Aula14-Construções Geométricas

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Objetivos

Utilizar transla c~oes de guras na resolu c~ao de problemas de constru c~oes geom etricas.

Chamamos de transla c~ao de um ponto o deslocamento de um ponto A para um ponto A′ sobre uma reta r. A reta r sobre a qual foi efetuada a transla c~ao e chamada de dire c~ao da transla c~ao e a distancia entre os pontos e chamada de amplitude. Al em da dire c~ao e da amplitude devemos, em cada transla c~ao, de nir um sentido, pois em uma dire c~ao existem dois sentidos de deslocamento de um ponto. Temos ent~ao tres caracter sticas para fazer uma transla c~ao que vamos denominar de vetor v.

Figura 37

A transla c~ao de uma gura F segundo uma dire c~ao, uma amplitude e um sentido xos e a gura F0 formada por todos os pontos transladados da gura F. Dizemos que F0 e uma transforma c~ao de F por transla c~ao, e as guras s~ao ditas hom ologas. A transla c~ao, bem como a simetria axial e a homotetia, que estudaremos em seguida, s~ao chamadas de transforma c~oes de guras.

Figura 38 29 CEDERJ

Propriedades da Transla c~ao

• Sejam AB e A′B0 segmentos tais que as extremidades s~ao hom ologas por uma transla c~ao, ent~ao AB = A0B0 e AB==A0B0.

Figuras hom ologas s~ao congruentes

Estudaremos as aplica c~oes de transla c~ao em constru c~oes geom etricas diretamente em problemas.

Problema 1: Dado um triangulo ABC construir um segmento DE = m tal que D 2 AB, E 2 AC e DE==r.

mr A r A

Problema supostamente resolvido

Figura 39 Resolu c~ao:

1.1 Prolonga-se o lado AB do triangulo interceptando com r num ponto F;

1.2 Sobre o mesmo semiplano que cont em o ponto C, determinado pelo lado AB, marcamos um ponto G sobre r tal que FG = m;

1.3 Pelo ponto G tra camos a reta paralela ao lado AB. Esta reta interceptar a o lado AC no ponto E;

1.4 Pelo ponto E tra camos a reta paralela a r que intercetar a no ponto D.

CEDERJ 30

O segmento DE e o segmento procurado.

B C m

Figura 40

1. Construir um paralelogramo inscrito no triangulo ABC de tal forma que um dos lados do triangulo contenha um dos lados do paralelogramo e o segundo lado do paralelogramo seja paralelo a r e de medida m.

Am r

Figura 41 31 CEDERJ

Problema 2: Dadas as duas semi-retas x = − ! AX e y = ! AY de mesma origem, construir a circunferencia de raio R que seja tangente a x e que intercepte y formando uma corda de comprimento m.

m X

Figura 42

R m m A

Problema supostamente resolvido

Figura 43 Resolu c~ao:

2.1 Construa um segmento CD sobre uma das semi-retas de medida m;

2.2 Com raio igual a R constr oiem-se as circunferencias de centros em C e

D que se interceptar~ao, no interior do angulo formado pelas semi-retas, em um ponto E;

2.3 Pelo ponto E tra ca-se a reta r paralela ao lado do angulo que cont em CD;

2.4 Trace por um ponto F qualquer do outro lado do angulo uma reta perpendicular e nesta perpendicular constr oi-se um segmento FG de medida igual ao raio R da circunferencia desejada, de tal forma que o ponto G se situe no interior do angulo;

CEDERJ 32

2.5 Pelo ponto G trace uma reta s paralela ao lado que cont em F; 2.6 As retas r e s se encontrar~ao no centro O da circunferencia desejada.

R m

G x

D H IE C y

Figura 4

Justi cativa: O ponto O est a a uma distancia R da semi-reta x logo e tangente a esta semi-reta. Observe que os triangulos ECD e OHI s~ao is osceles de mesma altura e laterais iguais portanto s~ao congruentes, e assim CD = HI = m.

De ni c~ao: Dados um segmento AB e um ponto C que n~ao lhe pertence seja

= ACB. Dizemos assim que C e um ponto de onde se enxerga o segmento AB segundo o angulo .

Problema 3: Dadas as duas retas r e s, concorrentes em A, e um ponto B ∈ r. Obtenha um ponto C 2 s de onde se enxergue AB segundo um angulo de 60o.

Observando a gura do problema resolvido notamos que existem duas solu c~oes para este problema.

A Br

Figura 45 3 CEDERJ

3.1 Por um ponto D ∈ s qualquer constr oiem-se duas retas distintas que formam angulo de 60o com s;

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