Apostila introdução a análise Real

Apostila introdução a análise Real

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Unidade I – Números Reais

1. Situando a temática

Desde a infância estamos acostumados a lidar com números. É seguro dizer que nos dias de hoje é impossível viver sem o conhecimento deles. Poderíamos passar um dia inteiro listando as situações cotidianas em que necessitamos de números. Muitas vezes, eles aparecem até para lisura de processos, por exemplo: ao corrigir provas do vestibular o professor tem apenas o conhecimento do número de inscrição dos candidatos.

Se fizermos uma retrospectiva, observamos que primeiro fomos apresentados aos números naturais, aqueles que usamos para contar, depois aos inteiros, a seguir os racionais e por último os números reais. Ao que parece, a ordem com que somos apresentados aos diversos conjuntos numéricos tem a ver com as complexidades de sobrevivência, ou, tentando ser mais explícitos, nosso crescimento como indivíduos modernos requer habilidades com números cada vez mais complexas.

Um curso de introdução à Análise Real se preocupa em propiciar ao estudante um mínimo de formalização dos conceitos apresentados nos cursos de cálculo, a exemplo dos conceitos de limites, continuidade e derivada. Como estes conceitos são definidos para funções reais de variável real nada mais natural que começar com uma apresentação formal, embora breve, dos números reais.

subsequentes

A seguir vamos apresentar o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo e isto será feito através de axiomas que são objetos matemáticos que consideramos conhecidos pelos leitores deste texto. Destacaremos algumas propriedades como a propriedade do supremo porque desempenham papel fundamental no entendimento das unidades

2. Problematizando a temática

• Em um corpo pode haver mais de um “zero”? Idem para a unidade. • O conjunto dos racionais com as operações de soma e multiplicação usuais é um corpo? Em caso afirmativo este corpo é completo?

• No conjunto dos números racionais há solução para a equação ݔ2ൌ2?

3. Conhecento a temática

3.1 O conjunto dos números racionais

Admitiremos familiaridade do leitor com o conjunto dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, que serão denotados aqui, respectivamente por Գ,Ժ,e Է.

O conjunto dos números racionais pode ser descrito como:

Observe que ԳؿԺؿԷ. No conjunto dos números racionais estão definidas duas operações, chamadas de adição (isto é, a cada par de elementos x e y em Է corresponde um único elemento de Է , sua soma que se designa x+y) e de multiplicação

(isto é, a cada par de elementos x e y em Է corresponde um único elemento de Է, seu produto designado por x.y) definidas da seguinte maneira:

As operações de soma e multiplicação definidas no conjunto dos racionais satisfazem as seguintes propriedades: 1. Comutatividade: para quaisquer ݔ,ݕ אԷ tem‐se

ݔ൅ݕൌ ݕ൅ݔ e ݔݕൌ ݕݔ. 2. Associatividade: para quaisquer ݔ,ݕ,ݖ אԷ tem‐se

ሺݔ൅ݕሻ൅ݖൌݔ൅ሺݔ൅ݖሻ e ሺݔ.ݕሻ.ݖൌ ݔ.ሺݕ.ݖሻ.

3. Elementos neutros: existem em Է dois elementos distintos, 1 אԷ,

0 אԷ é o elemento neutro da adição e 1 é o elemento neutro da

5. Distributividade: ሺݔ൅ݕሻ.ݖൌݔ.ݖ൅ݕ.ݖ

multiplicação tais que ݔ൅0ൌݔ e ݔ.1ൌݔ para todo ݔ א Է. 4. Existência dos inversos: dado ݔ א Է existe –ݔאԹ , o inverso aditivo ou o simétrico de x, tal que ݔ൅ሺെݔሻൌ0 e dado ݔ א Է, ݔ ് 0 existe ݔିଵ א Է, o inverso multiplicativo de x tal que ݔିଵ .ݔൌ1. A soma de x com –ݕ indicada por ݔെݕ é chamada de diferença entre ݔ e ݕ. Se ݕ്0, o produto de ݔ.ݕିଵ que será indicado por ௫

chamado de quociente de ݔ por ݕ. Note que quociente de ݔ por ݕ só está definido para ݕ്0. Algumas vezes denotamos o produto ݔ.ݕ escrevendo simplemente ݔݕ . O número ݔ2 representa o produto ݔ.ݔ (se lê-se: “ x ao quadrado” ).

