aula1-corpos ordenados

aula1-corpos ordenados

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the source of all great Mathematics is the special case,

UFPA Calculo 1 the concrete example. It is frequent in Mathematics that every instance of a concept seemingly great generality is in essence the same as a small and concrete special case.1

Analise1

As aulas, a partir daqui, serao dedicadas aquilo que chamamos de

Analise Real que e, grosso modo, o estudo do Calculo Diferencial e Integral Grosso modo. Locucao la- tina. De modo grosseiro, impreciso; aproximadamente.

visto de maneira rigorosa. Quando o Calculo surgiu ele estava repleto de interpretacoes geometricas intuitivas, o que nao e um fato negativo, muito pelo contrario, que nos ajudam a entender os conceitos e este entendimento se solidifica se nos afastarmos, nos estudos introdutorios, do excesso de rigor. Tal fato se torna transparente quando estudamos o conceito de derivada, e de modo subjacente o de limite, via nocao de reta tangente, ou a nocao de integral motivada pelo o de calculo de area. Muito embora as motivacoes intuitivas sejam desejaveis e necessarias em um certo estagio inicial, faz-se necessario colocar os conceitos em bases firmes. Isto foi o que aconteceu com o Calculo, principalmente ao longo do seculo XIX, quando matematicos, tais como Cauchy, Bolzano, Weierstrass e tantos outros, verificaram que os conceitos desenvolvidos no Calculo e usados com muito sucesso nas aplicacoes, precisavam de justificativas a luz do rigor que se impunha no referido seculo. Assim, o conceito de limite, e os de continuidade, derivabilidade, integracao, etc. e ate mesmo a construcao dos numeros reais precisavam ser colocados de forma precisa. E que faremos a seguir.

Comecaremos com algumas consideracoes sobre os numeros reais, sendo que para isso precisamos introduzir o conceito de Corpo.

Definicao 1. Um corpo e um conjunto nao-vazio F no qual se acham definidas duas operacoes

que a cada (x,y) ∈ F ×F → F associa um elemento x·y ∈ F chamadas, respectivamente, adicao e multiplicacao que satisfazem os seguintes axiomas:

(A1) A adicao e comutativa, x + y = y + x,∀x,y ∈ F. 1 Paul Halmos, I want to be a Mathematician, MAA Spectrum,1985

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(A3) Existe um unico elemento 0 ∈ F(chamado zero ou elemento neutro da adicao) tal que x + 0 = x, qualquer que seja x ∈ F.

Doravante, quando tivermos um corpo (F,+,·) a multiplicacao de dois elementos x,y ∈ F sera designada simplesmente por xy.

Exemplo 1. O exemplo tıpico, e mais simples, de corpo e o conjunto dos racionais

munido com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao de fracoes. O(A) leitor(a) podera verificar isto facilmente como exercıcio.

Outro fato que deve ser enfatizado e que a cada numero racional p q corresponde um unico ponto sobre a reta. No entanto, a recıproca disto fato nao e verdadeira, ou seja, nao e verdade que a cada ponto da reta esteja associado um numero real. Isto era conhecido na Grecia Antiga e, segundo se comenta, a descoberta deste fenomeno teria causado grande impacto nas estruturas da Matematica Pitagorica. Mostremos que existem numeros que nao sao racionais e que correspondem a pontos da reta. E o que faremos no exemplo a seguir.

Exemplo 2. Consideremos a figura 1 em que temos um triangulo retangulo isosceles cujos catetos medem 1. Provemos que a hipotenusa de tal triangulo nao e um numero racional. Para isto suponhamos, por contradicao, que o comprimento da hipotenusa seja um numero racional p q em que p e q sejam primos entre si, isto e, estes numeros nao possuem fatores comuns e q 6= 0.

UFPA Calculo 3 figura 1

Podemos supo-los positivos. Usando o Teorema de Pitagoras, obtem-se ( p

o que nos diz que o numero p2 e par e daı, verifique como exercıcio, p e par, ou seja, p = 2k, para algum inteiro positivo k. Donde e entao q2 e par, o que implica que q e par. Portanto, p e q sao pares. Sendo p e q supostos primos eles nao podem ser pares e isto e uma contradicao.

O numero que mede a hipotenusa do triangulo representado na figura 1, associado ao ponto P da reta, nao e racional.

