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Capítulo 3 DERIVADAS

A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.

Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.

É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.

CONCEITO DE DERIVADA Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO Considere a seguinte função:

2x)x(f= Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:

1x0= e 2x1= Os valores de y correspondentes a esses pontos são:

Então, a curva da função passa pelos pontos:

)4,2()y,x(Q11== Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:

x yyx y m

O denominador do coeficiente angular é igual a:

1xxx01=−=∆ Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:

)21,1 , 1,1()y,x(Q11== O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

x yyx y m

Sendo que:

As coordenadas do ponto Q são iguais a:

)0201,1 , 1,1()y,x(Q11== O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

x yyx y m

Sendo que:

01,0101,1xxx 01 =−=−=∆ Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:

À medida que ∆x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2.

A situação, quando ∆x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:

Note que esse é um processo limite dado por:

x ylimm 0x ∆

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado.

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:

Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:

Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por:

x yyx y m

À medida que ∆x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:

No limite, quando ∆x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função:

Derivada = x )x(f)x(flim 0x ∆

→∆ Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:

Derivada = h

A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x): )x(f ′

Então:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido.

No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano).

Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:

Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.

Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções.

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