Aula17-Construções Geométricas

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(Parte 3 de 3)

3.8 A interse c~ao da reta de homotetia do ponto A e o lado BC e o ponto A0.

3.9 Pelo ponto A0 trace as retas t0 e s0 paralelas, respectivamente, as retas t e s.

3.10 A reta t0 intercepta o lado AC em B0 e a reta s0 intercepta o lado AB em C0.

O triangulo A0B0C0 e uma solu c~ao para o problema. Outras solu c~oes podem ser obtidas se for poss vel A0B0==s ou A0B0==t.

Problema 4: Inscreva um quadrado num setor circular dado.

Este possui duas solu c~oes com grandes diferen cas. Neste caso, efetuaremos as duas solu c~oes. A primeira solu c~ao pode ser obtida considerando dois v ertices sobre um dos raios que formam o setor, um v ertice sobre o outro raio e o quarto v ertice sobre o arco. Neste caso, todos os quadril ateros que possuem dois v ertices sobre a reta suporte de um raio e um terceiro v ertice sobre a reta suporte do outro raio s~ao semelhantes e homot eticos com centro de homotetia sobre o centro do setor circular.

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Considere um setor circular de centro O que e determinado pelo arcoXY . Vamos construir o quadrado que possua dois v ertices sobre o raio OY .

4.1 Pelo ponto X trace uma reta perpendicular ao raio OY , determinando em OY um ponto A.

4.2 Construa um quadrado ABCX de lado igual a AX, de tal forma que o v ertice C seja externo ao setor circular.

4.3 Trace a reta de homotetia do v ertice C com centro em O. 4.4 A reta de homotetia do ponto C intercepta o arco dXY no ponto C′.

4.5 Pelo ponto C0 trace uma reta perpendicular ao raio OY , determinando em OY o ponto B0.

4.6 Construa o quadrado de lado igual a B0C0 com v ertice A0 sobre o lado OY e v ertice D0 sobre o raio OX.

O quadrado A0B0C0D0 e a solu c~ao do problema.

Figura 137 7 CEDERJ

A segunda solu c~ao e obtida com dois v ertices sobre o arco e um v ertice em cada raio. Neste caso, os v ertices que est~ao sobre os raios formam com o centro do setor circular um triangulo is osceles e al em disso o lado formado por estes v ertices e paralelo a corda determinada pelo arco do setor circular. Neste caso, todos os quadrados que possuem dois de seus v ertices sobre as retas suportes dos raios do setor, cujo lado determinado por eles seja paralelo a corda, s~ao homot eticos de centro sobre o centro do setor circular.

Considere um setor circular de centro O que e determinado pelo arcoXY .

4.1 Construa o quadrado ABY X com os v ertice A e B situados na parte externa do setor circular.

4.2 Trace as retas de homotetia dos pontos A e B com centro em O.

4.3 As retas de homotetia interceptam o arco nos pontos A′ e B0, respectivamente.

4.4 Construa o quadrado A0B0C0D0 com o v ertice C0 sobre o raio OY e D0 sobre o raio OX.

O quadrado A0B0C0D0 e a solu c~ao para o problema.

Figura 138 CEDERJ 78

5. Inscreva um losango inscrito no triangulo ABC considerando o angulo em A comum aos dois pol gonos.

B C Figura 139

6. Construa um quadrado inscrito no triangulo ABC considerando um de seus lado paralelo ao lado AB.

B C Figura 140

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