Baixe Estatística Básica e outras Exercícios em PDF para Estatística, somente na Docsity! UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" Campus de Presidente Prudente ESTATÍSTICA BÁSICA Relatório das atividades desenvolvidas no período da Bolsa de Apoio Acadêmico e Extensão I (PAE) de 26/04/2007 á 28/02/2008. Bolsista: Fabiano José dos Santos Orientadora: Vilma Mayumi Tachibana Presidente Prudente 2008 1 Índice 1.0 Introdução.......................................................................................................... 2 1.1 O que é Estatística.............................................................................................. 3 Análise exploratório de dados 4 2.0 Resumo de Dados............................................................................................. 4 2.1 Classificação de variáveis.................................................................................. 4 2.2 Distribuição de Freqüência................................................................................ 6 2.3 Gráficos.............................................................................................................. 2.3.1 Gráficos para Variáveis Qualitativas................................................... 2.3.2 Gráficos para as Variáveis Quantitativas............................................ 7 7 8 2.4 Ramo-e-Folhas................................................................................................... 13 2.5 Exercícios........................................................................................................... 13 3.0 Medidas-resumo............................................................................................... 17 3.1 Medida de Posição............................................................................................. 17 3.2 Medida de Dispersão.......................................................................................... 17 3.3 Quantis............................................................................................................... 18 3.4 Intervalo – interquartil....................................................................................... 19 3.5 Exercícios........................................................................................................... 19 4.0 Análise Bidimensional...................................................................................... 20 4.1 Introdução.......................................................................................................... 20 4.2 Associação entre variáveis Qualitativas............................................................. 21 4.3 Medidas de Associação...................................................................................... 22 4.4 Associação entre Variáveis Quantitativas.......................................................... 22 4.5 Associação entre Variáveis Qualitativas e Quantitativas................................... 24 4.6 Exercícios........................................................................................................... 25 5.0 Probabilidade................................................................................................... 26 5.1 Introdução.......................................................................................................... 26 5.2 Probabilidade condicional e independência....................................................... 27 5.3 Exercícios........................................................................................................... 28 Dados da Companhia MB.................................................................................. 29 Bibliografia ............................................................................................................ 30 4 2.0 Resumo de Dados 2.1 Classificação de variáveis Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos. Variáveis podem ser classificadas da seguinte forma: Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos. Podem ser contínuas ou discretas. Variáveis discretas: características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia. Variáveis contínuas: características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade. Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais. Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio. Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1º, 2º, 3º graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro). Exemplo 1.0 Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos sócio econômico dos empregados da seção de orçamentos de uma companhia. Usando informações obtidas do departamento pessoal, ele elaborou a Tabela 1.0. 5 Tabela 1.0 Informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (expresso como fração do salário mínimo), idade (medida em anos e meses) e procedência de 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia. Fonte: Bussab e Morettin (2002) Observações sobre a Tabela 1.0. De modo geral, para cada elemento investigado numa pesquisa, tem-se associado um (ou mais de um) resultado correspondendo à realização de uma característica (ou características). Por exemplo, considerando a variável estado civil, para cada empregado pode-se associar um dos resultados, solteiro ou casado (note que poderia haver outras possibilidades, como separado, divorciado, mas somente as duas mencionadas foram consideradas no estudo). Resumindo Como as variáveis são classificadas e outros exemplos: Nominal Sexo, Cor dos Olhos. Qualitativa Ordinal Classe social, grau de instrução. Discreta Número de filhos, números de carros. Quantitativa Contínua Peso, altura. Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para resumir as informações dos dados obtidos da amostra. Por exemplo, a utilização de uma tabela é uma forma de escrever os dados de uma forma resumida. Em algumas situações podem-se atribuir valores numéricos às várias qualidades ou atributos de uma variável qualitativa e depois se proceder à análise como se esta fosse quantitativa, desde que o procedimento seja passível de interpretação. Existe um tipo de variável qualitativa para a qual essa quantificação é muito útil: a chamada variável dicotômica. Para essa variável podem ocorrer somente duas realizações, usualmente chamadas de sucesso e fracasso. Exemplo 1.1: A variável Civil, Sexo, Hábito de Fumar, etc. Como as Variáveis são classificadas e outros exemplos; Idade Nº Estado Civil Grau de Instrução Nº de Filhos Salário Anos Meses Região de Procedência 1 Solteiro Fundamental ... 4,00 26 3 Interior 2 Casado Fundamental 1 4,56 32 10 Capital 3 Casado Fundamental 2 5,25 36 5 Capital ... ... ... ... ... ... ... ... 35 Casado Médio 2 19,40 48 11 Capital 36 Casado Superior 3 23,30 42 2 Interior 6 Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma qualitativa. Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa (contínua); mas, se for informada apenas a faixa etária (0 a 5 anos, 6 a 10 anos, etc...), é qualitativa (ordinal). Outro exemplo é o peso dos lutadores de boxe, uma variável quantitativa (contínua) se trabalha com o valor obtido na balança, mas á qualitativa (ordinal) se o classificarmos nas categorias do boxe (peso-pena, peso-leve, peso-pesado, etc.). Outro ponto importante é que nem sempre uma variável representada por números é quantitativa. O número do telefone de uma pessoa, o número da casa, o número de sua identidade. Às vezes o sexo do indivíduo é registrado na planilha de dados como 1 se macho e 2 se fêmea, por exemplo. Isto não significa que a variável sexo passou a ser quantitativa! 2.2 Distribuição de Freqüência Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Veremos uma maneira de dispor uns conjuntos de realizações, para se ter uma idéia global sobre elas, ou seja, de sua distribuição. Exemplo 1.2 A tabela apresenta a distribuição de freqüência da variável grau de instrução, usando os dados da tabela 1.0. Tabela 1.1. Freqüência e porcentagem dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia MB segundo o grau de instrução. Grau de Instrução Freqüência (ni) Proporção (fi) Porcentagem 100x (fi) Fundamental 12 0,3333 33,33% Médio 18 0,5000 50,00% Superior 6 0,1667 16,67% Total 36 1,0000 100,00% Fonte: Bussab e Morettin (2002) Observando os resultados da segunda coluna, vê-se que dos 36 empregados da Companhia, 12 têm o ensino fundamental, 18 o ensino médio e 6 possuem curso superior. Uma medida bastante útil na interpretação de tabelas de freqüências é proporção de cada realização em relação ao total. Assim 6/36-0,1667 dos empregados da companhia MB tem instrução superior. 