Funções e Portas Lógicas

Funções e Portas Lógicas

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CAPÍTULO I Funções e Portas Lógicas

2.1 Introdução Em 1854 o matemático inglês George Boole apresentou um sistema matemático de análise lógica conhecido como álgebra de Boole.

Somente em 1938, um engenheiro americano utilizou as teorias da álgebra de

Boole para a solução de problemas de circuitos de telefonia com relés, tendo publicado um artigo que praticamente introduziu na área tecnológica o campo da eletrônica digital.

Os sistemas digitais são formados por circuitos lógicos denominados de portas lógicas que, utilizados de forma conveniente, podem implementar todas as expressões geradas pela álgebra de Boole.

Existem três portas básicas (E, OU e NÃO) que podem ser conectadas de várias maneiras, formando sistemas que vão de simples relógios digitais aos computadores de grande porte.

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2.2 Função E ou AND

A função E é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveis booleanas. Sua representação algébrica para duas variáveis é S=A.B, onde se lê: S=A e B.

Para compreender a função E da álgebra Booleana, deve-se analisar o circuito da

Fig. 2.1, para o qual se adota as seguintes convenções: chave aberta=0, chave fechada=1, lâmpada apagada=0 e lâmpada acesa=1.

Figura 2.1 – Circuito representativo da função E.

A análise da Fig. 2.1 revela que a lâmpada somente acenderá se ambas as chaves estiverem fechadas e, seguindo a convenção, tem-se: CH A=1, CH B=1, resulta em S=1.

Pode-se, desta forma, escrever todas as possíveis combinações de operação das chaves na chamada Tabela da Verdade, que é definida como um mapa onde se depositam todas as possíveis situações com seus respectivos resultados. O número de combinações possíveis é igual a 2N, onde N é o número de variáveis de entrada.

Tabela da verdade da função E.

A porta lógica E é um circuito que executa a função E da álgebra de Boole, sendo representada, na prática, através do símbolo visto na Fig. 2.2.

Figura 2.2 – Porta lógica E.

“A saída da porta E será 1, somente se todas as entradas forem 1”.

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2.3 Função OU ou OR

A função OU é aquela que assume valor 1 quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 1 e assume 0 se, e somente se, todas as variáveis de entrada forem iguais a zero. Sua representação algébrica para duas variáveis de entrada é S=A+B, onde se lê: S=A ou B.

Para entender melhor a função OU da álgebra booleana, analisa-se todas as situações possíveis de operação das chaves do circuito da Fig. 2.3. A convenção é a mesma adotada anteriormente: chave aberta=0, chave fechada=1, lâmpada apagada=0 e lâmpada acesa=1.

Figura 2.3 – Circuito que representa a função OU.

O circuito acima mostra que a lâmpada acende quando qualquer uma das chaves estiver fechada e permanece apagada se ambas estiverem abertas, ou seja, CH A=0, CH B=0, resulta em S=0.

A Fig. 2.4 ilustra a porta lógica que executa a função OU da álgebra de Boole, juntamente com a sua tabela da verdade.

Porta lógica OU Tabela da verdade da função OU

Figura 2.4 – Porta lógica e tabela da verdade da função OU.

“A saída de uma porta OU será 1 se uma ou mais entradas forem 1”. 19

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2.4 Função NÃO ou NOT

A função NÃO é aquela que inverte ou complementa o estado da variável de entrada, ou seja, se a variável estiver em 0, a saída vai para 1, e se estiver em 1 a saída vai para 0. É representada algebricamente da seguinte forma:, onde se lê: A barra ou NÃO A.

A análise do circuito da Fig. 2.5 ajuda a compreender melhor a função NÃO da álgebra Booleana. Será utilizada a mesma convenção dos casos anteriores.

Figura 2.5 – Circuito representativo da função NÃO.

Observando o circuito da Fig. 2.5, pode-se concluir que a lâmpada estará acesa somente se a chave estiver aberta (CH A=0, S=1), quando a chave fecha, a corrente desvia por ela e a Lâmpada apaga (CH A=1, S=0).

O inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO. Sua representação simbólica é vista na Fig. 2.6, juntamente com sua tabela da verdade.

Porta lógica NÃO ou inversora Tabela da verdade da função NÃO

Figura 2.6 – Porta lógica e tabela da verdade da função NÃO.

“A saída de uma porta NÃO assume o nível lógico 1 somente quando sua entrada é 0 e vice-versa”.

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2.5 Função NÃO E, NE ou NAND

Esta função é uma composição das funções E e NÃO, ou seja, é a função E

inversão do produto booleano A.B

invertida. Sua representação algébrica é , onde o traço indica que ocorrerá uma

O circuito da Fig. 2.7 esclarece o comportamento da função NE. Observa-se que a lâmpada apaga somente quando ambas as chaves são fechadas, ou seja, CH A=1, CH B=1, implica em S=0.

Figura 2.7 – Circuito que representa a função NE.

A Fig. 2.8 ilustra o circuito que executa a função NE da álgebra de Boole, juntamente com sua tabela da verdade.

Porta lógica NE Tabela da verdade da função NE

Figura 2.8 – Porta lógica e tabela da verdade da função NE.

“Esta função é o inverso da função E, ou seja, a saída será 0 somente quando todas as entradas forem 1”.

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2.6 Função NÃO OU, NOU ou NOR

Analogamente a função NE, a função NOU é a composição da função OU com a função NÃO, ou seja, é a função OU invertida. É representada algebricamente da seguinte forma: , onde o traço indica que ocorrerá uma inversão da soma booleana A+B.

Para melhor compreender a função NOU da álgebra de Boole, pode-se analisar o circuito da Fig. 2.9, onde se observa que a lâmpada fica acesa somente quando as duas chaves estão abertas. Assim, CH A=0, CHB=0, resulta em S=1.

Figura 2.9 – Circuito que representa a função NOU.

A Fig. 2.10 ilustra o circuito que executa a função NOU da álgebra de Boole, e sua tabela da verdade.

Porta lógica NOU Tabela da verdade da função NOU

Figura 2.10 – Porta lógica e tabela da verdade da função NOU.

“Esta função é o inverso da função OU, ou seja, a saída será 0 se uma ou mais entradas forem 1”.

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2.7 Função OU EXCLUSIVO

Esta função, como o próprio nome diz, apresenta saída com valor 1 quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si. A notação algébrica que representa a função OU Exclusivo é S=A⊕B, onde se lê: A OU Exclusivo B.

Para entender melhor a função OU Exclusivo, analisa-se o circuito da Fig. 2.1.

Na condição em que as chaves CH A e CH B estão abertas ( e estão fechadas), não há caminho para a corrente circular e a lâmpada não acende. A lâmpada continua apagada quando as chaves CH A e CH B estão fechadas, pois e estão abertas interrompendo o fluxo de corrente. Portanto, pode-se concluir que este Bloco só terá nível 1 na saída (lâmpada acesa), quando suas entradas forem diferentes.

CH A Figura 2.1 – Circuito que representa a função OU Exclusivo.

A Fig. 2.12 ilustra o símbolo que representa, na prática, a função OU Exclusivo e sua tabela da verdade.

Bloco OU Exclusivo Tabela da verdade da função

OU Exclusivo

Figura 2.12 – Bloco lógico e tabela da verdade da função OU Exclusivo.

A Fig. 2.12 simplesmente simboliza o circuito lógico que executa a função OU

Exclusivo. Na verdade, o circuito que efetivamente realiza a função demonstrada na tabela da verdade acima está ilustrado na Fig. 2.13.

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Figura 2.13 – Circuito que executa a função OU Exclusivo.

Observação importante: ao contrário dos outros blocos lógicos, cada circuito OU EXCLUSIVO admite somente 2 variáveis de entrada.

2.8 Função COINCIDÊNCIA ou NÃO OU EXCLUSIVO

Esta função, como seu próprio nome diz, apresenta saída com valor 1 quando houver uma coincidência nos valores das variáveis de entrada. A notação algébrica que representa a função Coincidência é S=AuB, onde se lê: A Coincidência B.

