Probabilidades

Probabilidades

(Parte 1 de 2)

Escola De Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda -EEIMVR Universidade Federal Fluminense

Estatística I1

Trabalho Estatística I

Profº Ana Paula

Probabilidades

Redson Fully Roni Peterson Vieira

Escola De Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda -EEIMVR Universidade Federal Fluminense

Estatística I2

Índice

- Histórico -Definição clássica de Probabilidades

-Espaço Amostral

- Eventos

- Eventos Dependentes

- Eventos Independentes

- Eventos Complementares

-Eventos Mutuamente Exclusivos

-Regra da Adição de Probabilidades

-Regra da Multiplicação de Probabilidade

- Probabilidade condicional

-Teorema de Bayes

-Lista de Exercicios

- Bibliografia

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Estatística I3

Histórico

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.

Tal como acontece com a teoria da mecânica, que atribui definições precisas a termos de uso diário, como trabalho e força, também a teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.

Em essência, existe um conjunto de regras matemáticas para manipular a probabilidade. Existem outras regras para quantificar a incerteza, como a teoria de Dempster-Shafer e a lógica difusa ‘fuzzy logic’, mas estas são, em essência, diferentes e incompatíveis com as leis da probabilidade tal como são geralmente entendidas.

O estudo científico da probabilidade é um desenvolvimento moderno. Os jogos de azar mostram que o interesse em quantificar as idéias da probabilidade tem existido por milênios, mas as descrições matemáticas de uso nesses problemas só apareceram muito mais tarde.

Fermat deu uma grande contribuição na Teoria da Probabilidade. Seus avanços nesta área deram-se por volta de 1654, quanto passou a trocar cartas com Pascal. A probabilidade era um assunto desconhecido por Fermat até então, que passou a objetivar descobrir as regras matemáticas que descrevessem com maior precisão as leis do acaso. Posteriormente, ambos determinaram as regras essenciais da probabilidade, e Pascal chegou até mesmo a se convencer de que poderia utilizar as suas teorias para justificar a crença em Deus. Mais especificamente em uma carta datada de 24 de agosto de 1654, endereçada a Pascal, Fermat discute o seguinte problema: dois jogadores A e B, quando A precisa de 2 pontos para ganhar e B 3 pontos, o jogo será certamente decidido em quatro jogadas. Para saber quem tem mais chance de ganhar, o matemático escreve todas as combinações possíveis entre as letras a, que representa uma jogada em favor do jogador A e b, que representa uma em favor do jogador B:

01 –a 09 –baaa 02 –aaab 10 –baab 03 –aaba 1 –baba 04 –ab 12 –babb 05 –abaa 13 –ba 06 –abab 14 –bbab 07 –abba 15 –bbba 08 –abbb 16 –b

Assim, sendo, em um total de 16, têm-se 1 casos favoráveis para A contra 5 favoráveis para B, visto que a ocorrência de 2 ou mais a é favorável para A e a ocorrência de 3 ou mais b para B. A solução dada por Pascal é a seguinte: suponhamos que cada um dos jogadores aposte a mesma quantia, 32 pistolas (moeda da época), aquele que tirar primeiramente três vezes, seguidas ou não, o número que aposta no dado, de 1 a 6, ganhará, num total de quatro partidas. Suponhamos também que o primeiro jogador tenha ganhado duas partidas e o segundo apenas uma. Como dividir, se a partida for

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Estatística I4 interrompida agora, as 64 pistolas ? Pascal explica que, se o jogo terminar empatado então cada um fica com 32 pistolas, logo o primeiro jogador já as tem, porém como ele ainda pode ganhar, deve-se partilhar as outras 32 pistolas, ficando o primeiro jogador com 48 e o segundo com 16.

Este problema foi proposto por Pascal, que incitou Fermat a refletir sobre ele, Rose Ball (1960) explicita apenas mais um problema de probabilidade relacionado a Fermat, que também foi proposto por Pascal e também está relacionado com jogos, tratase da seguinte questão: uma pessoa quer tirar 6 no dado em 8 jogadas, suponhamos que ela tenha feito 3 tentativas e falhado, quanto de dinheiro ela poderia apostar em seu sucesso, ou seja, tirar um 6, na quarta jogada? Fermat raciocinou da seguinte maneira: a chance de se tirar um 6 no dado é de 1/6, logo ela poderia apostar 1/6 do dinheiro, não obtendo sucesso, na segunda tentativa, ela deveria apostar 1/6 do que sobrou do dinheiro, isto é, 5/36, e assim por diante, tendo que apostar na quarta tentativa 125/1296 de seu dinheiro. Isso ilustra o modo descompromissado com que Fermat tratava a probabilidade, resolvendo apenas os problemas que foram postulados por Pascal em suas correspondências.

Christiaan Huygens (1657) deu o primeiro tratamento científico ao assunto. A Arte da Conjectura de Jakob Bernoulli (póstumo, 1713) e a Doutrina da Probabilidade de Abraham de Moivre (1718) trataram o assunto como um ramo da matemática.

