Livro de Pré Cáculo Vol.1

Livro de Pré Cáculo Vol.1

(Parte 1 de 11)

Aula 1 { Numeros naturais e inteiros9
Aula 2 { Numeros racionais25
Aula 3 { Numeros irracionais - enfoque geometrico41
Aula 4 { Numeros reais { representac~ao decimal5

Sum ario Aula 5 { N umeros reais: potencias, radicais e express~oes num ericas 71 Aula 6 { N umeros reais: rela c~ao de ordem, intervalos e inequa c~oes 85

reta e inequac~oes105
Aula 8 { Sistemas de coordenadas em um plano125
Aula 9 { Distancia entre pontos do plano euclidiano145
Aula 10 { Equac~ao da reta e inclinac~ao153
Aula 1 { Equac~ao da reta e inclinac~ao { continuac~ao175
Aula 12 { Mudancas de coordenadas e equac~oes quadraticas187
Aula 13 { Equac~oes quadraticas { continuac~ao201
Aula 14 { Inequac~oes lineares e quadraticas211
Aula 15 { Coletanea de exerccios programados219

Aula 7 { M odulo de um n umero real, distribui c~ao de n umeros na 1

Prezado aluno e aluna.

A voce que inicia hoje o estudo da disciplina Pr e-c alculo, trago as boas vindas e o desejo de que possamos juntos fazer uma feliz e produtiva caminhada.

Este e o primeiro m odulo desta disciplina, que possui dois outros m odulos, cada um deles contendo dez aulas e, como o pr oprio nome revela, uma introdu c~ao ao c alculo.

O C alculo Diferencial e Integral e um dos principais pilares da proposta do conte udo espec co de nosso Curso de Licenciatura em Matem atica. E para dar conta desta tarefa teremos ainda mais quatro outras disciplinas, cobrindo os conte udos essenciais desta importante area da Matem atica.

Creio que e util pontuar este in cio com algumas re ex~oes sobre as id eias que orientam em geral a Matem atica e em particular a proposta desta disciplina.

De um lado, Matem atica e um jogo l udico e, por excelencia, a arte de resolver problemas, e este e o oxigenio que vitaliza, desde sempre, sua permanente evolu c~ao. No ato de aprender Matem atica n~ao existe receita para galgar o entendimento, a n~ao ser no exerc cio das ferramentas. Como um paciente escultor, que, com seu form~ao, conquista da madeira bruta a bela obra de arte, resolver problemas em Matem atica e a via prazerosa de rmar conceitos e descobrir reconditas belezas.

Num estudo introdut orio ao c alculo, a visualiza c~ao geom etrica e especialmente importante. Em todo o desenvolvimento deste m odulo e forte o apelo a visualiza c~ao, seja atrav es da representa c~ao dos n umeros reais na reta, da expressao do piano atrav es de coordenadas ou na visualiza c~ao de retas, semi-retas, hiperplanos e alguns conjuntos especiais do espa co de nidos atrav es de equa c~oes e inequa c~oes. Creio que e uma dire c~ao adequada para colocar a vis~ao intuitiva que temos do espa co a favor do entendimento dos conceitos fundamentais, que fazem parte desta etapa inicial.

Desejo a voce uma feliz caminhada, e que seu esfor co o recompense!

Celso Costa

Aula 1 { N umeros naturais e inteiros

Objetivos

• rever propriedades b asicas dos n umeros naturais e inteiros; compreender a representa c~ao dos n umeros inteiros sobre uma reta; utilizar o algoritmo de Euclides na divis~ao entre n umeros inteiros.

N umeros naturais

Vivemos e nos orientamos num mundo de n umeros. Temos hor arios para ir e voltar do trabalho, nosso endere co tem um n umero de CEP, nossa identidade e CPF s~ao n umeros. Acrescente-se ainda os n umeros de emergencia: pol cia, bombeiros, hospitais. Seria exaustivo lembrar tantos n umeros. Os n umeros acompanham a evolu c~ao do ser humano primitivo vindo das cavernas e hoje, com o uso dos computadores, s~ao ferramentas fundamentais na revolu c~ao que presenciamos na organiza c~ao de nossa sociedade.

Os n umeros est~ao de tal modo presentes em nossas vidas, que os usamos automaticamente sem lembrar que s~ao cria c~oes abstratas da mente humana.

A mais antiga id eia de n umero surge da necessidade de contar. No princ pio da aventura humana, o antigo pastor ao comparar seu conjunto de ovelhas ao correspondente conjunto de pedrinhas, identi cava uma caracter stica comum aos conjuntos. Esta caracter stica quantitativa evolui posteriormente para a id eia abstrata de n umero e a express~ao desta id eia atrav es de s mbolos. Por exemplo, o n umero 5. Pare um pouco e pense na imensa abstra c~ao por tr as deste s mbolo.

