autoindutância unicamp IFGW

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Aula-10 Indução e Indutância

Uma espira condutora percorrida por uma corrente ina

espira de corrente + campo magnéticotorque

presença de um campo magnético sofre ação de um torque:

•Se uma espira sem corrente girar no interior de uma região onde há um campo magnético B,

•torque + campo magnéticocorrente?

aparecerá uma corrente ina espira? Isto é:

Indução Aprendemos que:

Será que...

Experimentos de Faraday

As respostas a essas questões foram dadas por Faraday. Ele observou que o movimento relativono conjunto ímãs e circuitos metálicos fechados fazia aparecer nestes últimos correntes transientes.

Espira conectada a um galvanômetro – não há bateria! 1-Se houver movimentorelativoímãespiraaparecerá umacorrente no galvanômetro. 2-quanto mais velozfor o movimento relativo, maior será a correntena

espira. corrente induzida

Primeiro experimento:

Figura ao lado: duas espiras condutoras próximas uma da outra, mas sem se tocarem.

Fechando-se S(para ligar a corrente na espira da direita) aparece um pico momentâneode corrente no galvanômetro G.

Abrindo-se S(para desligar a corrente),

aparece um pico momentâneo de corrente no galvanômetro, na direção oposta à anterior.

Embora não haja movimento das espiras, temos uma corrente

Nesta experiência, uma femé induzida na espira somente quando o campo magnético que a atravessa estiver variando.

Experimentos de Faraday Segundo experimento:

induzida ou uma força eletromotriz induzida(fem)

A Lei de Faraday da Indução

dAnB

Fluxo do campo magnético:

A unidade SI para fluxo é o weber(Wb)

A intensidade da femé igual à taxa de variação temporal dofluxo do campo magnético:

O sinal negativoindica que a femdeve se oporà variação do fluxo que a produziu.

1weber = 1Wb = 1T.m2

)( FaradaydeLei dt d B

Um longo solenóide S (em corte longitudinal) mostrado na figura ao lado tem 220 voltas/cme transporta uma corrente i =1,5A; seu diâmetro D= 3,2 cm. Em seu centro encontra-se uma bobina compacta C de 130 voltase diâmetro d= 2,1 cm. A corrente no solenóide é reduzida a zero a uma taxa uniforme em 25 ms. Qual a intensidade da feminduzida na bobina C enquanto a corrente no solenóide estiver variando?

O fluxo por voltana bobina compacta é

A variação do fluxo é então: Como consequência afem

Exemplo 1 ttdt d iBfBBB

d N Bé

A Lei de Lenz

O sentido da corrente induzida é tal que o campo magnético devido a ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu.

Oposição ao movimento do ímã Oposição à variação do fluxo

Guitarras elétricas

Fender stratocaster–possuem três grupos de seis pickups.

(pickupssão dispositivos que convertem oscilações elétricas em oscilações acústicas)

Vista lateral de um pickup elétrico de uma guitarra

Quando a corda oscila, o pequeno imã nela criado pelo magneto do pickup provoca uma variação do fluxo do campo magnético na bobina.

Indução e transferência de energia

BLv

R i

BLvBLx B

vLB P vLB F

velocidadeO trabalho realizado pelo agente

Espira sendo deslocada para direita com externo por unidade de tempo (potência aplicada) é:

vFvFP

Como o fluxo está diminuindo, aparece uma feme portanto uma corrente induzida na espira.

Forças sobre a espira:

v = constante Taxa de aparecimento de energia térmica na espira:

vLB R

BLv RiP

2(igual à potência aplicada)

Campos elétricos induzidos

magnético variável no tempo (com módulo crescendo à taxa).

Seja um anel de cobre de raio rnuma região onde há um campo

A variação de Bfaz aparecer uma correnteno anel. Portanto, um campo elétricoinduzidopassa a existir no anel.

E t

Pode-se então dizer que:um campo magnético variável produz um campo elétrico(Lei de Faraday reformulada).

dt dB

As linhas do campo elétrico induzido são tangentes ao anel, formando um conjuntode circunferências concêntricas.

Campos elétricos induzidos

Trabalho sobre uma partícula com carga, movendo-se ao redor

Mas, também: de uma circunferência de raio r:

Note que o campo induzido

não podeser associado a um potencial elétrico!

0 qW(= fem induzida)

Então: ldE

Ou:

ldE B

Para a figura do slide da página anterior, adotar dB/dt= 0,13 T/s e R= 8,5 cm.