9 (i) Gráfico em Barras O gráfico em Barras para as variáveis Quantitativas é construído da mesma forma ao das variáveis Qualitativas. Como ilustração, considere a variável “Número de Filhos” dos empregados casados da seção de orçamentos da Companhia MB. A Tabela 7.2 apresenta os dados. Tabela 1.4 Freqüências e Porcentagens dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, segundo o número de filhos. Números de Filhos (xi) Freqüência (ni) Porcentagem (100 x fi) 0 4 20 1 5 25 2 7 35 3 3 15 4 0 0 5 1 5 Total n = 20 100 Fonte: Bussab e Morettin (2002) Figura 1.2 Gráfico de Barra para a variável Números de Filhos 20 25 35 15 0 5 0 5 10 15 20 25 30 35 P or ce nt ag em 0 1 2 3 4 5 Números de Filhos (ii) Gráfico de Pontos (Dot-Plot) Quando os dados consistem em um pequeno conjunto de números, estes podem ser representados traçando-se uma reta com uma escala que abranja todas as mensurações observadas e grafando-se as respectivas freqüências como pontos acima da reta. Por esse motivo, é também conhecido como gráfico de pontos. 10 Exemplo1.3: Considere a variável tempo, em segundos, entre carros que passam por um cruzamento, viajando na mesma direção. 6, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 4, 6, 3, 4, 5, 2, 10. Figura 1.3 Gráfico de Dispersão – Dot Plot (iii) Histograma O Histograma é utilizado para representar a distribuição de freqüência. É um gráfico de barras contíguas, com bases proporcionais aos intervalos de classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva freqüência relativa. Indicaremos a amplitude do i-ésimo intervalo por ai. Para que a área do retângulo respectivo seja proporcional a fi, a sua altura deve ser proporcional a fi/ai, que é chamada de densidade de freqüência da i-ésima classe. Quanto mais dados tivermos em cada classe, mais alto deve ser o retângulo. Com essa convenção, a área total do histograma será 1 (um). Exemplo: Considerando a variável Salário dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, temos os seguintes dados: Tabela 1.5 Freqüências e Porcentagens dos 36 empregados da seção de orçamentos da companhia MB, por faixas de salário. Classe de Salário Freqüência (ni) Proporção (fi) Porcentagem (100 x fi) Densidade de Freqüência (fi/ai) 04 |-- 08 10 0,2778 27,78 0,0695 08 |-- 12 12 0,3333 33,33 0,0833 12 |-- 16 8 0,2222 22,22 0,0556 16 |-- 20 5 0,1389 13,89 0,0347 20 |-- 24 1 0,0278 2,78 0,0070 Total n = 36 1,0000 100,00 Fonte: Bussab e Morettin (2002) 1098765432 11 Figura 1.4 Histograma da variável Salário 0,0695 0,0833 0,0556 0,0347 0,007 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 D en si da de d e F re qü ên ci a 04 |-- 08 08 |-- 12 12 |-- 16 16 |-- 20 20 |-- 24 Classes de Salários (iv) Gráfico em Linhas É um gráfico muito importante utilizado para representar observações feitas ao longo do tempo, em intervalos iguais ou não. Tais conjuntos de dados constituem as chamadas séries históricas, ou séries temporais. Traduzem o comportamento de um fenômeno em certo intervalo de tempo. 14 Toler: Tolerância ao cigarro: (I) Indiferente, (P) Incomoda Pouco e (M) Incomoda Muito; Exer: Horas de atividade física, por semana; Cine: Número de vezes que vai ao cinema por semana; OpCine: Opinião a respeito das salas de cinema na cidade: (B) regular a boa e (M) muito boa TV: Horas gastas assistindo TV, por semana OpTV: Opinião da programação na TV: (R) Ruim, (M) Média, (B) Boa e (N) não sabe. Tabela A Informações do questionário estudantil. Dados brutos. ID Turma Sexo Idade Alt Peso Filh Fuma Toler Exer Cine Opcine Tv OpTV 1 A F 17 1,60 60,5 2 Não P 0 1 B 16,5 R 2 A F 18 1,69 55,0 1 Não M 0 1 B 7 R 3 A M 18 1,85 72,8 2 Não P 5 2 M 15 R ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 49 B M 17 1,80 71,0 1 Não P 7 0 M 14 R 50 B M 18 1,83 86,0 1 Não P 7 7 M 20 B Fonte: Magalhães e Pedroso de Lima (2004). Classifique as variáveis da Tabela A como: Variável Qualitativa Nominal: Resolução α ID, Turma, Sexo e Fuma. Variável Qualitativa Ordinal: Resolução α Toler, Opcione e Optv. Variável Quantitativa Discreta: Resolução α Filho, Exer e Cine Variável Quantitativa Contínua: Resolução α Idade, Alt, Peso e Tv 2) Classifique as seguintes variáveis: (a) Conceitos obtidos na Disciplina Estatística (R:Ruim, M:Médio, B:Bom e O:Ótimo); Resolução α Variável Qualitativa Ordinal (b) Bacias Hidrográficas (A: Amazônica, P:Platina, SF:São Francisco, N:do Nordeste, L:do Leste, S:do Sul); Resolução α Variável Qualitativa Nominal 15 (c) Número de sementes germinadas (0, 1, 2, 3, 4, 5); Resolução α Variável Quantitativa Discreta Tabela B: Informações sobre estado civil, grau de instrução, numero de filhos, salário (expresso como fração do salário mínimo) e procedência de 36 empregados da seção de orçamento da Companhia MB. Tabela B Nº Estado civil Grau de Instruçaõ Nº de Filhos Idade Região de procedência 1 Solteiro Ens.fundamental 0 26 Interior 2 Casado Ens.Fundamental 1 32 Capital 3 Casado Ens.Fundamental 2 36 Capital 4 Solteiro Ens.Medio 0 40 Outra 5 Solteiro Ens.Fundamental 0 28 Outra 6 Casado Ens.Fundamental 0 41 Interior 7 Solteiro Ens.Fundamental 0 40 Interior Fonte: Bussab e Morettin (2002) 3)Usando os dados da tabela B, Construa a distribuição de freqüência das variáveis. (a)Estado Civil Resolução Estado Civil Freqüência ni Porcentagem 100x f i Solteiro 4 57,14 Casado 3 42,85 Total 7 100,00 (b) Região de procedência Resolução Região de Procedência Freqüência ni Porcentagem f i Capital 2 28,57 Interior 3 42,85 Outro 2 28,07 Total 7 100,00 16 c) Idade Resolução Idade Freqüência ni Porcentagem f i 26 32α 2 28,27 32 38α 2 28,57 38 42α 3 42,85 Total 7 100,00 4) Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo os resultados abaixo. 8 11 8 12 14 13 11 14 14 15 6 10 14 19 6 12 7 5 8 8 10 16 10 12 12 8 11 6 7 12 7 10 14 5 12 7 9 12 11 9 14 8 14 8 12 10 12 22 7 15 a) Represente os dados graficamente Resolução 2 3 5 7 2 5 4 9 1 7 2 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F re q ü ên ci a 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 22 Número de Erros Freqüência do Número de Erros na Primeira página de um Jornal 19 q(0,25):1° Quartil=25º Percentil q(0,50):2ºQuartil=Mediana=50ºPercentil q(0,75):3ºQuartil=75ºPercentil Exemplo 1.3 Suponha que tenhamos os seguintes valores de uma variável x: 15,5,3,8,10,2,7,11,12 Ordenando os valores, obtemos as estatísticas de ordem x 1 =2, x 2 =3,...,x 9 =15, ou seja, teremos 2<3 <5<7<8<10<11<12<15 Usando a definição de mediana dada, teremos que md=q(0,5)=x5=8 e o 1º Quartil q(0,25)=3 3.4 Intervalo Interquartil O intervalo interquartil é a diferencia entre o terceiro quartil (Q 3 ) e o primeiro quartil (Q 1 ), ou seja, IQ=Q 3 -Q 1 Essa medida nos dá a informação de amplitude dos 50% centrais do conjunto de dados. 3.5 Exercícios 1) Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu –se uma amostra de páginas, encontrando – se o numero de erros por páginas da tabela abaixo. a) Qual o número médio de erros por pagina? Resolução x − = 66,0 50 413123120025 =++++ xxxxx b) Calcule a variância? Var= 50 )66,04(1)66,03(1)66,02(3)66,01(20)66,00(25 22222 −+−+−+−+− =0,704 c) Qual o desvio padrão? Dp= 704,0 =0,8392 d) Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperado no livro? (Página)x(Média de erros por página) =500 x 0,66=330 erros 20 2) Medidas da pulsação de 15 índios nativos dos Alpes Peruanos estão apresentadas a seguir: 64 64 68 68 76 60 72 88 60 68 80 60 72 88 60 (a) Calcule: Média, Mediana. ; Resolução Média= 86,69 15 801882722722604761683642 =+++++++ xxxxxxxx Colocando em ordem α 60,60,60,60,64,64,68,68,68,72,72,72,76,76,80,88,88 Mediana=68 (b) Calcule: Mínimo, Q1, Q2, Q3 e Máximo; Resolução Maximo=60 Mínimo=60 q(0,25) = Q1 = 60 q(0,50) = Q2 = 68 q(0,75) = Q3 =76 4.0 Variáveis Bidimensionais 4.1 Introdução Nos últimos capítulos estudamos o comportamento de apenas uma variável, neste capitulo estudaremos o comportamento do conjunto de dados de duas ou mais variáveis. Para trabalharmos com variáveis bidimensionais é muito simples, basta usarmos as tabelas de cada variável e construir um conjunto juntando cada x i com seu respectivo y i e construir a tabela x/y. O principal objetivo das analises nessa situação é explorar relações (similaridades) entre as colunas, ou algumas vezes entre as linhas. Como no caso de apenas uma variável que estudamos, a distribuição conjunta das freqüências será uma instrumento poderoso para a compreensão do comportamento dos dados. Quando consideremos duas variáveis (ou dois conjunto de dados), podemos ter três situações. i) as duas variáveis são qualitativas: ii) as duas variáveis são quantitativas: e iii) uma variável é qualitativa e a outra quantitativa. As técnicas de analises dos conjuntos de dados nas três são diferentes. 