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APOSTILA Cálculo Diferencial e Integral I

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes

Cálculo I – (Lauro / Nunes) i

1 Integrais Impróprias1-1
1.1 Limites infinitos de integração1-3
1.1.1 Testes de Comparação1-6
1.2 Integrandos com descontinuidades infinitas1-8
1.3 Algumas aplicações das integrais impróprias1-14
1.3.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência1-14
1.3.2 Aplicações em estatística1-15
1.3.3 Aplicações em transformadas integrais1-15
1.3.4 Função Gama e Função Fatorial1-16
1.3.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia1-16
1.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE1-17
1.5 Exercícios Propostos1-17
2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais2-1
2.1 Como as abelhas se comunicam?2-1
2.2 Coordenadas Polares2-3
2.2.1 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares2-4
2.2.2 Caso Geral da Espiral de Arquimedes2-5
2.2.3 Constante2-5
2.2.4 Caso Geral da Cardióide2-6
2.2.5 Caso Geral do Caracol2-6
2.2.6 Caso Geral da Rosácea2-7
2.3 Gráficos diversos em coordenadas polares2-9
2.3.1 Equação do pólo (origem)2-9
2.3.2 Equação que passa pela origem2-9
2.3.3 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar2-10
2.3.4 Algumas circunferências2-10
2.3.5 Limaçons2-1
2.3.6 Cardióides2-12
2.3.7 Lemniscata de Bernoulli2-12
2.3.8 Espiral de Arquimedes2-12
2.3.9 Rosáceas2-13
2.4 Áreas em Coordenadas Polares2-14
2.4.1 Área de um Setor Circular2-14
2.4.2 Áreas em Coordenadas Polares (dedução)2-14
2.5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto2-20
2.5.1 Volume em Coordenadas Polares2-20
2.5.2 Fórmula do Volume Simplificada2-2
2.6 Diferencial do Comprimento de Arco2-2
2.6.1 Comprimento de Arco2-23
2.7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução2-24
2.7.1 Dedução da Fórmula Cartesiana2-24
2.7.2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar2-26
2.8 Exercícios2-28
3 Integrais Eulerianas3-1
3.1 Leonhard Euler3-1
3.2 Função Gama ()3-2
3.2.1 Fórmula de Recorrência3-2
3.2.2 Função Gama para 10n3-3
3.2.3 Função Gama para 0n3-3
3.3 Função Beta ()3-5
3.3.1 Definições Decorrentes3-6
3.4 Exercícios3-7
4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais4-1
4.1 O Espaço Vetorial  n4-1
4.2 Produto Interno em  n4-2
4.3 Norma de x  n ou Comprimento do Vetor x  n4-2
4.3.1 Propriedades da Norma Euclideana x,||4-2
4.4 Distância em  n4-3
4.4.1 Propriedades das Distâncias em  n4-3
4.5 Bolas e Conjuntos Limitados4-4
4.5.1 Definição: Segmento de Reta4-5
4.5.2 Definição: Conjunto Convexo4-5
4.5.3 Definição: Ponto de Acumulação4-5
4.5.4 Definição: Conjunto Limitado4-5
4.5.5 Definição: Ponto Interior4-5
4.5.6 Definição: Ponto Exterior4-5
4.5.7 Definição: Ponto Fronteira4-5
4.5.8 Definição: Conjunto Aberto4-6
4.5.9 Definição: Conjunto Fechado4-6
4.5.10 Definição: Conjunto Conexo4-6
4.5.1 Definição: Região Aberta4-7
4.5.12 Definição: Região Fechada4-7
4.6 Exercícios4-8
5 Funções em Espaços n-Dimensionais5-1
5.1 Introdução5-1
5.2 Limites e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais5-7
5.2.1 Limites de Funções em n5-7
5.2.2 Continuidade de Funções em n5-9
6 Derivadas6-1
6.1 Derivadas Parciais6-1
6.1.1 Incremento parcial e incremento total6-1
6.1.2 Regras de derivação6-4
6.1.3 Derivadas Parciais Sucessivas6-8
6.1.4 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais6-10
6.1.5 Equações das Retas Tangentes6-1
6.1.6 Diferenciabilidade6-14
6.2 Gradiente6-20
6.3 Diferenciais6-2
6.3.1 Generalizando as diferenciais6-23
6.4 Derivadas de Funções Compostas6-26
6.4.1 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias6-26
6.4.2 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias6-27

Cálculo I – (Lauro / Nunes) i 6.4.3 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis

Intermediárias6-28
6.4.4 Regra da Cadeia Generalizada6-29
6.4.5 Derivadas de Funções Implícitas6-31
6.5 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis6-34
6.5.1 Teorema de Weierstrass6-37
6.5.2 Aplicações: Exercícios6-38
7.1 Introdução7-1
7.2 Integrais Duplas7-3
7.2.1 Interpretação Geométrica7-4
7.2.2 Área da Região D7-4
7.2.3 Propriedades das Integrais Duplas7-4
7.3 Cálculo de Integrais Duplas7-5
7.3.1 Teorema para o Cálculo de Integrais Duplas7-5
7.3.2 Definição: Integrais Iteradas7-6
7.4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas7-9
7.5 Coordenadas Polares7-10
7.5.1 Obtenção da fórmula7-10
7.5.2 Área A’ do retângulo em D’7-10
7.5.3 Área A do retângulo polar em D7-1
7.5.4 Integral dupla em D’7-1
7.6 Cálculo de Volumes (Aplicações)7-13
7.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas7-15
7.8 Integrais Triplas7-16
7.9 Cálculo de Integrais Triplas7-17
7.10 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas7-19
7.1 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas7-20
7.12 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas7-21
7.13 Aplicações Físicas da Integral Dupla7-23
7.14 Aplicações Físicas da Integral Tripla7-25
7.15 Exercícios7-28
8 Formulário e Referências8-1
8.1 Formulário de Derivadas e Integrais8-1

