dimens eixo II

dimens eixo II

(Parte 1 de 3)

Univesidade Santa Cecília

Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I

Prof. José Carlos Morilla
1Critérios de Resistência I

Critérios de Resistência

Coeficiente de segurança Tensão equivalente

Seja um ponto qualquer, pertencente a um corpo em equilíbrio, submetido a um estado de tensões cujas tensões principais estão representadas na figura 1.

figura 1 – Tensões principais para um estado de tensões.

Chama-se de coeficiente de segurança (s) ao número, maior que a unidade, que ao multiplicar o estado de tensões provoca a ruína do material.

figura 2 – Tensões principais multiplicadas pelo coeficiente de segurança, para um estado de tensões.

Chama-se de Tensão equivalente (σeq) uma tensão de tração simples que multiplicada pelo mesmo coeficiente de segurança do estado de tensão leva o material à ruína por tração figura 3 – Tensão equivalente multiplicada pelo coeficiente de segurança.

Note-se, aqui, que o conceito de ruína está associado à falência do funcionamento do equipamento no qual o corpo se insere. Por exemplo, para um material dúctil, normalmente a falência ocorre quando a tensão simples de tração atinge o valor da tensão de escoamento (σe). para os materiais frágeis, que não apresentam deformação plástica representativa, a falência ocorre quando a tensão de tração atinge o valor da tensão limite de ruptura (σR).

Assim, para executar o dimensionamento:

reqsσ≤×σ ou eq σ ≤σ onde σr é a tensão de ruína do material.

Com este conceito de tensão equivalente se torna razoavelmente simples executar o dimensionamento dos elementos já que as tensões de escoamento e ruptura, bem como outras, são de fácil determinação e conhecimento generalizados.

Deve-se, entretanto, estabelecer uma forma de

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determinação da tensão equivalente para que ela possa representar com eficácia o estado de tensões existente no ponto em estudo.

Critérios de Dimensionamento.

Vários critérios diferentes, a respeito da ruína dos materiais, foram propostos ao longo do tempo: 1. Teoria da máxima tensão normal proposta por Rankine; 2. Teoria da máxima deformação normal, proposta por Saint-Venant; 3. Teoria da máxima tensão de cisalhamento, proposta por Coulomb em 1773 e por Tresca em 1868; 4. Teoria do atrito interno, desenvolvida por Mohr e por Coulomb; 5. Teoria da máxima energia de deformação, proposta por Beltrami em 1885; 6. Teoria da máxima energia de distorção, desenvolvida por Huber em 1904; Von Mises em 1913 e Hencky em 1925; 7. Teoria da tensão octaédrica de cisalhamento de Von Mises e Hencky.

Cada uma destas teorias propõe um critério para a causa da ruína do material.

As experiências feitas em tempos recentes mostram que, entre as teorias apresentadas, algumas são equivalentes e outras são apenas de interesse histórico, já que não apresentam resultados compatíveis com os obtidos.

Neste texto apresentar-se-á os critérios baseados em algumas destas teorias.

Critério da máxima tensão de cisalhamento ou Critério de Tresca.

Este critério se baseia no fato que para os materiais dúcteis o principal mecanismo de deformação plástica é o de escorregamento nos planos de maior densidade atômica.

Assim, a tensão equivalente (σeq) é igualmente perigosa a um estado de tensão quando ela apresentar a mesma tensão de cisalhamento máxima que o estado da tensão.

τmáx τmáx figura 4 – Círculos de Mohr para um estado de tensão e para uma tensão equivalente.

Sabendo-se que as tensões de cisalhamento máxima nos dois círculos de Mohr podem ser determinadas por:

máx σ =τ

A igualdade das duas expressões fornece:

Critério da máxima energia de distorção ou Critério de Von Mises

Este critério propõe que a ruína por escoamento seja associada a valores críticos de certa

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porção da energia de deformação do ponto material em estudo. Quando as tensões principais possuem valores diferentes, o cubo que representa o ponto se transforma em paralelepípedo. A energia (U) para esta distorção é dada por:

onde E é o módulo de elasticidade do material e νννν é o coeficiente de Poison.

O mesmo fato acontece com a tensão equivalente já que nesta situação σ1= σeq e σ2 = σ3 =0. Para a tensão equivalente, a energia de distorção fica:

Igualando-se as expressões 3 e 4 tem-se:

ou seja:

Note-se que os dois critérios apresentados levam em conta a ductilidade do material e possuem como tensão de ruína a tensão de escoamento ou seja, valem apenas para materiais com características dúcteis.

Note-se, também, que no caso da solicitação chamada hidrostática (σ1=σ2=σ3), as tensões equivalentes para os dois critérios possuem valor igual a zero. Assim, não é possível dimensionar nesta situação por um destes critérios.

Critério de Coulomb-Mohr.

Este critério é particularmente interessante para materiais que apresentam resistências diferentes quando solicitados à tração e à compressão. Este tipo de comportamento, em geral, é apresentado pelos materiais frágeis.

A figura 5 mostra os dois círculos de Mohr para a tensão de ruptura à tração e à compressão de um material frágil qualquer.

Tração Compressão figura 5 – Círculos de Mohr para um material que resiste à tração e à compressão.

A proposição deste critério e que os estados são igualmente perigosos quando forem tangentes à reta apresentada na figura.

A tensão equivalente para este critério é:

onde

C Tk σ σT= Limite de resistência à tração σC= Limite de resistência à Compressão

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