a velocidade escalar

a velocidade escalar

Prof. Alberto Ricardo Präss

O conceito de velocidade. Imaginemos que um jornal tenha enviado um correspondente especial à selva amazônica a fim de fazer uma reportagem sobre o Pico da Neblina, e suponhamos que após várias semanas de penosas marchas através da floresta tropical o correspondente faça chegar à redação do jornal a informação de que localizou uma tribo extraordinária, da qual até mesmo as crianças de mais de 10 anos são capazes de percorrer, a pé, 5 km em apenas 10 s.

nervoso em seu enviadoNo entanto, se a informação deste fosse a de que havia

Julgamos que dificilmente a redação do jornal autorizaria, sem maiores investigações e reservas, a publicação da notícia. Provavelmente julgaria que as condições adversas reinantes na selva amazônica haviam provocado um desequilíbrio descoberto uma tribo da qual até mesmo as crianças de mais de 10 anos eram capazes de percorrer, a pé, 5 km, ou de andar a pé durante 10 s, a redação dó jornal não teria ficado escandalizada, se bem que julgamos que também não publicariam a noticia, agora por um motivo oposto ao primeiro: é demasiado banal o fato de que alguém seja capaz de percorrer, a pé 5 km, ou de que alguém seja capaz de andar a pé durante 10 s.

O fato de não despertar interesse algum a notícia de que uma certa pessoa é capaz de percorrer, a pé, 5 km, ou de andar a pé durante 10 s, enquanto que despertaria interesse extraordinário a noticia de que existem pessoas capazes de percorrer, a pé, 5 km em 10 s, mostra-nos objetivamente que existem situações nas quais não interessa tanto saber qual a distância que um certo corpo, pode percorrer, ou durante quanto tempo ele pode se mover, mas sim que importa saber qual a relação existente entre a distância percorrida e o tempo durante o qual ela foi percorrida. No caso da tribo amazonense relatado pela enviado especial do jornal carioca, a experiência do pessoal da redação determinaria a não publicação do informe, uma vez que tal experiência lhes ensinou que é praticamente impossível existir seres humanos capazes de se moverem, por seus próprios meios, com uma velocidade (supersônica) de 0,5 km/s, ou seja, com uma velocidade de 1.800 km/h. Foi então a grandeza física denominada velocidade o índice utilizado pelo pessoal da redação do jornal para rejeitar a probabilidade de ser verídica a informação do seu enviado. Como tal índice desempenha um papel Importante na teoria da Mecânica, vamos, a seguir, examinar cuidadosamente como ele é construído.

Suponhamos, para isto, que uma pedra largada de um certo ponto passou, num determinado instante t, por um ponto 1, e algum tempo após, isto é, no instante fittt=+D, a pedra passou por um outro ponto, 2. Conseqüentemente a pedra, durante o Intervalo de tempo tD compreendido entre os Instantes ift e t, sofreu um deslocamento fixxxD=-

Chamaremos, por convenção, velocidade escalar média da pedra ou rapidez (speed em inglês),ou simplesmente, velocidade média da pedra, entre os instantes itefittt=+D, a razão entre o deslocamento xDe o intervalo de tempotD o durante o qual ele ocorreu.

Representando-se por v a velocidade média da pedra, entre os instantesitefittt=+D, poderemos escrever então, por definição, que:

x v

Por exemplo: se um automóvel foi do Rio a São Paulo em 6,0 h, viajou com uma velocidade média de 72 km/h, pois que sendo de 432 km a distância entre essas duas cidades (distância esta contada sobre a rodovia), vem, da definição de velocidade média, que:

v= 432 km/6,0 h = 72 km/h.

Geralmente estaremos interessados, no entanto, não na velocidade média v de um corpo, entre os instantes ift e t, mas na sua velocidade v exatamente no Instante t. Muito grosseiramente poderemos dizer que a velocidade v de uma partícula, no instante t, é igual à sua velocidade média v entre os instantes itefittt=+D, instantes estes separados por um intervalo de tempo tD. O erro cometido nessa aproximação, no entanto, será tanto menor quanto menor for o

Intervalo de tempo tD, Isto é, o erro cometido na aproximação considerada tende para zero com tD. Diremos então, por convenção, que a velocidade, v, de uma partícula, num instante t, é o limite para o qual tende a sua velocidade média, v, correspondente ao intervalo de tempo tD compreendido entre os instantes ift e t=+D, quando tD tende para zero. Para Indicar isto usaremos a seguinte notação:

t0 v lim vDfi ou seja, tendo-se em conta que x v

x v lim

tDfi sendo esta, então, a fórmula de definição de velocidade escalar instantânea. (Quando se fala em velocidade escalar, sem maiores especificações, quer-se dizer velocidade escalar instantânea).

