Desenho geometrico

Desenho geometrico

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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.4b. 2005. 1Desenhos construídos por: Giuliano M. Belussi.

DESENHO GEOMÉTRICO – AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É ÁUREO.

Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.

Encontre (M) o ponto médio de AB. Levante uma perpendicular (r) por B. Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta (r) em O. Ligue os pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo AOB cujo cateto maior é AB, cateto menor é AB/2 e hipotenusa é AB√5/2.

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Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a hipotenusa em C'. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o segmento AB.

Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão, passe por AO uma semi-reta (t). Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que corte a reta (t) em D'. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s) no ponto D transferindo assim, a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.

O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a AB/2 - AB√5/2.

O ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida AD' é igual a AB/2 + AB√5/2

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O segmento AC' é o segmento áureo de AB. O segmento AB é o segmento áureo de AD'. A proporção áurea é: C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'. Em outras palavras: "O segmento menor resultante da divisão está para o maior assim como o segmento maior está para o segmento todo"

2. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO RETÂNGULO 5 CM

Seja o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em média razão.

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levante por A uma perpendicular (p). Centre o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta (p) em C. Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.

Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo do lado maior AB dado.

3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO RETÂNGULO L=4 CM

Seja AB o lado menor do retângulo

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Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A. Levante uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de BA' (M). Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB.

Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace um arco que corte a reta (s) em D. Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E encontrando assim o retângulo áureo ABED, no qual o lado AB dado é o segmento áureo do lado BD encontrado.

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Veja a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento áureo do lado maior encontrado BD.

4. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETÂNGULO ÁUREO

Seja um retângulo áureo ABCD. Transporte o segmento AC para o lado AB encontrando o ponto F em AB. Levante uma perpendicular ao lado AB por F encontrando o ponto G em CD. Com a ponta seca do compasso em G e abertura igual à GC trace o arco CF.

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Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH. Transporte o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ.

Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante uma perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca do compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT. Transporte o segmento TI para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Com a ponta seca do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU.

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Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ. Para encontrar o pólo da espiral trace os segmentos AD e GB.

5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 5 CM

Seja uma circunferência de diâmetros AB e CD. Com a ponta seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferência trace um arco que corte a circunferência nos pontos 1 e 2.

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Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o diâmetro AB no ponto E. Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentágono regular inscrito na circunferência.

Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura CE (L5) trace um arco que corte a circunferência em G e F. Depois coloque a ponta seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois arcos encontrando H e I respectivamente. Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentágono regular estrelado (pentagrama).

As diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em média e extrema razão.

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6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO, DECÁGONO E PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA.

Seja a circunferência de diâmetros AB e CD. Encontre M o ponto médio do raio OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.

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