Um conjunto ॶ contendo pelo menos dois elementos e onde estejam definidas duas operações indicadas por + e ڄ tais que a terna ሺॶ ,+, ڄሻ satisfaz os cinco propriedades acima é chamado de corpo. Assim, ሺԷ ,+, ڄሻ é um corpo. Convém observar que ሺԺ ,+, ڄሻ não é corpo.

A partir das propriedades acima é possível mostrar todas as regras de manipulação com números racionais que estamos habituados a usar. A título de exemplo destacaremos algumas destas propriedades.

3.2 Exemplos

Exemplo 1.2 Se ݔ,ݕ א Է satisfazem ݔ.ݕൌ0 então ݔൌ0 ou ݕൌ0. De fato, se não temos que ݕൌ0, ou seja, se ݕ്0 então multiplicando por ݕିଵ ambos os membros de ݔ.ݕൌ0, obtemos ሺݔ.ݕሻ.ݕିଵൌ0.ݕିଵ. Decorre do exemplo anterior que e da associatividade que ݔ.ሺݕ.ݕିଵሻൌ0.ݕିଵൌ0. Usando a propriedade dos inversos concluimos que ݔൌ0.

Exemplo 1.3 Se ݔא Է então ݔൌെሺെݔሻ. Isto decorre ao somar ݔ a ambos os membros da igualdade –ሺെݔሻ൅ሺെݔሻൌ0, válida para todo ݔא Է.

Exemplo 1.4 Usando a distributividade podemos deduzir as conhecidas “regras dos sinais” : para todos ݔ,א Է temos ሺെݔሻ.ݕൌݔ.ሺെݕሻൌെሺݔ.ݕሻ. Para ver isto multiplique por ݕ, ambos os membros da igualdade 0ൌݔ൅ሺെݔሻ, obtendo 0.ݕൌݔ.ݕ൅ሺെݔሻ.ݕ. Devido o exemplo 1.1, podemos concluir 0ൌݔ.ݕ൅ሺെݔሻ.ݕ. Somando a ambos os membros desta última desigualdade o simétrico de ݔ.ݕ, e usando a associatividade decorre െሺݔ.ݕሻൌሺെݔሻ.ݕ. Para provar ݔ.ሺെݕሻൌെሺݔ.ݕሻ começamos com a igualdade 0ൌݕ൅ሺെݕሻ e depois multiplicamos ambos os membros da igualdade por x. Depois é só usar os mesmos passos do caso anterior. Um

െ൫ݔ.ሺെݕሻ൯ൌെ൫െሺݔ.ݕሻ൯ൌݔ.ݕOnde a última igualdade é decorrência

caso particular deste fato é ሺെݔሻ.ሺെݕሻൌݔ.ݕ. Pois, ሺെݔሻ.ሺെݕሻൌ do exemplo anterior. Em particular, ݔ2ൌሺെݔሻሺെݔሻ.

Exemplo 1.5 Se ݔ,ݕא Է são números reais satisfazendo ݔ2ൌݕ2 então ݔൌݕ ou ݔൌെݕ. Com efeito, neste caso, temos 0ൌݔ2െݕ2ൌሺݔ൅ݕሻሺݔെݕሻ. Logo, do exemplo 1.2, podemos concluir ݔ൅ݕൌ0 ou ݔെݕൌ0, portanto ݔൌെݕ ou ݔൌݕ.

O conjunto dos números racionais possui um subconjunto denotado por Էା, chamado o conjunto dos números racionais positivos . O subconjunto Էା, é caracterizado pelas seguintes propriedades: P1) A soma de dois números positivos é um número positivo, bem como o produto de dois números positivos é positivo (por conta disto dizemos que

Էା é fechado com relação à soma e ao produto), isto é, dados ݔ,ݕא Էା,
ݔא Էା, ou െݔא Էା

8 então ݔ൅ݕ ,ݔ.ݕא Էା . P2) Dado ݔא Է uma e apenas uma das alternativas ocorre: ݔൌ0, ou

Indicaremos por Էି, o conjunto dos números racionais x tais que െݔא Էା. A propriedade P2, nos diz que Թൌሼ0ሽ׫Էା ׫ Էି e que os conjuntos ሼ0ሽ,Էା e Էି são dois a dois disjuntos. Os números racionais x tais que െݔא Էା são chamados de números negativos.

Exemplo 1.6 Se ݔ א Է,ݔ്0, então ݔ2א Էା. De fato, como ݔ്0, da propriedade P2, acima temos ݔא Էା ou െݔא Էା. Se ocorrer de ݔא Էା, então da propriedade P1, segue-se ݔ2א Էା. Caso contrário, െݔא Էା e também neste caso temos que ݔ2א Էା, pois do exemplo 1.4, ݔ2ൌሺെݔሻሺെݔሻ, sendo que, por P1, ሺെݔሻሺെݔሻא Էା. Em particular, 1א Էା, pois 1ൌ12 .

