Baixe cálculo diferencial integral e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Capítulo 2 Noções de Cálculo Integral 2.1 Introdução No capítulo anterior vimos o poder do Cálculo Diferencial em pulverizar uma grandeza, decompondo o problema proposto em partes minúsculas, geralmente mais simples e de resolução direta. Por meio dele segmentos de retas, planos e homogeneidades são gerados a partir de curvas, superfícies complexas e heterogeneidades, respectivamente. De fato, vistas de um ponto muito ampliado e próximo, as discrepâncias e complexidades desaparecem e dão lugar às estruturas mais simples. Estudaremos agora o problema inverso: como encontrar a solução do problema original partindo dos innitésimos disponíveis. Tal solução consiste em encaixar perfeitamente e somar todos os innitos e minúsculos elementos gerados pelo Cálculo Diferencial, tarefa do Cálculo Integral. 2.2 A Integral indenida Resolver uma integral consiste basicamente em encontrar uma função chamada de pri- mitiva tal que a sua derivada é exatamente igual à função que dispomos. Por exemplo, a primitiva de 3x2 é x3, pois (x3)′ = 3x2. Da mesma forma, a primitiva de cosx é sinx, pois (sinx)′ = cosx. Para ser mais exato, as respostas corretas são x3 + C e sinx + C, sendo C uma constante qualquer (a sua derivada, sendo nula, não irá alterar o resultado). Se a integral da função f(x) é igual a g(x) + C, escrevemos: ∫ f(x)dx = g(x) + C (2.1) O símbolo da integral, ∫ , é um S alongado, distorcido, lembrando que essa operação representa uma soma contínua de elementos muito pequenos e próximos, como veremos na seção 2.7. Na expressão acima, a função f(x) é o integrando e está relacionada à primitiva g(x) de acordo com a operação: g′(x) = f(x). Em outras palavras, a derivada da primitiva é igual ao integrando. É muito importante destacar que o termo dx não pode ser omitido na representação da integral: ele indica diretamente a variável sobre a qual é feita a integração. Conforme veremos na seção 2.8.4, ele surge da própria denição da diferencial de uma função. Con- seqüentemente, é errado e não tem sentido escrever ∫ sinx, ou ∫ z3, ou algo parecido! O correto seria ∫ sinx dx e ∫ z3 dz, respectivamente. Da mesma forma, a integral ∫ x2y3z dy Noções de Cálculo Integral 20 indica uma integração feita sobre a variável y, nossa variável de interesse, considerando x e z constantes. De acordo com o exposto, podemos escrever: ∫ 3x2 dx = x3 + C ∫ 100x99 dx = x100 + C ∫ cosx dx = sin x + C ∫ sinx dx = − cosx + C ∫ ex dx = ex + C Observe que os integrandos acima são as derivadas das funções que aparecem no se- gundo membro da expressão correspondente. A constante C é obrigatória, já que a sua derivada é nula e não afeta o integrando. Como essa constante não foi denida até o momento, esse tipo de integral será chamada de integral indenida. É muito comum encontramos problemas envolvendo ∫ xn dx, com n ∈ <. Surge a pergunta: qual é a função cuja derivada é igual a xn? Para respondê-la, observemos que (xn+1)′ = (n+1)xn, ou xn = [ 1n+1xn+1]′, pois n+1 é uma constante e pode ser colocada no interior da derivada. Em outras palavras, a derivada da função xn+1/(n + 1) é exatamente igual à xn. Logo, ∫ xn dx = xn+1 n + 1 + C com n 6= −1 (2.2) Este importante resultado será muito utilizado nas deduções e problemas que serão vistos no desenrolar do curso. Observe que n deve ser diferente de −1 a m de não zerar o denominador do segundo membro, evitando a sua divergência, isto é, o termo 1/0 = ∞. Caso n = −1 o integrando seria x−1 = 