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Capítulo 4

Contagem,

Probabilidade e Estatística

Adaptado do artigo de Roberto Ribeiro Paterlini

O problema dos discos

Temos aplicado o problema do jogo dos discos em classes de estudantes de Licenciatura em Matemática e temos acompanhado colegas professores que o tem aplicado no ensino médio e fundamental. O problema tem feito muito sucesso.

O problema do jogo dos discos

Uma escola estava preparando uma Feira de

Ciências e foi pedido aos estudantes que bolassem um jogo que servisse para arrecadar fundos. Os estudantes observaram que no salão da Feira o piso era feito com quadrados de 30 cm de lado, desses quadrados de Paviflex. Pensaram então em construir discos de papelão de um certo diâmetro d que seriam comprados pelos visitantes por R$ 1,0 cada um. O visitante jogaria o disco aleatoriamente no piso. Se o disco, depois de pousar no piso, tocasse um lado de um quadrado, ele perderia para a escola o que tinha pago. Se, ao contrário, acertasse o disco inteiramente dentro de um quadrado, ele receberia R$ 2,0 (R$ 1,0 como devolução e mais R$ 1,0 como prêmio).

O problema dos estudantes consistia em determinar o diâmetro d dos discos de modo que o jogo resultasse favorável à escola. Observaram que quanto menor d, melhor para o jogador, e quanto maior d, melhor para a escola. O favorecimento para a escola não deveria ser exagerado, pois, se o jogo fosse muito desfavorável para o jogador, ninguém iria querer jogar. Resolveram que uma probabilidade de 60% favorável à escola seria adequada.

Pergunta 1

Como determinar o valor de d que resulta em uma probabilidade de 40% favorável ao jogador e de 60% à escola?

Pergunta 2

Qual será, em média, o ganho da escola se 500 discos forem vendidos na feira?

Resposta da Pergunta 1

Sob condições ideais podemos supor que lançar o disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro aleatoriamente. Assim, a probabilidade p de o jogador ganhar (no nosso caso 40%) é a mesma probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro do quadrado de lado 30, cair dentro do quadrado de lado 30 − d .

Da definição de probabilidade geométrica temos

ou

Como queremos p = 40% = 0,4, obtemos No caso geral de um quadrado de lado l e probabilidade p do jogador ganhar, uma solução análoga fornece e portanto,

Apresentamos o gráfico decom
Observe queé um zero duplo de

As duas linhas pontilhadas na figura acima mostram como se obtém graficamente o valor de d tal que

Resposta da Pergunta 2

Se 500 discos forem vendidos na feira, a arrecadação bruta será

R$ 50,0. Supondo que em 40% das jogadas (20 jogadas) os jogadores ganhem, a escola pagará R$ 40,0. Sobrará R$ 10,0 para a escola.

Comentários sobre o uso do jogo dos discos em sala de aula

Participando de um projeto dos Departamentos de Matemática e Física da UFSCar tivemos a oportunidade de orientar um grupo de professores que aplicaram o problema do jogo dos discos em suas escolas.

Para resolver o problema por experimentação foram construídos discos de madeirit ou de borracha com diâmetros 4, 6, 8, 10, 12 e 14 cm.

Os professores observaram que devem ser feitos pelo menos 200 lançamentos para cada diâmetro e para facilitar a experiência foram feitos 10 discos de cada diâmetro.

Os resultados obtidos em uma classe estão dispostos na tabela acima, sendo d o diâmetro dos discos, em cm, e p a probabilidade de o jogador ganhar.

No gráfico estão dispostos os pontos obtidos. Os estudantes, usando uma folha de papel quadriculado e uma régua, desenharam a curva que lhes pareceu ser a que melhor se aproximava dos pontos dados e obtiveram a solução (ligeiramente diferente do que obtivemos no gráfico).