Tal numero e o que chamamos raiz quadrada de 2.

Em vista disso, devemos construir um conjunto, na verdade um corpo, que esteja em correspondencia biunıvoca com a reta. Em virtude dos objetivos deste curso nos nao faremos a construcao deste corpo mas o introduziremos via um postulado. Os leitores interessados na construcao dele deverao consultar, por exemplo, Dedekind2 ou Rudin.3

Definicao 2. Diz-se que um corpo F e ordenado se existir um conjunto K ⊂ F que goze das seguintes propriedades:

(i) Se x,y ∈ K, entao x + y ∈ K e xy ∈ K. (i) Dado qualquer x ∈ K apenas uma das alternativas abaixo e satisfeita:

O conjunto K e chamado conjunto dos elementos positivos de F.

Exemplo 3. O exemplo tıpico de corpo ordenado e o dos racionais Q com as operacoes de adicao e multiplicacao descritas acima. Para ordenarmos Q basta considerarmos K como sendo o conjunto dos racionais positvos. Ve-se facilmente que tal conjunto satisfaz as propriedades (i) e (i) na definicao de corpo ordenado.

2 Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Dover Publications 3Walter Rudin, Princıpios de Analise Matematica, Livro Tecnico e Ed. Universidade de Brasılia

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O termo corpo ordenado e motivado pelo fato de que em um corpo ordenado F podemos introduzir uma relacao de ordem. De fato, se F for um corpo ordenado por um subconjunto K e se x e y forem elementos quaisquer em F dizemos que x > y se, e somente se, x − y ∈ K.

Temos que > e uma relacao de ordem total pois dados x,y ∈ K tem-se que apenas uma das alternativas abaixo ocorre:

No primeiro caso terıamos x > y, no segundo y > x e no terceiro x = y, ou seja, dois elementos quaisquer de um corpo ordenado F sao sempre comparaveis. No caso em que x > y diz-se que x e maior do que y e usa-se a notacao x ≥ y para indicar que x pode ser maior ou pode ser igual a y e le-se x e maior do que ou igual a y.

Definicao 3. Seja F um corpo ordenado e A ⊂ F. Diz-se que β ∈ F e uma cota superior do conjunto A se a ≤ β, para todo a ∈ A.

Definicao 4. Diz-se que um subconjunto A ⊂ F, onde F e um corpo ordenado, e limitado superiormente se ele possuir uma cota superior.

Definicao 5. Seja F um corpo ordenado e A ⊂ F. Diz-se que α ∈ F e uma cota inferior do conjunto A se a ≥ α, para todo a ∈ A.

Definicao 6. Diz-se que um subconjunto A ⊂ F, onde F e um corpo ordenado, e limitado inferiormente se ele possuir uma cota inferior.

Definicao 7. Seja A um subconjunto de um corpo ordenado F. Diz-se que x ∈ F e o supremo(quando existe) do conjunto A se ele for a menor de suas cotas superiores. Neste caso, usa-se a notacao:

x = supA.

Portanto, a fim de que x ∈ F seja o supremo do conjunto A as seguintes condicoes devem ser satisfeitas:

(sup1) x deve ser cota superior do conjunto A.

(sup2) Se y for cota superior de A, entao x ≤ y.

Definicao 8. Seja A um subconjunto de um corpo ordenado F. Diz-se que x ∈ F e o ınfimo(quando existe) do conjunto A se ele for a maior de suas cotas inferiores. Neste caso, usa-se a notacao:

x = inf A.

UFPA Calculo 5

Portanto, a fim de que x ∈ F seja o ınfimo do conjunto A as seguintes condicoes devem ser satisfeitas:

(inf1) x deve ser cota inferior do conjunto A.

(inf2) Se y for cota inferior de A, entao x ≥ y. Exemplo 4. Consideremos o corpo ordenado Q e seja um subconjunto de Q, em que a e b sao numeros racionais tais que a < b. Obviamente a e uma cota inferior de A, assim como qualquer numero racional menor do que a. Analogamente, b e cota superior de A assim como qualquer numero racional maior do que b. Mostremos que a = inf A e b = supA.