Os livros did aticos citam, freq uentemente, a hist oria do ancestral pastor que a cada ovelha de seu rebanho fazia corresponder uma pedrinha em seu bolso. Com este procedimento simples, o pastor \contava" e controlava seu rebanho, evitando o desaparecimento ou comemorando o nascimento de um pequeno animal. O conjunto dos n umeros naturais, representado pela letra N, e o con-

Notamos que e indiferente inclu rmos ou n~ao o n umero 0 (zero) no conjunto N. Historicamente, a id eia abstrata de um n umero zero surge mais tarde, associado a ausencia de objetos para contar.

E importante que voce pare um pouco e re ita sobre o signi cado dos tres pontinhos que aparecem na de ni c~ao do conjunto dos n umeros naturais N. Os pontinhos expressam que N e um conjunto in nito e que conhecemos de antem~ao como escrever inde nidamente um ap os outro os elementos de N.

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N umeros naturais e inteiros

A considera c~ao e compreens~ao do in nito e um grande salto de abstra c~ao, s o poss vel pela mente humana!

- Quais s~ao as propriedades fundamentais do conjunto N de n umeros naturais?

S~ao as propriedades conhecidas como Axiomas de Peano. Dentre elas destacamos duas. A primeira propriedade e a que garante a existencia de um primeiro n umero natural, o n umero 1. A segunda propriedade garante que todo n umero natural tem um \sucessor". O sucessor de 4 e 5, o sucessor de 199 e 200 e, em geral, o sucessor de n e n + 1.

Giuseppe Peano 1858-1932

Destacado l ogico e matem atico italiano, com contribui c~oes importantes em Fundamentos da Aritm etica e da Geometria. Para saber mais sobre Peano e seus axiomas, consulte: http://users.hotlink.com.br/ marielli/matematica/ geniomat/peano.html

N umeros inteiros

prejuzo etc

Os n umeros naturais s~ao uteis para resolver problemas de contagem, no entanto insu cientes para solucionar problemas do dia-a-dia, como perda,

No m do mes passado, dia 28, recebi uma terr vel not cia ao pedir, no banco, o extrato de minha conta corrente num terminal eletronico. Os valores impressos em tinta vermelha (advertencia!) sentenciavam

E e isto. Convencionamos para representar, por exemplo, a perda de 2 ovelhas em colocar o sinal \ " antes do n umero. Assim, 2 expressaria esta perda. Do mesmo modo, meu saldo de 305;0 no dia 28, expunha minha desagrad avel condi c~ao de devedor junto ao banco.

Incorporando aos n umeros naturais, os n umeros negativos e o n umero zero, chegamos ao conjunto dos n umeros inteiros,

Os n umeros naturais tamb em s~ao chamados de inteiros positivos. Note que como conjuntos,

Adi c~ao e multiplica c~ao de n umeros inteiros

No conjunto Z temos as opera c~oes fundamentais de adi c~ao e multiplica c~ao. Estas opera c~oes permitem construir novos n umeros a partir de pares de n umeros dados, e s~ao essenciais para o processo de contagem.

Os negativos de n umeros naturais inicialmente n~ao eram considerados n umeros de verdade. Entretanto eles mostraram indispens aveis aos c alculos pr aticos, e ganharam direito de integrarem o universo dos n umeros.

Uma rea c~ao muito interessante contra os n umeros negativos tinha a seguinte argumenta c~ao: se −1 < 1, ent~ao por que 1

O absurdo apontado pelos incr edulos dos n umeros negativos era a igualdade das fra c~oes acima. Como isto pode acontecer se a primeira fra c~ao tem o numerador menor que o denominador enquanto na segunda fra c~ao ocorre justamente o contr ario!

CEDERJ 10

As propriedades fundamentais da adi c~ao (representada por +) e da multiplica c~ao (representada por × ou por ) de n umeros inteiros s~ao as seguintes:

Para n umeros inteiros quaisquer a; b e c:

a) propriedade comutativa: a + b = b + a e a b = b a

d) o n umero 1 desempenha o papel de unidade na multiplica c~ao: a 1 = 1 a = a

O sim etrico de um n umero inteiro Um n umero inteiro m e sim etrico de um n umero n se

Note que m ser sim etrico de n, e equivalente a n ser sim etrico de m.

De fato, m + n = 0 e equivalente a n + m = 0. Observe ainda que sendo m sim etrico de n ent~ao m = n.

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N umeros naturais e inteiros

Exemplo 1.2

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