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Ana Maria Lima de Farias Luiz da Costa Laurencel

Setembro de 2007 i .

Conteúdo

1.1 Introdução1
1.2 Experimento aleatório, espaço amostral e evento1
1.2.1 Experimento aleatório2
1.2.2 Espaço amostral2
1.2.3 Eventos aleatórios2
1.3 Exemplos3
1.4 Operações com eventos aleatórios5
1.4.1 Interseção5
1.4.2 Exclusão6
1.4.3 União6
1.4.4 Complementar7
1.4.5 Diferença8
1.4.6 Partição de um espaço amostral9
1.4.7 Propriedades das operações10
1.5 Exemplos13
1.6 Exercícios Complementares15

1 Probabilidade - Conceitos Básicos 1

2.1 Definição clássica de probabilidade17
2.1.1 Propriedades da definição clássica de probabilidade18
2.1.2 Resumo das propriedades2
2.1.3 Exemplos2
2.1.4 Exercícios27
2.2 Revisão de análise combinatória28
2.2.1 Princípio fundamental da adição28
2.2.2 Princípio fundamental da multiplicação29
2.2.3 Exercícios30
2.2.4 Permutações30
2.2.5 Exercícios31
2.2.6 Permutações de k objetos dentre n32
2.2.7 Exercícios3
2.2.8 Combinações simples3
2.2.9 Exercícios36
2.2.10 Triângulo de Pascal e Binômio de Newton36

2 Probabilidade - Definição Clássica 17 i

2.2.1 Aplicações41
2.3 Exercícios Complementares45

CONTEÚDO iv

3.1 Definição axiomática de probabilidade47
3.1.1 Exemplos48
3.1.2 Exercícios50
3.2 Probabilidade condicional50
3.2.1 Exemplos51
3.2.2 Exercícios53
3.3 Probabilidade condicional como lei de probabilidade54
3.4 Regra da multiplicação57
3.4.1 Exemplos57
3.5 Regra geral da multiplicação61
3.5.1 Exercícios61
3.6 Independência de eventos62
3.6.1 Exemplos63
3.6.2 Exercícios65
3.7 Exercícios Complementares65

3 Axiomas, Probabilidade Condicional e Independência 47

4.1 Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes78
4.2 Exercícios Complementares81

4 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 68

5.1 Capítulo 184
5.2 Capítulo 286
5.3 Capítulo 395

5S olução dos Exercícios 84 5.4 Capítulo 4 .......... ..................... .......... 103

Capítulo 1 Probabilidade - Conceitos Básicos

1.1 Introdução

No nosso cotidiano, lidamos sempre com situações onde está presente a incerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis sejam conhecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculino ou feminino, mas só saberemos o resultado quando o experimento se concretizar, ou seja, quando o bebê nascer. Se estamos interessados na face voltada para cima quando jogamos um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas só saberemos o resultado quando o experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfície sobre a qual foi lançado. É conveniente, então, dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em cada um destes acontecimentos. Tal medida é a probabilidade.

No estudo das distribuições de freqüências, vimos como essas são importantes para entendermos a variabilidade de um fenômeno aleatório. Por exemplo, se sorteamos uma amostra de empresas e analisamos a distribuição do número de empregados, sabemos que uma outra amostra forneceria resultadosdiferentes. No entanto, se sorteamosumgrandenúmerodeamostras, esperamosquesurja um determinado padrão que reflita a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, construído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de freqüências quando o fenômeno é observado diretamente. Esses modelos são chamados modelos probabilísticos e eles serão estudados na segunda parte do curso de Estatística. A probabilidade é a ferramenta básica na construção de tais modelos e será estudada nesta primeira parte.

1.2 Experimento aleatório, espaço amostral e evento

Consideremos o lançamento de um dado. Queremos estudar a proporção de ocorrências das faces desse dado. O primeiro fato a observar é que existem apenas 6 resultados possíveis, as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segundo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que este seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes e, portanto, essa proporção deve ser 16 . Nessas condições, nosso modelo probabilístico para o lançamento de um dado pode ser expresso da seguinte forma:

Face 123456 Total

CAPÍTULO1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 2

Suponhamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculino (M) ou feminino (F). Então, as possibilidades para o sexo das três crianças são: M, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, F. Uma suposição razoável é que todos esses resultados sejam igualmentep rováveis, o quee quivaled izer quec ada bebêt em igualc hanced es er do sexo masculino ou feminino. Então cada resultado tem uma chance de 18 de acontecere o modelo probabilístico para esse experimento seria

Sexo M MMF MFM FMM FFM FMF MFF F Total

Por outro lado, se só estamos interessados no número de meninas, esse mesmo experimento leva ao seguinte modelo probabilístico:

Meninas 0123 Total

Nesses exemplos, vemos que a especificação de um modelo probabilístico para um fenômeno casual depende da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades.V amos, então, estabelecer algumas definições antes de passarmos à definiçãop ropriamented itad e probabilidade.

