Aula17-Construções Geométricas

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(Parte 2 de 3)

Pelo Problema 2, a resolu c~ao deste exemplo se d a multiplicando r por 4

3 . Podemos assim, obter at e duas solu c~oes que depende da posi c~ao que a

1. Trace duas semi-retas por O e denomine por P a interse c~ao de uma das semi-retas com a reta r.

2. Estabele ca um segmento unidade e construa quatro segmentos consecutivos com o comprimento da unidade sobre a semi-reta que n~ao cont em P a partir do centro de homotetia. Denomine os quatro pontos obtido por Q, R, S e T.

3. Una o terceiro ponto S com o ponto P por uma reta s. 4. Trace pelo ponto T a reta s′ paralela a s. 5. A reta s0 interceptar a a semi-reta que cont em P num ponto U. 6. Trace pelo ponto U a reta r0 paralela a r.

7. A reta r0 e a multiplica c~ao de r por 4

com s~ao os dois pontos de pedidos no exemplo.

Para obter os pontos correspondentes em r basta conduzi-los por suas retas de homotetia at e r.

u T

Figura 126

O exemplo anterior poderia ter sido resolvido multiplicando-se a cir-

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Exemplo 2

Trace pelo ponto A sobre a interse c~ao das circunferencias 1, de centro O1, e 2, de centro O2, uma reta r que corte as circunferencias nos pontos M e

N, respectivamente, tal que AM

M 2k 3k

Como AM

3 e os segmentos − ! AM e ! AN possuem sentidos opostos,

ent~ao o ponto N e o resultado da multiplica c~ao do ponto M por 3 2 com centro em A. Assim, o ponto N e obtido pela interse c~ao de 2 com o resultado da multiplica c~ao de 2.

1. Trace a reta s que cont em o centro e o ponto A.

2. Divida o segmento O1A em duas partes iguais.

3. Utilizando unidade igual a metade do segmento O1A construa um segmento AO3 igual a tres unidades, na parte externa da circunferencia 1, sobre a reta s.

6. Unindo os pontos A e N obter a a reta r e a interse c~ao entre r e 1 e o ponto M.

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Figura 128

2. Conduza por O uma reta r que intercepte as retas s e t, dadas a seguir, nos pontos A e B, respectivamente, tal que OA

r s

Figura 129

3. Conduza por O uma reta r que intercepte as circunferencias 1 e 2 nos pontos A e B, respectivamente, tais que OA

Figura 130

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4. Dados um segmento , um ponto M e duas retas r e s. Construa um paralelogramos ABCD, onde r cont em o lado AB, AB = ‘, C pertence a s e o ponto M e o ponto de encontro das diagonais.

s r

Figura 131 Sugest~ao para o Exerc cio 4 s M

Problema supostamente Resolvido

Note pela gura do problema supostamente resolvido a diagonal AC pode ser obtida de forma semelhante ao Exerc cio 2 considerando a raz~ao −1 para o ponto M como centro.

Aplica c~ao de Homotetia em Problemas de Posi c~ao

Nesta se c~ao veremos que a homotetia pode ser aplicar em problemas de posicionamento de pol gonos, como exemplo a inscri c~ao de pol gonos em outros pol gonos. Este processo e baseada no deslocamento homot etico das guras para sua posi c~ao desejada.

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Problema 3: Dados um triangulo ABC e tres retas r, s e t, construa um triangulo A′B0C0 inscrito em ABC cujos lados s~ao paralelos as retas r, s e t, respectivamente.

t r

Vamos construir um triangulo A0B0C0 inscrito em ABC tal que A0 ∈

BC, B0 2 AC e C0 2 AB, onde A0B0==t, A0C0==s e B0C0==r. Para isto, podemos considerar todos os triangulos A B C semelhantes ao triangulo A0B0C0 desejado tal que B 2 AC e C 2 AB desconsiderando inicialmente a necessidade de A 2 BC. Todos estes triangulos s~ao semelhantes entre si e al em disso s~ao homot eticos com centro de homotetia em A. Assim, o ponto A0 e o unico ponto hom ologo aos v ertice A que perten ca ao lado BC, que se obt em pela interse c~ao da reta de homotetia de A com BC.

C t

Portanto, a resolu c~ao do problema e obtida pelos seguintes passos:

3.1 Marque um ponto B 2 AC. 3.2 Trace a reta r paralela a reta r que passe por B . 3.3 A reta r intercepta a reta suporte do lado AB no ponto C .

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3.4 Pelo ponto B∗ trace a reta t paralela a t.

3.5 Pelo ponto C trace a reta s paralela a s.

3.7 Trace a reta de homotetia de A com centro em A.

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