Determinar as expressões da intensidade do campo elétrico induzido para r< R e r > R. Obtenha os valores numéricos para r= 5,2 cm e r =12,5 cm .

dBr E

rrE 2

dtdBr

Gráfico de E(r) mmVsT m

Exemplo 2

Indução e indutores

Para dois ou mais circuitos próximos, as correntes em cada um deles produzem campos e fluxos magnéticos nos demais.

Segue então da lei de Faradayque

O fluxo no circuito mserá então: dt d B n C nm nmnn m n r rrldi m S n C nm nmnn mmB Ad rrldi AdrB m nm m

S n

C nm nmn nm Ad rrld i

Indução

Para Sm e Cnindependentes do tempo podemos escrever a fem induzida na forma

L n n nmm , onde a indutânciaé escrita na forma:

n = me indutância mútua,M, paramn

Na prática, os Lm,nsão denominados de auto-indutância,L, quando m n

S m C nm nmn nm Ad nmL ,

= fluxo concatenado)

percorrida por uma corrente ique produz um fluxo magnético
Se, pela lei de Faraday aparecerá nela uma femdada por:

Consideremos uma bobina de Nvoltas, chamada de indutor, através de todas as espiras da mesma. B

Nd B

Na ausência de materiais magnéticos,é proporcional à corrente:

LiN B ou: i

Então:

di L

dt LidL

(fem auto-induzida)

O sentido deL é dado pela lei de Lenz: ela deve se oporà variação da corrente que a originou (figura).

Auto-indução i crescendo i decrescendo

Lembrando que neste caso Bé dado por

Indutância de um solenóide

Solenóide longo de comprimento l e área A

lAn i Aninli

(Lsó depende de fatores geométricos do dispositivoe do meio).

An l

20 (Indutância por unidade de comprimento)

A unidade SI de indutância é o henry: /AmT1H1henry1 2 da definição de indutância tem-se:

Circuitos RLsão aqueles que contêm resistores e indutores. Neles as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de máquinas e motores.

Circuito RL

Circuito básico para analisar correntes em um indutor a)Fechando-se achave S, no instante t= 0, estabelece-se uma corrente crescente no resistor .

Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão para a corrente i(t)que satisfaça à equação:

0 dt di LRi

Resolvendo esta equação diferencial para i(t), vamos ter: (I0: corrente máxima)

Li LRdt

Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante.

(constante de tempo indutiva) eIti eR ti t LRt

Circuito RL

L :voltagem no indutor

A equação anterior fica:

LRt

L eV

ReR i

Voltagens no resistor e no indutor –figura abaixo

RiVR e máximo,0 L Vt

Circuito RL circuitocurtoumaeequivalentzero , L Vt

Interpretação deL :

t L Para equivalente a um circuito aberto

Ao lado, temos gráficos das tensões emepara várias situações a) e b).

b)Fechando-se a chave S: neste caso, a equação das tensões será:

A solução desta equação é: Variações das voltagens com o tempo:

Circuito RL eIeR

0 dt di LRi i S

Os termos são, respectivamente, a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e taxa com que a energia é armazenada no campo magnético do indutor, isto é:

Energia armazenada no campo magnético dtdiiLiRi /e, 2

LididU dt di Li

B LididU

Do circuito abaixo tem-se:

di LiRii

LiU B

Densidade de energia do campo magnético Consideremos o campo magnético de um solenóide longo de

1 Como

inulAnL

AlLiAl

U u

A densidade de energia será dada por:

Lembrando queresulta que:inB

u B comprimento le seção transversal A, transportando uma corrente i. (densidade de energia magnética)

u B brB bra r i B

Cabo coaxial de raios ae b. Os cilindros interno e externo transportam correntes iguais em sentidos opostos. Determine:

a) a energia magnética UBarmazenada num comprimento ldo cabo; b) UBpor unidade de comprimento, se a= 1,2 m, b= 3,5 m e i= 2,7 A.

Exemplo 3

rldri

a bil bli

UB ln

Da lei de Ampère tem-se:

b) a) i i

Indutância mútua

Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma femna bobina 2 e vice-versa.

Indução mútua ML

di M d NouNiM

M A fem induzida na bobina 2:

A feminduzida na bobina 1: dt di M

di M di M

A indução é de fato mútua

Pode-se provar que:

Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2e N2voltas) sendo coaxial com a maior (raio R1e N1voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2. a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ;

Exemplo 4

M i

Então:

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