Observações: 1) Por uma questão de comodidade de linguagem usa-se freqüentemente a expressão velocidade, em vez da expressão mais longa (porém mais precisa) velocidade escalar. Também nós, neste curso, conformando-nos ao hábito internacional, usaremos freqüentemente a expressão velocidade, simplesmente, significando velocidade escalar, quando julgarmos que não haverá possibilidade de confusão.

2) Sendo velocidade, por convenção, uma razão entre o deslocamento de uma partícula e o Intervalo de tempo durante o qual ele ocorreu, é claro que a sua unidade ficará perfeitamente determinada após escolhermos uma unidade de deslocamento e uma de tempo, de vez que, logicamente, a unidade de velocidade deverá ser a velocidade de uma partícula que sofra um deslocamento unitário num intervalo de tempo unitário. A unidade de velocidade do Sistema Internacional de Unidades, onde se tem que

U(x)1mD=e U(x)1sD=, será, portanto, a velocidade de uma partícula tal que sofra um deslocamento de um metro cada segundo. Tal unidade não tem nome especial; para designá-la dizemos: velocidade de um metro por segundo. O seu símbolo é m/s, ou qualquer outro algebricamente equivalente

3) Dissemos, na seção anterior, que a velocidade, v, de uma partícula, num Instante t, é o valor para o qual tende a sua velocidade média, v, correspondente aos instantes ift e t=+D, quando se consideram valores de ft tão próximos de t quanto se queira imaginar, ou seja, usando-se uma linguagem cientifica, dissemos que:

a velocidade v de uma partícula é o limite para o qual tende a sua velocidade média, x v

= D , quando o intervalo de tempo tD tende para zero:

x v lim

tDfi em percorre sendo a sua velocidade média 2h 160 km 160km

80km/h2h =

1h 80 km 80km

80km/h1h =

30min 40 km 40km 80km/h

15min 20 km 20km 80km/h

7min30s 10 km 10km 80km/h

3min45s 5 km 5km 80km/h

fl fl fl 0 0 80km/h

Ora, quanto menor for o intervalo de tempo tD que se considere, menor será, geralmente, o correspondente deslocamento tD sofrido pela partícula considerada, isto é, xD tende para zero quando tD tende para zero. No entanto, o quociente xtD D não tenderá, obrigatória mente, para zero, apesar de tD e tD tenderem simultaneamente para zero. Para verificar isto, de forma objetiva, basta se considerar que um automóvel que esteja viajando à razão de 80km por hora:

Neste caso, em que o corpo considerado se move com velocidade invariável (movimento uniforme, como é usualmente denominada tal forma de movimento), a velocidade média do corpo é constante, isto é, é independente do intervalo de tempo At correspondente. Numa situação na qual a velocidade média do corpo considerado for variável, isto é, depender do intervalo de tempo At correspondente, a seqüência de valores xtD D deverá ir se aproximando de um valor bem determinado, quando considerarmos valores de tD cada vez mais próximos de zero. Por exemplo, suponhamos que de um certo ponto se deixe cair uma pedra e que 3,0 s após o instante em que ela foi largada (isto é, no instante t = 3,0 s) ela esteja passando precisamente no ponto 1.

Suponhamos mais que estejamos interessados na velocidade v da pedra no instante exato em que ela estiver passando no ponto 1, isto é, no instante t = 3,0 s. Para calcular tal velocidade vamos calcular as velocidades médias da pedra entre os instantes t = 3,0 s e fttt=+D, para valores de tD arbitrariamente escolhidos. Efetuemos então uma série de experimentações, medindo em cada uma delas a distância xD percorrida pela pedra em intervalos de tempo tD consecutivos ao instante t = 3,0 s, isto é, a contar do instante em que a pedra passa pelo ponto 1, e cada um deles menor que o anterior. No quadro abaixo estão tabelados os resultados encontrados.

tD xD 2,0 s 78,4000 m 1,000s 34,300000 m 0,100 s 2,989000 m 0,010 s 0,294500 m 0,001 s 0,294450 m

Dos valores tabelados acima podemos calcular as velocidades médias da pedra, correspondentes a diversos intervalos de tempo consecutivos ao instante t = 3,0 s e cada um deles menor que o anterior. No quadro abaixo estamos apresentando tais valores. .

tD xD x v

2,0 s 78,4000 m 39,200 m/s 1,0 s 34,3000 m 34,300 m/s 0,100 s 2,989000 m 29,890 m/s 0,010 s 0,294500 m 29,450 m/s 0,001 s 0,294450 m 29,050 m/s

Da observação do quadro acima vemos que à proporção que vamos reduzindo o intervalo de tempo tD ao qual a velocidade média v é relativa, o valor de tal velocidade média vai se aproximando de 29,4 m/s, ou seja: 29,4 m/s é o limite para o qual tende a velocidade média da pedra, x v

= D , quando tD tende para zero:

x lim v lim 29,4m/ s0

tD fi Dfi

Adaptado de “Mecânica” do Prof. L. P. Maia

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