1/x, levando a: ∫ 1 x dx = ln |x|+ C A tabela seguinte é uma pequena amostra das integrais de algumas funções corriqueiras. Tabelas mais completas e extensas podem ser encontradas em livros e na internet, como por exemplo no endereço http://www.profwillian.com/calculo/Integrais.htm. função integral xn x n+1 n+1 + C, com n 6= −1 1 x ln |x|+ C sinx − cosx + C cosx sinx + C sec2 x tanx + C ex ex + C Ex.: Calcular as integrais seguintes: (a) ∫ dx; (b) ∫ x dx; (c) ∫ dx/x3; (d) ∫ √ xdx; (e) ∫ dx/ 7 √ x5; Sol.: (a) ∫ dx = ∫ x0 dx = x0+1/(0 + 1) + C, logo, ∫ dx = x + C, ou seja, a soma innita e contínua de todas as partes innitesimais dx é igual ao todo, isto é, ao próprio x (a constante aditiva C é incluída apenas para generalizar a solução); (b) para n = 1, temos: ∫ x dx = x2/2 + C; (d) √x = x1/2 ⇒ n = 1/2, logo, ∫ √x dx = (2/3)x3/2 + C; (e) 1/ 7 √ x5 = x−5/7 ∴ n = −5/7. Conseqüentemente, ∫ dx/ 7 √ x5 = 7 7 √ x2/2 + C. Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Integral 23 Se multiplicarmos a igualdade acima por dx, obtemos d(uv) = v du + u dv, ou ainda,∫ d(uv) = ∫ v du+ ∫ u dv. Como ∫ d(uv) = uv (da mesma forma que ∫ dx = x ou ∫ dζ = ζ), teremos: uv = ∫ v du + ∫ u dv, ou ainda, ∫ u dv = uv − ∫ v du (2.5) Esse é o famoso método da integração por partes, cuja essência consiste na escolha correta das funções u e v que levem à solução do problema. Ambas as funções dependem de x e permanecem desconhecidas até o momento, daí sua presença no interior das integrais. O exemplo seguinte mostra como esse método é utilizado. Ex.: Calcular ∫ xex dx. Sol.: Podemos quebrar a integral dada em duas partes se zermos x = u e exdx = dv. Daí decorre que du = dx e v = ex, cuja substituição em 2.5 fornecerá: ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx = xex − ex + C = ex(x− 1) + C Fica como exercício provar que a derivada de ex(x− 1) + C é realmente igual a xex. 2.6 A integral denida Um segundo tipo de integral que podemos ter é a integral denida. Como o próprio nome sugere, trata-se de uma integral denida apenas em um intervalo de valores possíveis de x. A integral denida da função f(x) no intervalo x ∈ (a, b) será representada por: ∫ b a f(x) dx Como será visto posteriormente durante as aulas da disciplina Cálculo II, o teorema fundamental do Cálculo estabelece o importante resultado: Se ∫ f(x) dx = g(x) + C , então ∫ b a f(x) dx = g(b)− g(a). Ex.: Calcular ∫ 1 0 2x dx. Sol.: Para resolver a integral denida precisamos antes obter a primitiva correspondente. Temos: ∫ 2x dx = 2 ∫ x dx = 2 · x2/2 + C = x2 + C, assim, g(x) = x2. De acordo com o teorema fundamental do Cálculo, ∫ 1 0 2x dx = g(1) − g(0) = 12 − 02 = 1. Observe que a constante C não aparece na integral denida e que o resultado da operação é um número, não uma função. Ex.: Calcular ∫ 5 2 dx. Sol.: Ora, ∫ dx = x + C ⇒ g(x) = x. Logo, ∫ 52 dx = g(5)− g(2) = 5− 2 = 3. Ex.: Calcular ∫∞ 0 e −xdx. Noções de Cálculo Integral 24 Sol.: Seja a integral: ∫ e−xdx. Fazendo −x = v, obtemos dx = −dv. Logo, ∫ e−xdx =∫ ev(−dv) = − ∫ evdv = −ev + C = −e−x + C, resultando g(x) = −e−x e: ∫ ∞ 0 e−xdx = [−e−x]∞ 0 = − [e−∞ − e0] = − [0− 1] = 1 pois e−∞ = 1/e∞ = 1/∞ = 0. 