21 4.2 Associação entre Variáveis Qualitativas Um das principais objetivos de se construir uma distribuição conjunta de duas variáveis qualitativas é descrever a associação entre elas, isto é, queremos conhecer o grau de dependência entre elas de modo, que possamos prever melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a realização da outra. Por exemplo, suponhamos que uma pessoa, seja sorteada ao acaso numa indústria siderúrgica, teríamos uma respostas mais provável que a pessoa sorteada é do sexo masculino por ter maior proporção.Ou seja há um grau de dependência grande entre sexo e ramo de atividade. Exemplo 1.4 Queremos verificar se existe ou não associação entre o sexo e a carreira escolhida por 200 alunos de Economia e Administração. Distribuição conjunta das freqüências e proporções (em porcentagem), segundo o sexo (x) e o curso escolhido (y). Fonte: Bussab e Morettin (2002) A partir dessa tabela podemos observar que independentemente do sexo, 60% das pessoas preferem Economia a 40% preferem Administração ( observe na coluna de total) Não havendo dependência entre as variáveis esperaríamos essas mesmas proporções para cada sexo. Observando a tabela, vemos que as proporções do sexo masculino (61% e 39%) e do sexo feminino (60% e 40%). Esses resultados parecem indicar não haver dependência entre que, neste caso, as variáveis sexo e escolha do curso parece ser não associados. x y Masculino Feminino Total Economia 85(61%) 35(58%) 120(60%) Administração 55(39%) 25(42%) 80(40%) Total 140(100%) 60(100%) 200(100%) 24 Se por acaso os pontos dos gráficos estivessem disperso e sem ordem de crescimento ou de diminuição havendo acumulação entres eles, não haverá associação entre as variáveis. 4.5 Associação entre variáveis Qualitativas e Quantitativas. È comum nessas situações analisar o que acontece com a variável quantitativa, entro de cada categoria da variável qualitativa. Exemplo1.6 Na tabela 1.6 e temos os resultados as análises dos salários em função da região de procedência(v), que mostram a inexistência de uma relação melhor definida entre essas duas variáveis ou, ainda os salários estão mais relacionados com o grau de instrução do que com a região de procedência. Tabela 1.6: Medida-resumo para a variável salário segundo a região de procedência, na Companhia MB. Região de Procedência Nº − S Dp(s) Var(s) S(1) q(1) q(1) q(1) S(n) Capital 11 11,46 5,22 27,27 4,56 7,41 9,77 16,63 19,40 Interior 12 11,55 5,07 25,71 4,00 7,81 10,64 14,70 23,30 Outra 13 10,45 3,02 9,13 5,73 8,74 9,80 12,79 16,22 Todos 36 11,12 4,52 20,46 4,00 7,05 10,17 14,66 23,30 Fonte: Bussab e Morettin (2002) È conveniente poder contar com uma medida que quantifique o grau de dependência entre as variáveis. Com esse intuito, convém observar que as variâncias podem ser usada como insumo para construir essa medida sem usar a informação da variável categorizada, a variância calculada para a variável quantitativa para todos os dados mede a dispersão dos dados globalmente. Se a variância dentro de cada categoria for pequena e menor do que a global, significa que a variável qualitativa cada categoria for pequena e menor do que a global significa que a variável qualitativa melhora a capacidade de previsão da quantitativa e por tanto existe uma relação entre as duas variáveis. Dados n pares de valores (x 1 ,y1 ),..., (x n ,y n ), chamaremos de covariância entre as duas variáveis x e y a Cov (x,y) = , ))(( 1 __ ∑ = −−n i ii n yyxx 25 Ou seja, a média dos produtos dos valores centrados das variáveis. Com essa definição, o coeficiente de correlação pode ser escrito como, Corr (x, y) = )().