Aula16-Construções Geométricas

Aula16-Construções Geométricas

(Parte 1 de 4)

Objetivo Efetuar a homotetia dos principais elementos de constru c~ao geom etrica.

No estudo de homotetia precisamos de uma no c~ao de orienta c~ao de um segmento. Um segmento AB pode ser orientado em dois sentidos: de A para B ou de B para A, que denotaremos respectivamente por −! AB ou ! BA.

Se numa mesma reta forem dados dois segmentos AB e CD de compri- mentos a e c, respectivamente, ent~ao a raz~ao entre os segmentos orientados ! AB e ! CD ser a:

AB e ! CD tiverem o mesmo sentido sobre a reta;

AB e ! CD tiverem o sentidos opostos sobre a reta.

A B C D a c c = +

A B C D a c c = -

Figura 73

Multiplica c~ao de um ponto

De ni c~ao: Sejam dados dois pontos A e O sobre uma reta r e um n umero real 6= 0. O ponto B 2 r e a multiplica c~ao de A por , com

centro em O, se e somente se,

Exemplos: Multiplicar o ponto A por com centro em O nos seguintes casos:

Dados O A

Soluçªo

Figura 74 49 CEDERJ

Dados

O A 2u

AB Soluçªo O

Figura 75

Note que os exemplos anteriores s~ao solucionados utilizando somente o Teorema de Tales. No caso de multiplica c~ao por um n umero inteiro a solu c~ao pode ser obtida sem a utiliza c~ao do Teorema de Tales, pois basta repetir o segmento quantas vezes representar o inteiro no mesmo sentido (inteiro positivo) ou no sentido oposto (inteiro negativo).

Figura 76

As maiores di culdades encontradas na multiplic~ao de um ponto A com centro em O acontecem quando consideramos os valores reais irracionais. Em alguns casos a multiplica c~ao se torna imposs vel, por exemplo = , visto que e imposs vel obte-lo de maneira exata utilizando r egua e compasso. Ou- tros poss veis, como por exemplo = p 2, necessita de constru c~oes auxiliares.

Vejamos o seguinte exemplo:

Sendo dados o centro O e ponto A, indicando por a a medida do seg- mento OA, devemos obter inicialmente um segmento de medida ap 2. Este segmento pode ser obtido pela hipotenusa de um triangulo retangulo is osceles

CEDERJ 50 com catetos de medida a. Dessa forma, basta tomar o ponto B no prolonga- mento do segmento orientado −!

OA de medida ap 2.

Dados

O A a 2

Soluçªo

Figura 7

Exerc cios 1. Multiplique o ponto A por nos seguintes casos:

O A Figura 78

O A Figura 79

O A Figura 80

51 CEDERJ

Vamos explicar como se obt em o centro de homotetia considerando m

C m

Figura 81

Tomando em uma reta qualquer que passe por B um ponto C tal que BC = m, unindo o centro O e o ponto C e se tra carmos por A uma reta paralela a OC, esta reta interceptar a o segmento CB no ponto D tal que CD = n, pois

n = CB

Podemos obter o centro de homotetia da seguinte forma:

• Construa a semi-reta de origem em B que passa por A.

Pelo ponto B trace outra semi-reta. E nessa semi-reta marque o ponto C tal que BC = m.

Marque o ponto D no segmento CB tal que CD = n.

Una os pontos D e A por uma reta r.

Pelo ponto C trace uma reta paralela a r interceptando a semireta de origem em B que passa por A no ponto O que e o centro de homotetia.

Siga o mesmo racioc nio para os outros casos de raz~ao de homotetia. CEDERJ 52

2. Dados os pontos A e B distintos, obtenha o ponto O na reta determinada por esses pontos de tal forma que B seja obtido pela multiplica c~ao de A por com centro em O.

Figura 82

Figura 83

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