2.7 Interpretação geométrica Geometricamente, a derivada corresponde à inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto dado. Mas qual o signicado geométrico da integral? Para que mais ela serve, além de calcular primitivas? Uma resposta imediata surge da gura seguinte. Nela vemos uma curva y = f(x) cuja área delimitada pelas retas x1 = a, xN = b e y = 0 queremos calcular. f x( )i y f x= ( ) xi x =a1 x2 x3 x =bN xO y Dxi ¼ ¼ Figura 2.1: Decompondo uma área em retângulos Se o intervalo de interesse for dividido em N partes e retângulos forem construídos (centrados nos pontos xi, com i = 1, 2, 3, . . .), cada um com altura f(xi) e base ∆xi, a área A delimitada pela curva será, aproximadamente: A ≈ N∑ i=1 f(xi)∆xi Na aproximação acima, o somatório, representado pelo símbolo ∑N i=1, representa uma soma de N termos do tipo f(x1)∆x1 + f(x2)∆x2 + · · · + f(xN )∆xN , isto é, a soma das áreas retangulares.. Obviamente, quanto maior o valor de N menor será o erro cometido. De fato, à medida que o número de retângulos dentro do intervalo aumentar (N → ∞), as suas bases irão diminuir (∆xi → 0), fazendo a aproximação convergir para uma igualdade. Dito de forma matemática, A = lim N→∞ ∆xi→0 N∑ i=0 f(xi)∆xi = ∫ b a f(x)dx Indicaremos a soma innita acima pelo símbolo ∫ . A integral simboliza, portanto, uma soma innita de termos do tipo f(x)dx em um dado intervalo. Do ponto de vista Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Integral 25 geométrico, a integral denida ∫ b a f(x)dx representa a área sob a curva y = f(x), de x = a até x = b. Ex.: Calcular a área delimitada pela curva f(x) = √x entre x = 0 e x = 4. Sol.: Temos: A = ∫ 4 0 √ x dx = ∫ 4 0 x 1/2 dx = [ 2 3x 3/2 ]4 0 = 23 [ √ 43 − 0] = 23 · 8 = 163 u.a. Ex.: Idem para a curva f(x) = e−x, com x variando de 0 a ∞. Sol.: Como ∫ e−x dx = −e−x + C, vem: ∫∞0 e−x dx = − [e−x] ∞ 0 = −[0 − 1] = 1, pois e−∞ = 0, como já foi visto. Ex.: Qual a área formada entre as curvas f(x) = x2 e g(x) = √x no intervalo compreen- dido entre os seus pontos de intersecção? x y 10 y x= Ö Ø y x= 2 Sol.: Os pontos de intersecção são obtidos fazendo-se: x2 = √x ⇒ x4 = x, ou seja, x3(x − 1) = 0, cujas raízes são x = 0 e x = 1. A área de interesse é a diferença entre as áreas sob as curvas √x e x2 (observe √x está acima de x2) entre os pontos considerados, isto é: A = ∫ 1 0 (√ x− x2) dx. Fica como exercício mostrar que essa integral é igual a 1/3. 2.8 Algumas aplicações São inúmeras as aplicações do Cálculo Integral e o seu estudo detalhado foge aos propósitos deste material introdutório. Apresentaremos a seguir apenas um diminuto repertório de aplicações da integral, movidos pela necessidade de simplicação, coerência e concisão. Representando uma soma innita de diminutos elementos innitamente próximos, as integrais estão associadas às distribuições contínuas, sejam de massa, carga, energia ou de outra grandeza qualquer que se apresente dessa forma. Por essa razão, elas são empre- gadas nos cálculos de comprimentos, áreas, volumes, densidades, distribuições de massas e de cargas, campos escalares e vetoriais, de centros de gravidade, momentos de inércia, distribuições contínuas de forças e pressões, energias potenciais e muito mais. 2.8.1 Valor médio de uma função A área sob a curva f(x) no intervalo x ∈ [a, b] é dada por ∫ ba f(x) dx. Se fosse neces- sário construir um retângulo de mesma área no intervalo considerado, qual deveria ser a sua altura? Esta pergunta é interessante, pois ao se trabalhar com uma função de valor constante (altura do retângulo) a complexidade da curva inicial é contornada. Noções de Cálculo Integral 28 sendo m a sua massa, considerada constante. Temos, portanto, a aceleração do objeto. Porém, como obter a velocidade e a posição instantâneas, x(t) e v(t), conhecida a acelera- ção? Para responder, vale notar que a representação de Leibniz para a derivada é signi- cativamente interessante e dúbia: ao mesmo tempo