O circuito da Fig. 2.14 ajuda a compreender a operação da função Coincidência.

Quando as chaves CH A e CH B estão abertas ( e estão fechadas) circula corrente pela lâmpada e ela estará acesa. Quando CH A=1 e CH B=0 (=1) não circula corrente pela lâmpada, o que implica em lâmpada apagada. Na situação inversa CH A=0 (=1) e CH B=1 ocorre a mesma coisa e a lâmpada não acenderá. Com as

duas chaves fechadas, ou seja, CH A = CH B = 1 ( = = 0) circulará corrente pela lâmpada e esta estará acesa. Portanto, pode-se afirmar que a porta Coincidência terá 1 em sua saída (lâmpada acesa), quando as entradas forem idênticas.

Figura 2.14 – Circuito que executa a função Coincidência. 24

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A Fig. 2.15 ilustra o símbolo que representa, na prática, a função Coincidência e sua tabela da verdade.

Bloco Coincidência Tabela da verdade da função

Coincidência

Figura 2.15 – Bloco lógico e tabela da verdade da função Coincidência.

A Fig. 2.15 simplesmente representa simbolicamente o circuito lógico que executa a função Coincidência. Na verdade, o circuito capaz de realizar esta função é ilustrado na Fig. 2.16.

A.BA.B+S = AuB = _

Figura 2.16 – Circuito que realiza a função Coincidência.

Observação importante: Assim como ocorre com o bloco lógico OU EXCLUSIVO, o circuito COINCIDÊNCIA é definido apenas para 2 variáveis de entrada.

A seguir, é montada uma tabela contendo as cinco funções da álgebra de Boole, ou seja, funções: E, OU, NÃO, OU Exclusivo e Coincidência, com seus respectivos símbolos, que representam os circuitos lógicos capazes de executar tais funções. É mostrada, também, a tabela da verdade, juntamente com uma breve descrição de cada função e sua respectiva expressão algébrica.

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PORTA Símbolo Usual Tabela da Verdade Função Lógica Expressão E

Função E: Assume 1 quando todas as variáveis forem 1 e 0 nos outros casos.

Função E: Assume 0 quando todas as variáveis forem 0 e 1 nos outros casos.

Função NÃO: Inverte a variável aplicada à sua entrada.

Função NE:

Inverso da função E.

Função NOU: Inverso da função OU.

OU Exclusivo A B S

Função OU Exclusivo: Assume 1 quando as variáveis assumirem valores diferentes entre si.

Coincidência A

Função Coincidência: Assume 1 quando houver coincidência entre os valores das variáveis.

S=AuB

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2.9 Expressões Booleanas Obtidas de Circuitos Lógicos

Todo o circuito lógico executa uma função booleana e, por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas. Assim, pode-se obter a expressão booleana que é executada por um circuito lógico qualquer. Para exemplificar, será obtida a expressão que o circuito da Fig. 2.17 executa.

Figura 2.17 – Circuito lógico.

Para facilitar, analisa-se cada porta lógica separadamente, observando a expressão booleana que cada uma realiza, conforme ilustra o exemplo da Fig. 2.17.

O exemplo da Fig. 2.18 visa evidenciar um símbolo de negação muito utilizado e que muitas vezes é esquecido e não considerado. Ele pode ser utilizado na saída de uma porta lógica ( ), como na porta NÃO E abaixo, e na entrada de algumas portas, como será visto mais adiante ( ).

Figura 2.18 – Circuito lógico. 27

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2.10 Circuitos Lógicos Obtidas de Expressões Booleanas

Será visto neste tópico que é possível desenhar um circuito lógico que executa uma função booleana qualquer, ou seja, pode-se desenhar um circuito a partir de sua expressão característica.

O método para a resolução consiste em se identificar as portas lógicas na expressão e desenhá-las com as respectivas ligações, a partir das variáveis de entrada. Deve-se sempre respeitar a hierarquia das funções da aritmética elementar, ou seja, a solução inicia-se primeiramente pelos parênteses.