As propriedades P1 e P2 acima, permitem estabelecer uma relação de ordem no conjunto dos números racionais.

Uma relação de ordem no conjunto dos números racionais é estabelecida da seguinte maneira: dados ݔ,ݕא Է dizemos que x é menor do que y, e denotamos por ݔ൏ݕ, quando ݕെݔא Էା. Nas mesmas condições, isto é, se ݕെݔא Էା, dizemos que x é maior do que y, o que é denotado por ݔ൐ݕ. Dados ݔ,ݕא Է dizemos que x é menor do que ou igual a y, e denotamos por ݔ൑ݕ, quando ݔ൏ݕ ou ݔൌݕ.

Ampliando seu Conhecimento

Observação 1. Um corpo ሺॶ, +, ڄሻ onde está definida uma relação indicada por ൑ tais que a quadrupla ሺॶ,൅,ڄ,൑ሻ satisfaz as propiedades O1 a O5 é chamado de corpo ordenado. Assim, ሺԷ,൅,ڄ,൑ሻ é um corpo ordenado.

Observação 2. Para qualquer ݔ א Է,ݔ൐0 significa que ݔא Էା enquanto ݔ൏0 significa que െݔא Էା.

Observação 3. Para qualquer ݔ א Է,ݔ൒0 significa que ݔא Էା ou ݔൌ0 , enquanto ݔ൑0 significa que െݔא Էା ou ݔൌ0.

A relação de ordem ݔ൑ݕ, dada na definição 1.1 satisfaz às seguintes propriedades:

O1) Reflexividade: ݔ൑ݔ. O2) Simetria: se ݔ൑ݕ e ݕ൑ݔ então ݔൌݕ. Com efeito, se fosse ݔ്ݕ teríamos ݔ൏ݕ e ݕ൏ݔ, o que significaria ݕെݔא Էା e ݔെݕא Էା consequentemente 0ൌሺݕെݔሻ൅ሺݔെݕሻא Էା, o que é absurdo. Logo, se ݔ൑ݕ e ݕ൑ݔ então devemos ter necessariamente que ݔൌݕ.

O3) Transitividade: se ݔ൑ݕ e ݕ൑ݖ então ݔ൑ݖ. De fato, suponhamos que ݔ൑ݕ e ݕ൑ݖ. Considerando a primeira expressão temos duas possibilidades: ݔൌݕ ou ݔ൏ݕ. De modo que vamos analisar os dois casos: ݔൌݕ e ݕ൑ݖ ou ݔ൏ݕ e ݕ൑ݖ. No primeiro caso temos imediatamente que ݔ൑ݖ. Na segunda possibilidade teremos ݔ൏ݕ , que deve ser combinada com as duas possibilidades em ݕ൑ݖ, que são ݕൌݖ ou ݕ൏ݖ . Se ݔ൏ݕ e ݕൌݖ significa ݔ൏ݕൌݖ , logo ݔ൏ݖ o que implica ݔ൑ݖ. O último caso a considerar é ݔ൏ݕ e ݕ൏ݖ . Isto significa ݕെݔ e ݖെݕ são ambos positivos, cuja soma é um número positivo devido a P2. Ora, o número ሺݖെݕሻ൅ሺݕെݔሻൌݖെݔ é positivo, acarreta ݔ൏ݖ o que implica ݔ൑ݖ.

O4) Compatibilidade de ordem com a adição : se ݔ൑ݕ , para qualquer ݖ א Է, temos que ݔ൅ݖ൑ݕ൅ݖ. Com efeito, se ݔൌݕ então claramente ݔ൅ݖൌݕ൅ݖ o que acarreta ݔ൅ݖ൑ݕ൅ݖ. Se ݔ൏ݕ, temos ݕെݔ é positivo e, para qualquer ݖ א Է, ݕെݔൌሺݕ൅ݖሻെሺݖ൅ݔሻ. Segue-se que ሺݕ൅ݖሻെሺݖ൅ݔሻ é positivo, ou seja, ݔ൅ݖ൏ݕ൅ݖ e portanto, ݔ൅ݖ൑ݕ൅ݖ.