que dψ/dt simboliza uma operação matemática (no caso a derivação de uma grandeza genérica ψ(t) em relação à variável t), também representa um quociente, ou divisão, entre duas grandezas innitamente peque- nas, dψ e dt, formas resumidas de ∆ψ → 0 e ∆t → 0, como já foi amplamente discutido no capítulo anterior. Assim sendo, lembrando ainda da representação de Newton, podemos escrever: ψ′(t) = dψ dt ⇒ dψ = ψ′(t) · dt que é exatamente a diferencial da função ψ(t). A integração de ambos os membros da igualdade acima fornece: ∫ dψ = ∫ ψ′(t) dt. Se conhecermos a função ψ′(t) resolveremos o problema, pois ∫ dψ = ∫ ψ0 dψ = ψ, a menos de uma constante. Assim, ψ(t) = ∫ ψ′(t) dt + C Em linhas gerais, esse é o procedimento seguido para resolver os problemas vindouros. Para tornar mais claro o processo, vamos resolver as questões seguintes. Ex.: A aceleração de um corpo é dada por a(t) = 3t2 − 2t. Obter uma expressão para as correspondentes velocidade e aceleração instantâneas, sabendo-se que no instante t = 0 o corpo passava pela posição x0 = 4 m com velocidade v0 = 3 m/s. Sol.: Temos que a(t) = dv/dt, ou seja, dv/dt = 3t2 − 2t ⇒ dv = (3t2 − 2t) dt. Se integrarmos ambos os membros dessa igualdade, teremos: ∫ dv = ∫ (3t2 − 2t) dt, ou ainda, v(t) = t3− t2 +C, pois ∫ dv = v (a menos de uma constante). De acordo com o problema, v(0) = 3 ⇒ C = 3, resultando v(t) = t3 − t2 + 3. Da mesma forma, dx/dt = v(t) ⇒ dx = (t3− t2 + 3) dt. Integrando ambos os membros obtemos: ∫ dx = ∫ (t3 − t2 + 3) dt ⇒ x(t) = 14 t4 − 13 t3 + 3t + C ′, sendo C ′ uma constante cujo valor dependerá da condição inicial x(0) = 4, isto é, C ′ = 4. Logo, a função horária da posição será: x(t) = 14 t4 − 13 t3 + 3t + 4. Fica como exercício mostrar que, de fato, dx/dt e d2x/dt2 fornecerão as expressões já conhecidas para a velocidade e aceleração da partícula, respectivamente. Ex.: Quais as equações que regem o movimento de um corpo que se move em trajetória retilínea com aceleração constante e igual a a, se v(t = 0) = v0 e x(t = 0) = x0? Sol.: Sendo dv/dt = a, então, dv = a dt ⇒ v = ∫ dv = ∫ a dt. Como a é constante, sairá da última integral e assim, v(t) = a ∫ dt = at+C. Da condição v(0) = v0 obtemos C = v0. Logo, v(t) = v0 + at. Da mesma forma, dx/dt = v ⇒ dx = v(t) dt, ou ainda, ∫ dx = ∫ (v0 + at) dt. Logo, x(t) = v0t+ 12at 2+C ′; como x(0) = x0, vem: C ′ = x0 e x(t) = x0+v0t+ 12at2. Observe que as expressões obtidas para x(t) e v(t), correspondentes às equações do movimento retilíneo uniformemente variado, ou M.R.U.V., só foram obtidas e, conseqüentemente, só devem ser utilizadas se a partícula se mover com aceleração constante. Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Integral 29 Ex.: Sabendo-se que a velocidade instantânea de uma partícula é dada por v(t) = 3 sin t e que no instante t = 0 a sua posição é x(0) = 0, obter a(t) e x(t). Sol.: Ora, a aceleração pode ser obtida facilmente derivando-se a velocidade, isto é, a(t) = dv/dt ⇒ a(t) = 3 cos t. Para a posição, temos: v(t) = dx/dt ⇒ dx = 2 sin t dt. Integrando ambos os membros dessa última expressão, encontramos: ∫ dx = 2 ∫ sin t dt, ou ainda, x(t) = −2 cos t + C, pois ∫ dx = x. De acordo com o problema, x(0) = −2 cos 0 + C = 0 ⇒ C = 2, resultando x(t) = 2− 2 cos t. Ex.: A aceleração de um corpo varia com a posição de acordo com a expressão a(x) = 3x, sendo x a sua posição. (a) Encontrar a equação da velocidade, v(x), sabendo-se que v0 = 2 m/s e x0 = 6 m. (b) Qual a velocidade do corpo ao passar pela origem (x = 0)? Sol.: (a) De acordo com a regra da cadeia e lembrando