Demonstraremos que a = inf A. Suponhamos que y seja uma cota inferior de A. Se y > a e como deve-se ter y ≤ b basta tomar o numero racional a+y2 ∈ A e observar que tal numero e maior do que a e assim ele nao pode ser cota inferior de A. Portanto, y ≤ a e deste modo a = inf A. Analogamente, mostra-se que b = supA.

Do exemplo acima infere-se que o supremo ouınfimo, quando existem, podem ou nao pertencer ao conjunto. O leitor esta convidado a determinar, quando existirem, o ınfimo e o supremo dos conjuntos abaixo.

O exemplo 2 nos mostra, de maneira elementar, que o conjunto dos racionais possui uma deficiencia muito grave: Ele nao consegue preencher a reta. Tal fato, de natureza bastante geometrica, pode ser traduzido de forma aritmetica por meio do seguinte exemplo.

Exemplo 5. O conjunto

nao possui sup em Q. Inicialmente, observemos que nao existe, conforme Exemplo 2, um numero racional x tal que x2 = 2. Daı, segue-se que se

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natural n tal que (

Devemos observar que(

sendo que na ultima expressao temos o polinomio em n, (x2−2)n2+2xn+1, cujo coeficiente do termo de segundo grau, x2 − 2 e negativo e daı, existe n suficientemente grande, de modo que tal polinomio se torne negativo. Basta tomar n maior do que a maior raiz deste polinomio. Para tais valores de n tem-se que (

e como x e 1n sao racionais positivos sua soma tambem e um racional positivo e em virtude desta ultima desigualdade tem-se que x+ 1n pertence ao conjunto A. Entao, nenhum elemento de A pode ser cota superior de A. Seja x ∈ Q tal que x > 0 e x2 > 2. Neste caso, x e cota superior

Observemos que(

e daı segue-se que, em virtude de x2 − 2 > 0, tem-se que existe n ∈ N tal que a desigualdade acima e satisfeita. Conclui-se entao que qualquer x ∈ Q tal que x2 > 2 nao pode ser supremo do conjunto A.

Conclusao: O conjunto A nao possui supremo em Q.

Corpos ordenados F que, como o corpo Q, padecem desta deficiencia, isto e, subconjuntos limitados superiormente de F podem nao ter supremo em F ou subconjuntos limitados inferiormente podem nao ter ınfimo em F, sao ditos nao-completos.

Em virtude desta nao-completeza do conjunto Q faz-se necessario construir um novo conjunto que complete aquilo que esta faltando em Q. Tal construcao foi efetuada de maneira rigorosa, pela primeira vez, pelo matematico alemao Richard Dedekind usando os chamados Cortes de Dedekind, que e algo bastante tecnico e cuja exposicao completa tornaria

UFPA Calculo 7 esta aula bastante extensa e fugiria dos reais objetivos de um primeiro curso de Analise Real. Em vista disso, optamos por introduzir o corpo dos reais por meio de um postulado, o que nos poupara tempo, remetendo o leitor para as referencias citadas nas notas de rodape da pagina 3.

Postulado de Dedekind. Existe um corpo ordenado R, chamado Corpo dos Numeros Reais, tal que todo subconjunto limitado superiormente ∅ 6= A ⊂ R possui supremo em R.

Este postulado garante a completeza do corpo dos reais, em um sentido que sera esclarecido oportunamente, e, alem disso, tal corpo e determinado de maneira unica, a menos de isomorfismos de corpos. Tornemos clara a ultima afirmacao.

Sejam (F1,+,·) e (F2,+,·) corpos para os quais estamos designando pelos mesmos sımbolos + e · as operacoes de adicao e multiplicacao em

Tal aplicacao e chamada isomorfismo entre corpos. Facamos a primeira aplicacao deste postulado.

Demonstracao. Consideremos o conjunto A = {x ∈ R;x2 < 2,x > 0}, introduzido no exemplo 5. Tal conjunto e limitado superiormente. Basta observar, por exemplo, que o numero real 2 e cota superior de A. Portanto, pelo Postulado de Dedekind, A possui supremo em R. Designemo-lo por b.

Afirmacao: O numero b e solucao da equacao x2 = 2, ou seja, b2 = 2.