Aidéia geral da probabilidade é freqüentemente dividida em dois conceitos relacionados:

Probabilidade aleatória, que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito poder ser dividido em fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e fenômenos que são essencialmente imprevisíveis. Um exemplo para o primeiro tipo é uma roleta, e um exemplo para o segundo tipo é um vazamento radioativo.

Probabilidade Epistemológica, que representa nossas incertezas sobre proposições quando não se tem conhecimento completo das circunstâncias causativas. Tais proposições podem ser sobre eventos passados ou futuros, mas não precisam ser. Alguns exemplos de probabilidade epistemológica são designar uma probabilidade à proposição de que uma lei da Física proposta seja verdadeira, e determinar o quão "provável" é que um suspeito cometeu um crime, baseado nas provas apresentadas.

É uma questão aberta se a probabilidade aleatória é redutível à probabilidade epistemológica baseado na nossa inabilidade de predizer com precisão cada força que poderia afetar o rolar de um dado, ou se tais incertezas existem na natureza da própria realidade, particularmente em fenômenos quânticos governadospelo princípio da incerteza de Heisenberg. Embora as mesmas regras matemáticas se apliquem não importando qual interpretação seja escolhida, a escolha tem grandes implicações pelo modo em que a probabilidade é usada para modelar o mundo real.

Como outras teorias, a teoria das probabilidades é uma representação dos conceitos probabilísticos em termos formais -isso é, em termos que podem ser considerados separadamente de seus significados. Esses termos formais são manipulados pelas regras da matemática e dalógica, e quaisquer resultados são então interpretados ou traduzidos de volta ao domínio do problema.

Houve pelo menos duas tentativas com sucesso de formalizar a probabilidade, que foram as formulações de Kolmogorov e a de Cox. Na formulação de Kolmogorov, conjuntos são interpretados como eventos e a probabilidade propriamente dita como uma medida numa classe de conjuntos. Na de Cox, a probabilidade é entendida como uma

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Estatística I5 primitiva (isto é, não analisada posteriormente) e a ênfase está em construir uma associação consistente de valores de probabilidade a proposições. Em ambos os casos, as leis da probabilidade são as mesmas e a probabilidade conjunta de dois eventos ou proposições é o produto da probabilidade de um deles e a probabilidade do segundo, condicionado na primeira.

Em suma, é razoável pensar que a descoberta de métodos rigorosos para estimar e combinar probabilidades tem tido um impacto profundo na sociedade moderna. Assim, pode ser de extrema importância para muitos cidadãos compreender como estimativas de chance e probabilidades são feitas e como elas contribuem para reputações e decisões, especialmente em uma democracia.

Definição clássica de Probabilidades

Sendo n(A)o número de elementos Ae n(E)o número de elemento do espaço amostral E, (A E), a probabilidade do evento A, que se indica por P(A), é o numero real:

Onde n(A)é o número de casos favoráveis ao evento e n(E)o número de casos possíveis, desde que sejam igualmente prováveis (equiprováveis).

Propriedades 01.P(E) = 1 02.P( ) = 0 03.0 P(A) 1 04.P(A) + P(Â) = 1

Espaço Amostral

Definimos como espaço amostral (E) o conjunto de todos resultados possíveis em um experimento aleatório. Chamamos de experimento aleatório qualquer operação ou procedimento que apresenta as seguintes propriedades: -Existe um conjunto Ude todos os possíveis resultados da operação.

-Na realização da operação, não é possível prever ou antecipar o resultado.

-A operação pode ser realizada n vezes sob as mesmas condições, qualquer que seja n, n N*.

-Para cada valor de n e resultado r,existe um numero natural s , 0 s n,que indica o numero de vezes que o resultado r ocorreu. Os números se (s/n)são chamados, nessa ordem, de freqüência absolutae freqüência relativado resultado rnas n realizações da operação.

-Para cada resultado r possível existe um único numero P(r), tal que, quanto maior for n, tanto mais a fração (s/n) se aproxima de P(r). Essa propriedade (que foi descrita empiricamente) é conhecida com estabilidade da freqüência relativa.

Para que se possa ter um melhor entendimento de espaço amostral, veja o exemplo abaixo:

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Estatística I6

Ex01: Foi lançada uma moeda, as únicas possibilidades são que ao cair sairá cara ou coroa, então seu espaço amostral consiste em cara ou coroa.

Ex02: Um copo de vidro ao cair no chão, tem duas possibilidades de eventos, quebrar ou não, então seu espaço amostral é quebrar ou não quebrar o copo.

E cada elemento do espaço amostral (cara/coroa ou quebrar/não quebrar) é chamado de ponto amostral.

Um espaço amostral (E), com namostras, onde os eventos elementares são todos ‘igualmente prováveis’ é chamado de espaço amostral equiprovável ( ou espaço amostral com amostras equiprováveis). Por exemplo, no lançamento de um dado honesto a freqüência relativa de ocorrência de qualquer uma das faces se estabiliza em torno de um mesmo valor que é igual a 1/6.