que dx/dt = v, podemos escrever: a = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx Observe que o tempo não está mais presente na expressão nal de a, agora função da posição, em coerência com o problema. Como a(x) = 3x, temos: v dv dx = 3x ⇒ v dv = 3x dx. Assim, ∫ v dv = 3 ∫ x dx ⇒ v 2 2 = 3x2 2 + C Se v = v0 = 2 quando x = x0 = 6, então: 2 = 54 + C ⇒ C = −52, resultando: v2 2 = x2 2 − 52 ⇒ v(x) = ± √ x2 − 104 Observe que só existirá velocidade para valores de x tais que x2 − 104 > 0, ou seja, x > √ 104 m ou x 6 −√104 m. (b) Neste caso, o valor de x está fora dos intervalos obtidos acima, deixando o problema sem uma resposta numérica. De fato, x = 0, implica x2 − 104 = −104, resultando em uma velocidade imaginária (número complexo). Este absurdo ratica apenas que é impossível que o corpo passe pela origem do sistema. 2.9 Exercícios gerais Probl.1 Calcular as integrais das seguintes funções: (a) f(x) = 0; (b) f(x) = 3x0,3; (c) f(x) = −1/x2; (d) f(x) = x5/ 3 √ x2; (e) f(x) = x √ x. Probl.2 Calcular as seguintes integrais: (a) ∫ (x − 2)2 dx; (b) ∫ (x + 5)(x − 5) dx; (c) ∫ (x + 1)(x + 2)(x + 3) dx; (d) ∫ (x4 + x √ x− π) dx; Probl.3 Através de uma mudança adequada de variáveis, calcular as integrais das funções abaixo: (a) f(x) = √ 2x + 3; (b) f(x) = (3−2x)10; (c) f(x) = 1/(3x−4); (d) f(x) = 3x/(2x2+ Noções de Cálculo Integral 30 1); (e) f(x) = cosx · esin x; (f) f(x) = 4 sin 3x · cos3 3x. (g) f(x) = (2x + 5)(x2 + 5x)7; (h) f(x) = tanx sec2 x; (i) f(x) = 3(x ln x)−1; Probl.4 Usando o processo de integração por partes, obter as integrais das funções: (a) f(x) = x2ex; (b) f(x) = x sinx; (c) f(x) = ex cosx; Probl.5 Calcular: (a) ∫ 3 1 x 2dx; (b) ∫ 1 −1(x+1) 12dx; (c) ∫ 0 −2π 4 cos xdx; (d) ∫∞ 0 x −1dx; (e) ∫ +∞ −∞ (x+3) −1dx; (f) ∫ 0 −∞ x −4dx; (g) ∫ √π 0 x sin 2 xdx; Probl.6 Determinar a área delimitada pela curva y = sinx e o eixo Ox de x = 0 até x = 2π e interprete o resultado obtido. Probl.7 Qual a área que a hipérbole y = 1/x forma com o eixo Ox se x ∈ [1, +∞)? Probl.8 Qual a área entre as curvas y1 = 4x− x2 e y2 = (x− 2)2? Probl.9 Provar que o valor médio da velocidade obtido a partir da equação 2.6 é exata- mente igual à sua denição cinemática, isto é, v̄ = ∆s/∆t, sendo s = s(t) a posição da partícula no tempo t. Probl.10 Qual o valor médio das funções: (a) f(x) = sinx, no intervalo [0, 2π]? (b) f(x) = sin2 x, em [0, 2π]? (Dica: utilizar a seguinte relação trigonométrica: sin2 x = (1 − cos 2x)/2 (ainda como exercício, deduzir esta identidade!) (c) f(x) = 5x− 5, em [0, 2]? Probl.11 Sabendo-se que ∫ √ a2 + u2 du = u 2 √ a2 + u2 + a2 2 ln ( u + √ a2 + u2 ) + C determinar o comprimento do arco da parábola y = x2 de x = 0 até x = 4. Probl.12 Se a reta y = Rx/H, sendo R e H constantes reais positivas, girar em torno do eixo das abscissas, determinar: (a) O volume do cone gerado, de x = 0 até x = H; (b) O volume do tronco de cone gerado, de x = h até x = H, sendo 0 < h < H. Probl.13 Calcular o volume gerado pela rotação de y = 2x3 em torno de Oy, de y = 0 a y = 4. Probl.14 A densidade linear de massa (representada por λ) é denida como a razão entre a massa de um corpo e o seu comprimento, isto é, λ = dm/dx, sendo dm a massa de um segmento de tamanho dx pertencente ao corpo em questão. Evidentemente, no M.K.S., λ é dado por kg/m. Supondo que uma haste unidimensional e horizontal de comprimento 3 m seja não uniforme, isto é, possua densidade variável dada por λ(x) = 0, 5 + 4x + x2, obter: (a) a massa total da haste; (b) a posição do centro de gravidade da haste (nota: a abscissa