1.2.1 Experimento aleatório

Umexperimento aleatório é um processoque acusavariabilidade emseus resultados, istoé, repetindose o experimento sob as mesmas condições, os resultados serão diferentes. Contrapondo aos experimentos aleatórios, temos os experimentos determinísticos, que são experimentos que, repetidos sob as mesmas condições, conduzem a resultados idênticos. Neste curso, estaremos interessados apenas nos experimentos aleatórios.

1.2.2 Espaço amostral

O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Vamos denotar tal conjunto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quando o espaço amostral é finito ou infinito enumerável, é chamado espaço amostral discreto. Caso contrário, isto é, quando Ω é não enumerável, vamos chamá-lo de espaço amostral contínuo.

1.2.3 Eventos aleatórios

Os subconjuntos de Ω são chamados eventos aleatórios;j á os elementos de Ω são chamados eventos elementares. A classe dos eventos aleatórios de um espaço amostral Ω, que denotaremos por F (Ω), é o conjunto de todos os eventos (isto é, de todos os subconjuntos) do espaço amostral. A título de ilustração, consideremos um espaço amostral com três elementos: Ω = {ω1,ω 2,ω 3}. A classe dos eventos aleatórios é

Os eventos, sendo conjuntos, serão representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto, enquanto os elementos de um evento serão representados por letras minúsculas.

CAPÍTULO1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 3

1.3 Exemplos

Exemplo 1.1 O lançamento de uma moeda é um experimento aleatório, uma vez que, em cada lançamento, mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima. Por outro lado, se colocarmos uma panela com água para ferver e anotarmos a temperaturad e buliçãod aá gua, or esultado será sempre 100oC. Logo, este é um experimento determinístico.

Exemplo 1.3 Consideremos ol ançamentos imultâneod ed uasm oedas. Vamosr epresentar por K ao corrênciad ec araep or C ao corrênciad ec oroa. Um espaçoa mostral parae se xperimento é Ω = {K,KC,CK,C}, que também é um espaço discreto. Os eventos simples são {K}, {KC}, {CK}, {C} e um outro evento é “cara no primeiro lançamento” = {KC,K}. Para esse mesmo experimento, se estamos interessados apenas no número de caras, o espaço amostral pode ser definido como Ω = {0,1,2}.

Exemplo 1.4 Seja o experimento que consiste em medir, em decibéis, diariamente, durante um mês, o nível de ruído na vizinhança da obra de construção do metrô em Ipanema. O espaço amostral associado a este experimento é formado pelos números reais positivos, sendo, portanto, um espaço amostral contínuo. Um evento: observar níveis superiores a 80 decibéis, representado pelo intervalo (80,∞), que corresponde a situações de muito barulho.

Exemplo 1.5 Umau rnac ontém 4 bolas, dasq uais 2s ão brancas (numeradasd e1a2 )e2s ão pretas (numeradas de 3 a 4). Duas bolas são retiradas dessa urna, sem reposição. Defina um espaço amostral apropriado para esse experimento e os seguintes eventos:

A : ap rimeirab olaéb ranca; B : as egunda bola éb ranca; C : ambas as bolas são brancas.

Solução: Considerando a numeração das bolas, o espaço amostral pode ser definido como:

CAPÍTULO1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 4

Mais especificamente:

ou mais especificamente

Exemplo 1.6 Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das cores azul, vermelha, preta e branca. Dê um espaço amostral para esse experimento e liste os eventos:

A : todas as cartas selecionadas são vermelhas. B : uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecionadas. C : três diferentes cores ocorrem. D : todasa s4c oreso correm.

Solução: Vamos denotar por A,V,P e B as cores azul, vermelha, preta e branca, respectivamente. Então

Como temos 4 cores diferentes e apenas 3 extrações, não é possível obter todas as cores; logo, D=∅

CAPÍTULO1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS 5

1.4 Operações com eventos aleatórios

Oe vento interseção de dois eventos A e B é o evento que equivale à ocorrência simultânea de A e B (ver Figura 1.1). Seguindo a notação da teoria de conjuntos, a interseção de dois eventos será representada por A ∩ B.

Figura 1.1: Interseção de dois eventos: A ∩ B

Exemplo 1.7 Consideremos o experimento “lançamento de dois dados” e os eventos A =“soma das faces é um número par” e B =“ soma das faces é um número maior que 9”. Calcule A ∩ B.

Solução: O espaço amostral desse experimento, que tem 36 elementos, é

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