para determinar a coordenada x da bola, uma incerteza ∆x de, digamos, 0,1 mm é excelente! Conhecer a posição de uma bola de 5 a 10 cm de diâmetro com uma precisão de 0,1 mm justifica tratarmos essa bola como uma partícula localizada em um ponto. Esse ponto de vista está na raiz do nosso conceito intuitivo de partícula. Para determinar o movimento clássico de uma partícula submetida a forças conhecidas, admitimos que podemos dizer quais são, exatamente, as condições iniciais – a posição inicial e a velocidade inicial (ou o momento linear inicial) – da partícula. Em outras palavras: supomos que estas condições iniciais podem ser medidas com precisão arbitrariamente alta e que, além disso, o ato de medir não afeta o movimento posterior da partícula. A partir desse conhecimento, a trajetória pode ser determinada com precisão, utilizando-se a 2a. Lei de Newton. Se o elétron, por exemplo, fosse uma bolinha, poderíamos – pelo menos em princípio – medir sua posição e seu momento linear simultaneamente, com precisão ilimitada. Acontece que o elétron não é uma bolinha e estas medições não podem ser feitas !! Não é que estejamos prejudicados por dificuldades relacionadas ao uso de instrumentos de medição inadequados. Mesmo que estivéssemos usando um instrumento de medição ideal, perfeito, estas medidas simultâneas – de posição e momento linear com precisão ilimitada – não poderiam ser obtidas. Também não é que o elétron tenha uma posição e um momento linear exatamente precisos, mas que – por alguma razão – a Natureza não “deixe” que a gente os determine. O que está por trás dessa impossibilidade é que o elétron não é uma partícula, no sentido clássico do termo. Como já tivemos oportunidade de mencionar, a matéria é “alguma coisa” que tem um caráter dual : em algumas situações ela pode apresentar um comportamento corpuscular (isto é, de partícula), em outras, ela apresenta um comportamento ondulatório (isto é, de onda). Vimos que a luz também apresenta este caráter dual. É esta dualidade onda-partícula que está na raiz da impossibilidade de se determinar, simultaneamente, com precisão ilimitada, a posição e o momento linear das ‘partículas’ atômicas e subatômicas. Levando em conta as incertezas inerentes a qualquer medição, as medidas de posição e momento, podem ser escritas como xxx ∆+= e xxx ppp ∆+= . O Princípio da Incerteza de Heisenberg permite representar esta limitação de uma forma quantitativa. Se ∆x for a incerteza na medida de posição de uma ‘partícula’ que se move apenas ao longo do eixo-x e se ∆px for a incerteza na medida do seu momento linear ao longo do eixo-x, este princípio afirma, então, que ∆x ∆px ≥ 2 h . Os símbolos ∆x e ∆px representam, aqui, os valores teóricos mínimos para as incertezas em x e px. Elas são incertezas inerentes à maneira como o nosso Universo funciona e não têm nada a ver com as incertezas associadas a um tipo particular de instrumento de medição. É claro que as incertezas ‘práticas’ continuam existindo. Se você projetar uma experiência para determinar precisamente a posição de um elétron (fazendo ∆x se aproximar de zero), será impossível medir simultaneamente a componente x do seu momento, ∆px, com grande precisão. A rigor, vemos, da relação de Heisenberg, que, se ∆x = 0, então ∆px é infinita e vice-versa ! No caso de um movimento em três dimensões, existem relações semelhantes conectando as incertezas em y e z, de modo que podemos enunciar o Princípio da Incerteza de Heisenberg (algumas pessoas preferem chamá-lo de ‘Relações de Incerteza de Heisenberg’), em geral, como: ∆x ∆px ≥ 2 h ∆y ∆py ≥ 2 h ∆z ∆pz ≥ 2 h . Nada impede que saibamos exatamente a posição x com exatidão em um certo instante e px com exatidão em um outro instante: a restrição imposta pelo Princípio da Incerteza é apenas para medições simultâneas da posição e do momento linear. Relação de incerteza entre energia e tempo: Além dos pares (∆x , ∆px), (∆y , ∆py) e (∆z , ∆pz), outros pares de grandezas físicas estão “amarrados” por relações de incerteza. As grandezas envolvidas em todos estes pares são chamadas de grandezas (ou variáveis) conjugadas. Um deles envolve a energia e o tempo. Suponha que levemos um intervalo de tempo ∆t para medir a energia de um sistema físico qualquer e que ∆E seja a incerteza do valor medido. Então, 2 tE h ≥∆∆ . Veja que, esta relação pode ser escrita como t2 E ∆ ≥∆ h . Assim se queremos medir a energia com alta precisão (pequeno ∆E), devemos levar um tempo muito grande para efetuar a medição. Se ousarmos querer uma precisão infinita na medida de energia (∆E = 0), teremos que levar um intervalo de tempo infinito para efetuar a medição !! O ∆t também pode ser compreendido como o intervalo de tempo no qual o sistema permanece no estado cuja energia é E.