Aula16-Construções Geométricas

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(Parte 3 de 4)

3. Para os itens a seguir multiplique a reta r pela raz~ao com centro de homotetia O.

O r

Figura 92

O r

Figura 93 57 CEDERJ

O r

O r

Figura 95

m r

Figura 96

4. Encontre o lugar geom etrico dos centros de homotetia para os quais a reta r′ e o resultado da multiplica c~ao de r por nos seguintes itens:

Figura 97 CEDERJ 58

Figura 98

Figura 9

Figura 100 59 CEDERJ

Multiplica c~ao da circunferencia

Pela propriedade 2 os raios hom ologos de duas circunferencias s~ao paralelos. Neste caso, para multiplicarmos uma circunferencia basta multiplicarmos o centro, pois a extremidade do raio pode ser conduzido por sua reta de homotetia. Portanto, a multiplica c~ao de uma circunferencia deve seguir os seguintes procedimentos:

• Trace a reta determinada pelo centro de homotetia O e pelo centro da circunferencia C dada e denomine-a por r.

Trace um outra reta pelo ponto O distinta de r e sobre esta reta construa os segmentos com origem em O de comprimentos m e n que deter- minam a raz~ao de homotetia m n . Denomine as respectivas extremidades

Una os pontos O1 e C por uma reta e denomine-a por s. Trace pelo ponto O2 uma reta s′ paralela a s interceptando a reta r no ponto C0 que ser a o centro da circunferencia homot etica.

A reta s intercepta a circunferencia dada no ponto A. Conduza o ponto A a reta s0 por sua reta de homotetia obtendo o ponto A0. Construa a circunferencia de centro em C0 que passe por A0.

n Razªo =

Figura 101

(1) Duas circunferencias s~ao ditas concentricas se possuem os centros coincidentes.

Observa c~ao: Duas circunferencias s~ao sempre homot eticas. Os centros de homotetia podem ser at e dois, um de homotetia inversa um de homotetia direta. Se as circunferencia s~ao concentricas(1) ent~ao existe apenas o centro de homotetia direta que coincide com o centros das circunferencias. Se as circunferencias n~ao s~ao concentricas e possuem os raios de mesmo comprimento ent~ao existe apenas o centro de homotetia inversa que e o ponto m edio

CEDERJ 60 dos centros. No caso de circunferencias que n~ao s~ao concentricas lembre que os raios homot eticos devem ser paralelos, mas os raios apesar de paralelos podem ter o mesmo sentido ou sentidos opostos determinando respectivamente o centro de homotetia direta e o centro de homotetia inversa. Podemos obter os centros de homotetia da seguinte forma:

• Trace um diametro em cada circunferencia paralelos.

Trace a reta r pelos centros das circunferencias.

Trace uma reta pelas extremidades dos dois diametros que est~ao no mesmo semiplano determinado por r interceptando r em O1.

Trace uma reta pelas extremidades dos dois diametros que est~ao em semiplanos opostos interceptando r em O2.

O ponto O1 e o centro de homotetia direta e o ponto O2 e o centro de homotetia inversa.

Figura 102

1. Se a circunferencia maior n~ao cont em a menor ent~ao o centro de homotetia direta e o ponto de encontro das retas tangentes comuns externas das circunferencias.

Figura 103 61 CEDERJ

2. Se as circunferencias n~ao se interceptam ent~ao o centro de homotetia inversa e o ponto de encontro das retas tangentes comuns internas das circunferencias.

rO C

Figura 104

3. Se as circunferencias s~ao tangentes externas ent~ao o centro de homotetia inversa e o ponto de tangencia.

Figura 105

4. Se as circunferencias s~ao tangentes internas ent~ao o centro de homotetia direta e o ponto de tangencia.

Figura 106 CEDERJ 62

5. Nos itens a seguir multiplique a circunferencia λ por com centro de homotetia O.

Figura 107

Figura 108

Figura 109

Figura 110 63 CEDERJ

Figura 1

6. Obtenha a circunferencia cuja multiplica c~ao pela raz~ao resulta na circunferencia ′ nos seguintes itens.

Figura 112

Figura 113

(Parte 3 de 4)

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