( ),( ydpxdp yxCov 4.6 Exercícios Com base na tabela abaixo, você concluiria que o tipo de atividade está relacionada ao fato de as embarcações serem de propriedades estatal ou particular ? Encontre uma medida de dependência entre as variáveis. Atividades Propriedades Costeira Fluvial Internacional Total Estatal 5 141 51 197 Particular 92 231 48 371 Total 97 372 99 658 Resolução Tabela de desvio Atividades Propriedades Costeira Fluvial Internacional Total Estatal 5(33,64) 141(129,02) 51(34,34) 197 Particular 92(63,64) 231(242,98) 48(64,66) 371 Como X 2 = 51,09 pelo resultado existe associação entre o tipo de atividade e a propriedade das embarcações. 26 5.0 Probabilidade 5.1 Introdução Denominamos fenômeno aleatório á situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Chamamos de espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de certo fenômeno aleatório. Ele será representado pela letra grega Ω (Omega). Os subconjuntos de Ω são denominados eventos e são representados pelas letras latinas A,B,......O conjunto vazio , como já é tradicional, será denominado por Ø. A união de dois eventos A e B, denotada por AUB, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. Dois eventos A e B são adjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é A =∩ B Ø. Dizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua intersecção é vazia. O complemento de A será representado por A c e temos A ∪ A c =Ω e A ∩ A c = Ø. Considera-se probabilidade como sendo uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos do espaço amostral. Definição: Probabilidade Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as condições: i)0 P(A) 1,∀ A ⊂ Ω ii)P(Ω)=1 iii)P         = Υ n j Aj 1 = ( )∑ = n j Ajp 1 , com os sAj ' distintos Pode-se atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral de duas maneiras, uma delas consiste na atribuição de probabilidade baseando=se em características teóricas da realização do fenômeno. Uma outra maneira de obter probabilidade é através das freqüências de ocorrências. Observando as diversas repetições do fenômeno em que ocorre a variável de interesse. Para um número grande de realizações, a freqüência relativa poderia ser usada como probabilidade. Por ora ,assumimos que á medida que o numero de repetições vai aumentando, as freqüências relativas se estabilizam em um numero que chamarmos de probabilidade. A probabilidade da união de eventos é calculada através da regra de adição de probabilidade. 29 Companhia MB Os dados abaixo correspondem a uma pesquisa realizada na Cia MB. Foram selecionados 36 funcionários e observadas as seguintes variáveis: estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário(em nº de salários mínimos), idade (em anos) e região de procedência. Dados da Tabela 2.1. Pag 11 do livro. No Estado Instrução Número de Salário Idade Procedência Civil Filhos 1 Solteiro ensino fundamental 4,00 26 Interior 2 Casado ensino fundamental 1 4,56 32 Capital 3 Casado ensino fundamental 2 5,25 36 Capital 4 Solteiro ensino médio 5,73 21 Outro 5 Solteiro ensino fundamental 6,26 41 Outro 6 Casado ensino fundamental 0 6,66 28 Interior 7 Solteiro ensino fundamental 6,86 41 Interior 8 Solteiro ensino fundamental 7,39 43 Capital 9 Casado ensino médio 1 7,59 34 Capital 10 Solteiro ensino médio 7,44 24 Outro 11 Casado ensino médio 2 8,12 34 Interior 12 Solteiro ensino fundamental 8,46 28 Capital 13 Solteiro ensino médio 8,74 37 Outro 14 Casado ensino fundamental 3 8,95 44 Outro 15 Casado ensino médio 0 9,13 30 Interior 16 Solteiro ensino médio 9,35 39 Outro 17 Casado ensino médio 1 9,77 32 Capital 18 Casado ensino fundamental 2 9,80 40 Outro 19 Solteiro superior 10,53 26 Interior 20 Solteiro ensino médio 10,76 37 Interior 21 Casado ensino médio 1 11,06 31 Outro 22 Solteiro ensino médio 11,59 34 Capital 23 Solteiro ensino fundamental 12,00 41 Outro 24 Casado superior 0 12,79 26 Outro 25 Casado ensino médio 2 13,23 32 Interior 26 Casado ensino fundamental 2 13,60 35 Outro 27 Solteiro ensino médio 13,85 47 Outro 28 Casado ensino médio 0 14,69 30 Interior 29 Casado ensino médio 5 14,71 41 Interior 30 Casado ensino médio 2 15,99 36 Capital 31 Solteiro superior 16,22 31 Outro 32 Casado ensino médio 1 16,61 36 Interior 33 Casado superior 3 17,26 44 Capital 34 Solteiro superior 18,75 34 Capital 35 Casado 2º grau 2 19,40 49 Capital 36 Casado superior 3 23,30 42 Interior 30 Bibliografia Wilton de O. Bussab, Pedro A. Morettin- Estatística Básica- São Paulo : Saraiva. 5º edição, 2005.