Aula16-Construções Geométricas

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Figura 84

As aplica c~oes de homotetia em constru c~oes geom etricas s~ao baseadas na seguinte propriedade:

Propriedade 1: Se multiplicarmos dois pontos distintos A e B por um mesmo n umero real 6= 0 com o mesmo centro O obtemos dois pontos

A a> 0

Figura 85

Note pela Figura 85 que independente do sinal de temos

OB = j j, e assim, os triangulos AOB e A0OB0 s~ao semelhantes, e conseq uentemente A0B0==AB e A0B0

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Figuras Homot eticas

De ni c~ao: Sejam dados uma gura F e um ponto O. Consideremos a gura F′ que reune todos os pontos que s~ao resultados da multiplica c~ao dos pontos de F por um mesmo valor real 6= 0 relativos ao centro O.

1. As guras F e F0 s~ao chamadas de guras Figuras Homot eticas; 2. o ponto O e chamado de Centro de Homotetia; 3. o valor e chamado de Raz~ao de Homotetia;

4. a reta que cont em o ponto e o centro de homotetia e chamado de Reta de Homotetia;

5. se > 0, ent~ao dizemos que a homotetia e Direta; 6. se < 0, ent~ao dizemos que a homotetia e Inversa;

7. se um ponto A 2 F se transforma pela homotetia em um ponto A0 2 F0, ent~ao os pontos A e A0 s~ao chamados de Pontos Hom ologos.

Figura 86

Figura 87

(1) \Linear" = \segue em uma linha reta". Os elementos lineares s~ao os elementos retil neos obtidos por pontos da gura dada.

No caso de um pol gono, por exemplo, os lados, a diagonais e as retas suportes dos lados ou das diagonais s~ao elementos retil neos do pol gono. Uma conseq uencia imediata da Propriedade 1 de homotetia e a seguinte propriedade que se refere a elementos lineares(1) de guras homot eticas.

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Propriedade 2 Duas guras homot eticas s~ao semelhantes e apresentam seus elementos lineares paralelos.

Alguns autores no passado costumavam denominar as guras homot eticas como figuras semelhantes semelhantemente colocadas.

O in cio dos estudos de guras semelhantes e atribuido a Tales de Mileto( 600 a.C.). O estudo das guras semelhantes semelhantemente colocadas foi feita, pela primeira vez, por Poncelet, em 1822. A denomina c~ao guras homot eticas foi dada por Chasles, em 1827.

Multiplica c~ao da reta

Pela propriedade 2 a multiplica c~ao de uma reta e um outra reta paralela, pois a reta e uma gura linear. Neste caso, para se obter a multiplica c~ao de uma reta basta ent~ao multiplicarmos um unico ponto desta reta.

2 com centro de homotetia O 62 r.

Para efetuarmos a multiplica c~ao podemos seguir os seguintes passos:

1.1 Escolha um ponto A 2 r. Una o ponto A ao centro de homotetia O. Denomine a reta obtida por s;

1.2 Trace uma reta t pelo ponto O distinta de s e construa seguidamente, ap os o ponto O sobre a reta t, tres segmentos de igual comprimento.

Denomine os pontos obtidos em t por O1, O2 e O3;

1.3 Trace a reta u pelos pontos O2 e A e trace a reta v pelo ponto O3 paralela a reta u;

1.4 As retas v e s se interceptam no ponto A0 que e a multiplica c~ao de A

2 com centro emO;

1.5 Pelo ponto A0 trace a reta r0 paralela a r.

A reta r0 e a multiplica c~ao de r por 3

2 com centro em O.

5 CEDERJ v u

Justi cativa: Observe que OO3

2 por constru c~ao. Como O2A e O3A′ s~ao paralelos e o angulo em O e comum aos triangulos O2OA e O3OA0, ent~ao tais triangulos s~ao semelhantes. Neste caso, OA0

de A por 3

2 com centro em O. Pela propriedade 2, r0 que passa por A0 paralela a r, e a multiplica c~ao da reta r por 3

2 com centro em O.

• No problema anterior a multiplica c~ao da reta r por 3

2 resultou em afastamento da reta em rela c~ao ao centro de homotetia, isto acontece porque a raz~ao de homotetia e maior que 1. Se a raz~ao e positiva e menor que 1 o resultado da multiplica c~ao se aproxima do centro.

Se a raz~ao e negativa o centro de homotetia aparece entre a reta dada e o resultado da multiplica c~ao.

0 << 1m n

m n

< 0m n

Figura 90 CEDERJ 56

• Obtida a multiplica c~ao de uma reta podemos obter imediatamente a multiplica c~ao de um ponto qualquer da reta, basta conduzi-lo por sua reta de homotetia ao resultado da multiplica c~ao da reta dada.

Figura 91

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