O5) Compatibilidade de ordem com a multiplicação: se ݔ൑ݕ e 0൑ݖ então ݔ.ݖ൑ݕ.ݖ. Com efeito, claramente se ݔൌݕ, então ݔ.ݖൌݕ.ݖ acarreta ݔ.ݖ൑ݕ.ݖ, independente do z. Se ݔ൏ݕ e ݖൌ0 temos 0.ݔൌ0.ݕൌ0 ou seja, quando ݖൌ0, temos ݔ.ݖൌݕ.ݖ o que acarreta ݔ.ݖ൑ݕ.ݖ. Suponhamos agora ݔ൏ݕ e 0൏ݖ. Temos ݕെݔ e ݖ são ambos positivos, logo seu produto é um número positivo devido à propriedade 2. Mas ሺݕെݔሻ.ݖൌݕ.ݖെݔ.ݖ é positivo acarreta ݔݖ൏ݕݖ, que por sua vez acarreta ݔ.ݖ൑ݕ.ݖ. OO5

segue-se ݔ൅ݔԢ൑ݕᇱ൅ݕ

Exemplo 1.7 Se ݔ൑ݕ e ݔԢ൑ݕԢ então ݔ൅ݔԢ൑ݕ൅ݕԢ. De fato, os casos ݔൌݕ ou ݔᇱൌݕԢ decorrem diretamente da propriedade O4. Suponhamos então ݔ൏ݕ e ݔԢ൏ݕԢ o que significa ݕെݔ e ݕԢെݔԢ são ambos positivos. Decorre da propriedade 2 que ሺݕെݔሻ൅ሺݕᇱെݔᇱሻ é positivo. Usando a associatividade temos ሺݕെݔሻ൅ሺݕᇱെݔᇱሻ ൌሺݕ൅ݕᇱሻെሺݔ൅ݔԢሻ é positivo. Logo ݔ൅ݔᇱ൏ݕ൅ݕ, de onde podemos concluir, ݔ൅ݔԢ൑ݕ൅ݕԢ. Um outro modo de justificar esta propriedade pode ser feito assim: considerando ݔ൑ݕ temos pela compatibilidade com a adição ݔ൅ݔᇱ൑ݕ൅ ݔԢ, de modo análogo de ݔᇱ൑ݕᇱ, segue-se ݔᇱ൅ݕ൑ݕᇱ൅ݕ. Agora de ݔ൅ݔᇱ൑ݕ൅ݔᇱ e ݔᇱ൅ݕ൑ݕᇱ൅ݕ, da comutatividade e da transitividade

caso 0൏ݔ൏ݕ, observamos inicialmente que ݔ൐0 ՜ݔିଵ൐0Se

Exemplo 1.8 Se 0൏ݔ൑ݕ então ݕିଵ൑ݔିଵ. De fato, o caso ݔൌݕ é imediato. Para o assim não fosse, teríamos ݔିଵ൑0. Multiplicando ambos os membros desta desigualdade por ݔ൐0, teríamos, de O5, que ݔ.ݔିଵ൑0. Mas, isto

que ݔିଵ൐0,ݕିଵ൐0 o que acarreta por P2 ݔିଵ.ݕିଵ൐0Usando O5 ao

acarretaria 1൑0, o que é absurdo. Assim, na hipótese 0൏ݔ൏ݕ, teremos multiplicar ambos os membros de ݔ൏ݕ por ݔିଵ.ݕିଵ൐0 obtemos ݔ.ሺݔିଵ.ݕିଵሻ൏ݕ.ሺݔିଵ.ݕିଵሻ. Após usar a associatividade e a comutatividade nesta última desigualdade decorre ሺݔ.ݔିଵሻ.ݕିଵ ൏ ሺݕ. ݔିଵሻ.ݕ ିଵ ൌݔ ିଵሺݕ.ݕିଵሻ, de onde podemos concluir ݕିଵ൏ݔିଵ.

Exemplo 1.9 Seja ܽ um inteiro. 1. Se ܽ é ímpar então ܽଶ é ímpar. 2. Se ܽଶ é par então ܽ é par.

Como ݏൌ2݇ଶ൅݇אԳ, temos ܽଶൌ2ݏ൅1 e ܽଶ é ímpar. Prova de 2. Considere ܽ um inteiro, tal que ܽଶ é par. Decorre de 1. que ܽ não pode ser ímpar pois senão ܽଶ seria ímpar, o que é absurdo.

Exemplo 1.10 A equação ݔ2ൌ2 não possui solução em Է. Com efeito, suponhamos por absurdo que existe uma fração irredutível ௔

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