Para exemplificar, será obtido o circuito que executa a expressão S=(A+B).C.(B+D).

Para o primeiro parêntese tem-se uma soma booleana A+B, logo o circuito que o executa será uma porta OU. Para o segundo, tem-se outra soma booleana B+D, logo o circuito será uma porta OU. Posteriormente tem-se a multiplicação booleana de dois parênteses juntamente com a variável C, sendo o circuito que executa esta multiplicação uma porta E. Para finalizar, unem-se as respectivas ligações obtendo o circuito completo.

Primeiro Passo Segundo Passo Terceiro Passo

D S2

B S1

S1 SC

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2.1 Tabelas da Verdade Obtidas de Expressões Booleanas

Uma maneira de se fazer o estudo de uma função booleana é a utilização da tabela da verdade. Para extrair a tabela da verdade de uma expressão deve-se seguir alguns procedimentos:

1º) Montar o quadro de possibilidades; 2º) Montar colunas para os vários membros da equação; 3º) Preencher estas colunas com os seus resultados; 4º) Montar uma coluna para o resultado final e 5º) Preencher esta coluna com os resultados finais.

A expressão contém 4 variáveis: A, B, C e D, logo, existem 24=16 possibilidades de combinação de entrada.

Desta forma, monta-se o quadro de possibilidades com 4 variáveis de entrada, três colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão, e uma coluna para o resultado final.

A B C DFinal

Variáveis de entrada 1º membro 2º membro 3º membro Resultado

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2.12 Expressões Booleanas Obtidas de Tabelas da Verdade

Neste item, será estudada a forma de obter expressões e circuitos a partir de tabelas da verdade, sendo este o caso mais comum de projetos práticos, pois, geralmente, necessita-se representar situações através de tabelas da verdade e a partir destas, obter a expressão booleana e conseqüentemente, o circuito lógico. Para demonstrar este procedimento, será obtida a expressão da seguinte tabela:

(b) (c) (d)

Na tabela, analisa-se onde S=1 e monta-se a expressão adequada.

Nota-se que o método permite obter, de qualquer tabela, uma expressão padrão formada sempre pela soma de produtos. No próximo capítulo, relativo a álgebra de Boole, será estudado o processo de simplificação de expressões booleanas, possibilitando a obtenção de circuitos reduzidos.

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2.13 Equivalência Entre Blocos Lógicos

As portas lógicas podem ser montadas de forma que possam realizar as mesmas tarefas, ou seja, ter as saídas funcionando de maneira igual a uma outra já conhecida.

Estas equivalências são muito importantes na prática, ou seja, na montagem de sistemas digitais, pois possibilitam maior otimização na utilização dose circuitos integrados comerciais, assegurando principalmente a redução de componentes e a conseqüente minimização do custo do sistema.

Todos os Blocos lógicos e expressões podem ser verificadas utilizando-se a tabela da verdade.

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2.14 Exercícios do Capítulo I

2.14.1) Determine as expressões dos circuitos abaixo:

a) Circuito 1 A b) Circuito 2 A B C D c) Circuito 3

Apostila de Eletrônica Digital d) Circuito 4

2.14.2) Desenhe o circuito que executa as seguintes expressões:

b) S=A . [B . C + A . (C + D) + B . C . D] + B . D c) S=(A B) . [A . B + (B + D) + C . D + (B . C)] + A . B . C . D

2.14.3) Levante a tabela verdade das seguintes expressões:

b) S=(B + D) . [A + B . (C + D) + A . B . C]

2.14.4) Escreva a expressão característica do circuito abaixo e levante sua respectiva tabela verdade.

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2.14.5) Determine a expressão booleana a partir das seguintes tabelas:

a) Tabela 1

b) Tabela 2

2.14.6) Desenhe o sinal de saída do circuito abaixo:

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2.14.7) Mostre que o circuito abaixo é um OU Exclusivo.

2.14.8) Mostre que o circuito é um circuito Coincidência. A

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