Eventos

Todos os subconjuntos pertencentes ao espaço amostral (S) são denominados eventos (E). Assim qualquer que seja (E) e se (E) estiver contido em (S), então(E) é um evento de (S) . Eventos podem ser:

-Evento Certo:Se o evento for igual ao espaço amostral então (E) é chamado de evento certo. -Evento Impossível: quando o conjunto é vazio. (E) =

-Evento Elementar:Se o evento (E) está contido no espaço amostral (S), então E é chamado de evento elementar.Por exemplo os eventos elementares no lançamento de um dado são {1},{2},{3},{4},{5}, e{6}.

-Num espaço amostral finito(E), com n elementos , há 2neventos. Como eventos são conjuntos , valem as seguintes operações :

Intersecção

Dados os eventos A e B : A B = (x E| x A , x B)

União

AB

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Estatística I7

Eventos Dependentes

Se Ae Bdois eventos do espaço amostral (E). Ae Bsão ditos dependentesse e se somente se, a probabilidade de um deles ocorrer interferi na probabilidade do outro ocorrer, então:

P(A B) P(A).P(B), os eventos Ae Bsão dependentes.

Ex01: Numa urna existem 03 bolas azuis e 02 brancas. Retirando se dessa urna, sucessivamente,sem reposição,02 bolas , qual é a probabilidade de obtermos uma, bola azul e , depois uma branca ?

P(A) = (3/5)

Sejam os eventos: A: sair bola azul. B: sair bola branca. P(B/A) = (2/4) (pois uma bola já saiu, é azul) P(A B) = P(A).P(B/A) = (3/5).(2/4)=(3/10) Neste caso, os eventos são dependentes pois, para o calculo da probabilidade de sair bola branca , tivemos de admitir que o evento bola azul já tivesse ocorrido.

Eventos Independentes:

Sejam Ae Bdois eventos de um espaço amostral (E). Ae Bsão ditos independentesse e se somente se, a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, o conhecimento de que um dos eventos ocorreu não altera de nenhum modo a nossa estimativa da probabilidade do outro evento, então :

Portanto se dois eventos A e B são independentes tem se que : P(A B) = P(A).P(B)

Assim:

Se P(A B) = P(A).P(B), os eventos Ae Bsão independentes.

SeA eB são eventos do espaço amostral (E), são eventos independentes, então:

I)A e Bcsão independentes. I)Ace B são independentes. I)Ace Bcsão independentes.

Ex01:Uma urna contém 03 bolas azuis e 02 bolas brancas. Retirando se dessa urna, com reposição, 02 bolas qual é a probabilidade de obtermos uma bola azul e, depois uma branca ?

Sejam os eventos: A:sair bola azul. B:sair bola branca. P(A) = (3/5) P(B/A) = (2/5) (pois se a bola azul foi devolvida á urna, tudo se passa como se nada tivesse ocorrido). P(A B) = P(A).P(B) = (3/5)(2/5)=(6/25)

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Estatística I8

Neste caso os eventos são independentes, pois P(B/A) = P(B) , isto é, o calculo da probabilidade de sair bola branca independente do fato de ter ocorrido antes o evento sair bola azul.

Ex02:Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral tais que

P(A)=(1/3) e P(B)=p e P(A B) = (1/6), determine ppara que Ae Bsejam independentes.

P(B) = (p)(1/6) = (1/3)(p)

Para que A e B sejam independentes, devemos ter: P(A) = (1/3)P( A B ) = P(A).P(B) P( A B ) = (1/6)p = (1/2)

Eventos Complementares:

Chamamos evento complementar do evento Aaquele formado pelos resultados que não são de A. E indicamos por AC.

E Ae B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é: A B = A B =

Assim: P(A) + P(AC) = (E)

Então o complementar de Aé representado por Ac:

Ex01: No lançamento de um dado, o espaço amostral é E={1,2,3,4,5,6}.

Considere os eventos: -O resultado é um número impar: A = {1,3,5}

-O resultado é um número primo: B = {2,3,5}

Qual o complementar de ACe BC?

O complementar do evento A é AC = {2,4,6} , este resultado não é numero impar , logo o complementar são os números pares.

O complementar do evento B é BC = {1,4,6} ,este resultado não é um numero primo.

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Estatística I9

Ex02:Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados.

a)Ambas não estejam estragadas.
b)Pelo menos uma esteja estragada

Escolhendo –se aleatoriamente 02 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a)Para calcularmos as maneiras pelas quais as duas frutas podem ser escolhidas se dá da seguinte forma :

(E1) = (10!)/(2!8!) = 3628800 / 80640 = 45 maneiras Para calcularmos o numero de maneiras pelas quais as duas frutas boas podem ser escolhidas, de forma semelhante:

(E2) = (7!)/(2!5!) = (5040)/(240) = 21 maneiras. P(A) = n(E2) / n(E1) = (21/45) = (7/15) b)Acé o evento: pelo menos uma furta está estragada. P(A) + P(Ac) = 1Þ (7/15) + P(Ac) = 1 P(Ac) = 1 –7/15 Þ P(Ac) = 8/15

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