Ao fazer nosso gráfico (acima), usamos o aplicativo computacional Maple V para obter a função quadrática que mais se aproxima dos pontos

dados. Acrescentamos na lista dos estudantes os pontose

A função obtida foi

Resolvendo a equaçãoem d, temos
dp
475,5%
668,5%
862%
1050%
1238%

Fazendo conexões

No problema do jogo dos discos podemos considerar pavimentações de outros tipos para o piso onde serão lançados os discos, fazendo conexões com outras áreas da Matemática.

Consideremos as pavimentações chamadas mosaicos regulares do plano, constituídas por polígonos regulares de um único tipo e satisfazendo as condições:

(a) quando dois polígonos se intersectam, essa interseção é um lado ou um vértice comum;

(b) a distribuição dos polígonos ao redor de cada vértice é sempre a mesma. Os únicos mosaicos regulares do plano são os constituídos por triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos regulares (que se reduz aos triângulos).

Vamos aplicar nosso jogo dos discos a esses tipos de pavimentação. O caso de mosaicos formados por quadrados já foi estudado acima.

Suponhamos que o piso do jogo dos discos seja pavimentado com peças na forma de triângulos equiláteros de lado l.

Lembrando que o apótema do triângulo equilátero

(raio da circunferência inscrita) valeos

discos podem ter diâmetro d tal que 0 < d < 2a, ou seja,

No interior do triângulo equilátero de lado l dispomos um triângulo equilátero de lado t, com lados paralelos ao triângulo maior, de modo que a distância entre o lado do triângulo maior ao lado paralelo do triângulo menor seja

Podemos verificar que a relação entre l e t éLembrando

que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual à razão entre os quadrados dos lados, a probabilidade de um disco de diâmetro d, lançado aleatoriamente no piso, cair inteiramente dentro do triângulo de lado l é

Como , temosEssa é a solução do

Resolvendo a equação P(d) = p em d, temos jogo dos discos para o caso de o piso ser pavimentado com triângulos equiláteros.

Nota histórica sobre Buffon e o problema dos ladrilhos

Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, nasceu em 7 de setembro de 1707, em Montbard, na França, e morreu em 16 de abril de 1788, em Paris.

Nascido na aristocracia, estudou Medicina e Direito. Mostrou interesse pela Matemática, tendo descoberto sozinho a Fórmula do Binômio e mantido correspondência com Cramer sobre Mecânica, Geometria, Probabilidade, Teoria dos Números e Cálculo Diferencial e Integral. Mas era a Natureza a sua paixão. Dedicou-se principalmente à História Natural, tendo sido o maior responsável pelo crescimento do interesse pela História Natural na Europa, no século XVIII.

No século XVIII acreditava-se que Deus havia criado as espécies separadamente, isto é, de modo independente umas das outras, e que a idade da Terra seria de no máximo 6 0 anos. Em sua História Natural, uma enciclopédia que continha todo o conhecimento da época sobre a natureza, Buffon apontava, 100 anos antes de Darwin, as semelhanças entre homens e macacos e até mesmo sugeria a existência de um ancestral comum. Em As Épocas da Natureza (1788), sugeria que a idade da Terra era muito maior que os 6 0 anos até então a ela atribuídos.

O 4o volume do Suplemento à História Natural, publicado em 1777, tem 3 de suas 35 seções dedicadas ao Cálculo de Probabilidades. Uma delas é Sur le jeu de franc-carreau (Sobre o jogo do ladrilho), na qual Buffon discute o jogo do ladrilho e apresenta o Problema da Agulha . Foi o primeiro escrito sobre o que hoje se conhece por Probabilidade Geométrica.

O jogo do ladrilho

Era bastante jogado pelas crianças francesas no século XVIII. Uma pequena moeda de raio R é lançada ao acaso em um chão coberto por ladrilhos quadrados de lado l (l > 2r). As crianças apostavam que a moeda cairia inteiramente dentro de um ladrilho ou que a moeda cairia atravessando o lado de algum ladrilho.

Buffon notou que a probabilidade de a moeda cair inteiramente dentro de um ladrilho era a probabilidade de o centro da moeda cair dentro de um quadrado de lado l − 2r.

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