Aula17-Construções Geométricas

Aula17-Construções Geométricas

(Parte 1 de 3)

Objetivo Aplicar homotetia em resolu c~oes de problemas de constru c~ao geom etrica.

Nesta aula veremos diversos problemas de constru c~ao geom etrica utilizando multiplica c~ao de ponto, de reta e de circunferencia. Para alguns problemas a escolha do centro de homotetia e subjetiva, no entanto essa escolha deve ser feita de forma adequada a facilitar a resolu c~ao do problema, como nos seguintes problemas.

Problema 1: Multiplique um pol gono qualquer por uma raz~ao α dada.

Resolveremos este problema para = 3

2 e um hex agono ABCDEF, pois a resolu c~ao servir a para qualquer raz~ao e qualquer pol gono.

Note que o centro de homotetia deste problema n~ao e conhecido, por isso devemos escolhe-lo da maneira mais adequada. Em geral, a escolha e feita por um ponto que perten ca a gura original, pois dessa forma ele torna-se invariante pela multiplica c~ao(1), neste problema escolheremos um v ertice

como centro de homotetia=

Sabemos que um ponto A′ e a multiplica c~ao do ponto A pela raz~ao com centro em

O se e somente se

Dizemos que um ponto A e invariante pela multiplica c~ao quando o resultado da multiplica c~ao A0 coincide

Este fato acontece se e somente se = 1 ou o centro O coincide com o ponto A.

Reveja a multiplica c~ao de ponto na Aula 16.

Figura 118

Tomando o v ertice A como centro de homotetia multiplicamos o hex agono atrav es dos seguintes passos:

1.1 Obtenha a multiplica c~ao do v ertice B por 3

2 com centro em A e obtemos um ponto B0.

1.2 Trace as retas de homotetia dos v ertices C, D, E e F com centro de homotetia em A.

1.3 Pelo ponto B0 trace uma reta paralela ao lado BC que interceptar a a reta de homotetia do ponto C no ponto C0.

67 CEDERJ

1.4 Pelo ponto C′ trace uma reta paralela ao lado CD que interceptar a a reta de homotetia do ponto D no ponto D0.

1.5 Pelo ponto D0 trace uma reta paralela ao lado DE que interceptar a a reta de homotetia do ponto E no ponto E0.

1.6 Pelo ponto E0 trace uma reta paralela ao lado EF que interceptar a a reta de homotetia do ponto F no ponto F0.

ABCDEF pela raz~ao = 3

2 com centro em A.

1. Multiplique o pent agono ABCDE por 4

Figura 120

A homotetia serve, em alguns casos, como processo auxiliar para constru c~ao de pol gonos cujas propriedades para os lados n~ao s~ao simples, por exemplo o pent agono regular. Para construirmos um pent agono regular sendo dado o seu lado e necess ario que se construa um pent agono regular(1) com um lado de uma medida qualquer e em seguida obtemos um homot etico considerando o lado.

(1) Reveja a Aula 8 relativa a divis~ao de circunferencias e em particular a divis~ao em cinco partes exatas(Problema 3).

CEDERJ 68

Problema 2: Construa um pent agono regular de lado igual a .

2.1 Construa um pent agono regular inscrito em uma circunferencia de centro O utilizando o processo realizado para dividir uma circunferencia em cinco partes exatas.

Figura 121

2.2 Trace as retas de homotetia com centro em O de dois v ertices consecutivo do pent agono constru do no item anterior.

2.3 No prolongamento do lado do pent agono compreendido entre os raios de homotetia construa um segmento MN de comprimento ‘, considerando como origem deste segmento uma das extremidades do lado prolongado. Considere M como a origem do segmento.

2.4 Pelo ponto N trace a reta s paralela a reta de homotetia que passa por M.

2.5 A reta s interceptar a a outra reta de homotetia no ponto A que e o primeiro v ertice do pol gono desejado.

2.6 Construa a circunferencia 2 de centro em O que cont em o ponto A. 2.7 Construa o pent agono inscrito em 2 utilizando o lado de medida ‘.

s O

Figura 122 69 CEDERJ

Problema 3: Dadas duas curvas Γ e , um ponto O e dois segmentos de comprimento m e n. Obtenha os pontos A e B sobre e , respectivamente, tal que OA

OB = m

Esteproblema echamado de Condu c~ao de um ponto de uma gura para outra gura sob uma raz~ao m

m n

Problema supostamente resolvido

Figura 123

Como OA

OB = m n ent~ao B e o ponto hom ologo de A com centro em O e raz~ao n m . Neste caso, podemos obter o ponto B pela interse c~ao da gura m n

Figura 124

O problema anterior serve de mecanismo para solucionarmos os seguintes exemplos:

Exemplo 1 Obtenha dois pontos A e B pertencentes a reta r e a circunferencia , res- pectivamente, tal que OA

Figura 125 CEDERJ 70

(Parte 1 de 3)

Comentários