Inicialmente, observemos que em virtude de R ser um corpo ordenado, o numero b2 − 2 deve satisfazer uma, e somente uma, das relacoes abaixo:

nhamos, inicialmente, que b2 > 2 e observemos que(

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grande. Para tais valores de n tem-se que (b − 1 n seria cota superior do conjunto A menor que o seu supremo b o que e impossıvel. Lembre que o supremo de um conjunto e a menor de suas cotas superiores. Deste modo, a desigualdade b2−2 > 0 nao pode ocorrer. De modo analogo pode-se mostrar que e impossıvel termos b2 − 2 < 0. Resta, entao, a alternativa b2 = 2, ou seja, b e solucao da equacao em estudo. Mostramos, assim, a existencia de solucao. A unicidade pode ser provada da seguinte maneira: Sejam b1 e b2 duas solucoes da equacao x2 = 2, isto e,

0 que implica

Aplicacao 2. Se um subconjunto A ⊂ R for limitado inferiormente, entao ele possui ınfimo.

Demonstracao. Desde que A e suposto limitado inferiormente, seja x uma cota inferior de A o que implica x ≤ a, para todo a ∈ A, e daı −x ≥ −a, para todo a ∈ A. Designando por −A o conjunto observa-se que, em virtude de −x ≥ −a, tal conjunto e limitado superiormente. Pelo Postulado de Dedekind −A possui supremo. Mostremos que sup(−A) = −inf A.

De fato, chamando α = sup(−A), teremos que α ≥ −a, para todo a ∈ A e daı −α ≤ a, para todo a ∈ A, o que implica que −α e cota inferior do conjunto A. Deve-se mostrar que ela e a maior de suas cotas inferiores. Seja β uma cota inferior de A, isto e, β ≤ a, para todo a ∈ A. Logo, −β ≥ −a e daı −β e cota superior do conjunto −A e pela definicao de supremo

−β ≥ α e entao β ≤ −α, isto e, −α e a maior das cotas inferiores de A. Portanto, todo conjunto limitado inferiormente, diferente do conjunto vazio, posui ınfimo. Temos tambem, como produto da demonstracao, que

Aplicacao 3. O conjunto dos numeros naturais nao e limitado superiormente

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Demonstracao. Suponhamos, por contradicao, que o conjunto N dos numeros naturais seja limitado superiormente. Pelo Postulado de Dedekind N possui supremo, digamos α, e assim, n ≤ α, para todo n ∈ N. O conjunto dos naturais possui a propriedade de que se n ∈ N entao n+1 ∈ N o que acarreta n + 1 ≤ α, para todo n ∈ N e assim n ≤ α − 1, para todo n ∈ N. Esta ultima desigualdade nos diz que α−1 e cota superior de N o que e impossıvel pois α e o supremo de N. Esta contradicao nos mostra que N nao e limitado superiormente.

Demonstracao. Suponhamos, por contradicao, que na ≤ b, para todo n ∈ N. Isto implica que o conjunto A = {na;n ∈ N} e limitado superiormente( b e uma de suas cotas superiores). Invocando, novamente, o Postulado de Dedekind, A possui supremo, digamos α. Assim, na ≤ α, para todo n ∈ N, e usando o mesmo argumento da aplicacao anterior, tem-se que (n+1)a ≤ α, para todo n ∈ N, de modo que n ≤ α−a, para todo n ∈ N. Como a > 0 terıamos que α−a seria cota superior de A, menor que o seu supremo α o que e impossıvel. Entao, existe n ∈ N tal que na > b.

Aplicacao 5. O conjunto Q e denso em R.Mais precisamente, dados dois numeros reais a < b, existe r ∈ Q tal que a < r < b.

Demonstracao. Sejam a < b numeros reais. Entao b − a > 0 e podemos usar a propriedade arquimediana dos numeros reais para b − a e 1 para garantir a existencia de um numero natural q de modo que q(b − a) > 1. Portanto, qb − qa > 1 o que nos diz que o intervalo cujos extremos sao os pontos qa e qb possui comprimento maior do que 1 e assim ele contem um numero inteiro, digamos, p. Como qa < qb tem-se que qa < p < qb e daı a < pq < b e o numero racional procurado e pq

Completaremos esta aula enunciando e fazendo algumas aplicacoes do importante Princıpio da Inducao Finita que sera usado varias vezes nao somente na disciplina Analise Matematica como tambem em todas as outras que compoem este curso.

Princıpio da Inducao Finita. Seja P uma propriedade satisfeita por um conjunto de numeros n ∈ IN, e suponha que:

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