Aula12-Construções Geométricas

Aula12-Construções Geométricas

(Parte 1 de 2)

Objetivos

Construir quadrados, retangulos e losangos utilizando suas principais propriedades e recursos de constru c~oes de triangulos.

A constru c~ao de quadril ateros vai recair de forma natural na constru c~ao de triangulos, basta lembrar que sua diagonal o divide em dois triangulos.

Problema 1: Construir um quadrado sendo dado um lado. Resolu c~ao: Seja o lado AB dado do quadrado.

1.1 Pela extremidade A do lado tra car uma perpendicular ao lado;

1.2 Com centro em A e raio AB constr oi-se uma circunferencia que intercepta a perpendicular em um ponto C;

1.3 Com centro em C, e logo a seguir com centro em B, constr oi-se duas circunferencias de raios AB, que se interceptar~ao nos pontos A e D;

1.4 O quadril atero ABDC e um quadrado.

Figura 1

Justi cativa: Note que os triangulos ABC e BDC s~ao congruentes pelo caso L.L.L., e s~ao triangulos retangulos is osceles. Logo os lados do quadril atero ABDC s~ao iguais e seus angulos internos s~ao retos.

7 CEDERJ

Sabe-se, pela Geometria B asica, que o ap otema de um pol gono regular e o segmento cujos extremos s~ao o centro do pol gono regular e o ponto m edio de um lado. No caso de um quadrado, o ap otema tem a medida que corresponde a m etade do lado.

1. Construir um quadrado sabendo que seu ap otema tem medida a dada pelo segmento abaixo.

Figura 2

2. Construir um quadrado sabendo que sua diagonal tem medida d dada pelo segmento abaixo.

Figura 3

Problema 2: Construir um quadrado conhecendo a soma da diagonal com o lado.

Indiquemos por L o lado do quadrado, por d sua diagonal e por s = L + d. Assim, temos pelo Teorema de Pit agoras que:

Da o lado do quadrado procurado e a diferen ca entre a diagonal de um quadrado cujo lado e s e este lado s.

Seja o lado AB a soma da diagonal do lado de um quadrado com o seu lado.

1.1 Pela extremidade A do lado tra car uma perpendicular a AB;

1.2 Com centro em A e raio AB constr oi-se uma circunferencia que intercepta a perpendicular em um ponto C;

CEDERJ 8

1.3 Com centro em B e raio AB construimos uma circunferencia que intercepta o segmento CB em um ponto D;

1.4 O segmento CD e o lado do quadrado procurado;

1.5 Basta agora seguir os mesmos passos do problema 1 para achar o qua- drado CDEF. E

Figura 4

Existe um segundo processo para resolver o problema anterior. Suponha o problema j a resolvido, isto e, que j a tenhamos o quadrado constru do.

• Prolonga-se a diagonal e rebate-se o lado sobre o prolongamento. Obtemos assim um segmento que e a soma do lado com a diagonal;

Une-se a extremidade deste segmento com um dos outros v ertices que n~ao formam a diagonal formando um angulo de 45o

2 com o seu prolon- gamento .

Figura 5 9 CEDERJ

Justi cativa: Por constru c~ao o triangulo BCE e is osceles de base BE, logoC BE = C bEB. Por outro lado, A bCB = 45o e angulo externo do triangulo BCE n~ao adjacente aos angulos C bBE e C bEB, da AbCB = C bBE + C bEB.

Portanto, C bEB = 45o

Assim, para construir o quadrado basta construir angulo de 45o

2 em um extremo, E, da soma do lado com a diagonal e no outro extremo, A, um angulo de 45o. Os lados destes angulos se encontrar~ao em um dos v ertices A do quadrado. Unindo o extremo A com o ponto B temos o lado do quadrado.

3. Construir um quadrado conhecendo a diferen ca D da diagonal com o lado. D

Figura 6

Sugest~ao: Basta seguir a mesma id eia do problema 2.

Problema 3: Construir um losango sendo dados as medidas, L e D, do lado e de uma diagonal, respectivamente.

3.1 Sobre uma reta r toma-se um segmento AB igual a diagonal dada;

3.2 Com centros nas extremidades constr oi-se duas circunferencias de raios iguais ao lado dado;

3.3 Tais circunferencias se interceptam nos pontos C e D;

3.4 O quadril atero ACBD e o losango pedido.

A BC r

Figura 7

Justi cativa: Lembremos que os lados do losango s~ao iguais. CEDERJ 10

4. Construir um losango conhecendo um angulo interno α e a medida do lado.

Figura 8

5. Construir um losango conhecendo as duas diagonais.

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