Cálculo I – (Lauro / Nunes) 1-1

1 Integrais Impróprias

Na definição das integrais definidas b a dxxf)(, foi assumido que o intervalo de integração de a até b era finito. Além disso, era necessário que a imagem do integrando fosse finita neste domínio. Em outras palavras, a função f era definida em todos os pontos do intervalo limitado ba, e f não tinha descontinuidades infinitas neste intervalo.

Agora estenderemos o conceito de integral definida para os casos onde o intervalo de integração é infinito e também para os casos onde a função f tem descontinuidades infinitas

Primeiramente, para motivar uma definição razoável para integrais com limites infinitos de integração, considere o problema de calcular a área da superfície situada abaixo da curva que representa o gráfico da função de regra 21x y , acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = 1 (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem). Normalmente a intuição nos leva a imaginar erroneamente que a referida área é infinita, pois estamos acostumados a raciocinar sobre dimensões finitas. Desta forma, vamos num primeiro momento, calcular a área hachurada na primeira das figuras abaixo, isto é, a área dada pela integral 2

Analogamente, se quisermos calcular a área até a reta 3 x, obtemos

Da mesma forma, se a região cuja área que está sendo calculada estiver limitada à esquerda pela reta 1 x e à direita pela reta 4 x, podemos obter:

Prosseguindo desta forma, percebemos que se limitarmos a referida área pela reta tx , e aumentarmos cada vez mais o valor de t, isto é, fazendo t, a área da região em questão se aproxima cada vez mais de 1. No entanto, dependendo da função que limita superiormente a área que estamos calculando o resultado poderá ser diferente. Por exemplo,

Cálculo I – (Lauro / Nunes) 1-2 se neste mesmo caso substituirmos a função de regra 21x y pela regra x y1 , a referida área seria infinita.

Usando esta discussão como guia, será possível definirmos precisamente o significado de integral imprópria onde o limite de integração é infinito.

Mas antes disto, vamos apresentar uma outra questão para motivar ainda mais os estudos das integrais impróprias:

Pergunta: É possível de se pintar um muro de área infinita com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito?

Antes de responder a esta pergunta, considere o seguinte problema: Calcular a área da

superfície situada abaixo da curva que representa o gráfico da função de regra x acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = 1, isto é, calcule a área da região hachurada da figura que segue (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem).

Cálculo I – (Lauro / Nunes) 1-3 Será mostrado, neste capítulo, que a referida área será dada por uma integral chamada de integral imprópria e será representada por

1 x dx= . Assim, a referida área é infinita.

Agora imagine que a região hachurada do problema anterior gira em torno do eixo das abscissas. Neste caso, será gerado o sólido de revolução apresentado na figura seguinte. Este sólido recebe o nome de “Corneta de Gabriel”. Qual seria então o volume deste sólido?

Depois de apresentadas as definições de integrais impróprias, será visto que o volume deste sólido pode ser dado também por uma integral imprópria representada por

1 2x dx. Isto significa que o volume solicitado é igual a unidades de volume.

Desta forma, o volume de um sólido de revolução, gerado por uma superfície de área infinita pode ter um volume finito.

Retornando para a questão inicial, foi sugerido que se alguém pudesse saturar o interior deste sólido com tinta e permitir que esta fosse filtrada para a superfície, então poderia pintar uma superfície infinita com uma quantidade de tinta finita! O que você acha?

Seja f uma função definida e contínua para todo x tal que a x b. Então

1.1 Limites infinitos de integração

Se este limite existe (como um número real).

Pode-se dizer ainda que, caso exista o limite, a integral imprópria converge e, caso não exista, a integral imprópria diverge.

Cálculo I – (Lauro / Nunes) 1-4 y

De forma análoga são definidas as outras integrais impróprias com limites infinitos:

Se este limite existe (como um número real). Novamente, dizemos que, caso exista este limite, a integral imprópria converge e, caso não exista, a integral imprópria diverge. Finalmente, se os dois limites de integração são infinitos temos:

Se estes limites existirem (como números reais). Neste caso, dizemos que integral imprópria converge se ambos os limites existirem e que, a integral imprópria diverge, se qualquer um dos limites não existir.

Em todos estes casos, quando dizemos que um limite existe, estamos assumindo que o mesmo tem como resultado um número real.

Exemplos

Resolução:

Resposta: 2

Cálculo I – (Lauro / Nunes) 1-5

Resolução:

Resposta: 3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes:

dxxlim

a) Resolução:

Resposta: diverge

Cálculo I – (Lauro / Nunes) 1-6 b) Resolução:

Resposta: 0 Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para definir a integral imprópria em (a).

4. Discutir os valores de para os quais a integral

1 x dx converge ou diverge.

Resolução:

Resposta: DIVERGE

5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito, isto é:

(Parte 1 de 8)

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